高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第11讲变化率与导数导数的计算知能训练轻松闯关理北师大版1125419

第11讲 变化率与导数、导数的计算1函数yx2cos x在x1处的导数是()A0 B2cos 1sin 1Ccos 1sin 1 D1解析：选B.因为y(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，所以y|x12cos 1sin 1.2(2016·赣州高三月考)已知t为实数，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，则t等于()A0 B1C. D2解析：选C.依题意得，f(x)2x(xt)(x24)3x22tx4，所以f(1)32t40，即t.3设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(2 016)()A1 B2C. D.解析：选D.令ext，则xln t，所以f(t)ln tt，故f(x)ln xx.求导得f(x)1，故f(2 016)1.4已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)的值等于()A2 B2C. D解析：选D.由已知条件f(x)x23xf(2)ln x，知f(x)2x3f(2)，令x2，则f(2)2×23f(2)，即2f(2)，所以f(2).5.已知函数yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()解析：选B.从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大A项，在x0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确6(2016·大连高三联考)已知直线m：x2y30，函数y3xcos x的图像与直线l相切于P点，若lm，则P点的坐标可能是()A. B.C. D.解析：选B.因为直线m的斜率为，lm，所以直线l的斜率为2.因为函数y3xcos x的图像与直线l相切于点P，设P(a，b)，则b3acos a且y|xa3sin a2，所以sin a1，解得a2k(kZ)，所以b6k(kZ)，所以P(kZ)，当k0时，P，故选B.7函数y的导数为_解析：y.答案：8(2015·高考陕西卷)函数yxex在其极值点处的切线方程为_解析：由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.答案：y9(2016·郑州第二次质检)如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_解析：由图可得曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3).又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由图可知f(3)1，所以g(3)13×0.答案：010(2016·保定一模)函数f(x)ln xax的图像上存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)ln xax的图像上存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解，而f(x)a，即a2在(0，)上有解，a2，因为x>0，所以2<2，所以a的取值范围是(，2)答案：(，2)11求下列函数的导数：(1)y(3x34x)(2x1)；(2)y；(3)ysin 2x2xe；(4)y.解：(1)法一：因为y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，所以y24x39x216x4.法二：y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)·224x39x216x4.(2)y.(3)ycos 2x·(2x)2xln 202cos 2x2xln 2.(4)因为y，所以y.12已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解：(1)因为yx24x3(x2)211，所以当x2时，y1，y，所以斜率最小的切线过，斜率k1，所以斜率最小的切线方程为xy0.(2)由(1)得k1，所以tan 1，所以.1(2014·高考陕西卷)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x解析：选A.设三次函数的解析式为yax3bx2cxd(a0)，则y3ax22bxc.由已知得yx是函数yax3bx2cxd在点 (0，0)处的切线，则y|x01c1，排除选项B、D.又因为y3x6是该函数在点(2，0)处的切线，则y|x2312a4bc312a4b133ab1.只有A选项的函数符合，故选A.2(2016·石家庄模拟)若对于曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)ax2cos x的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为_解析：易知函数f(x)exx的导数为f(x)ex1，设l1与曲线f(x)exx的切点为(x1，f(x1)，则l1的斜率k1ex11.易知函数g(x)ax2cos x的导数为g(x)a2sin x，设l2与曲线g(x)ax2cos x的切点为(x2，g(x2)，则l2的斜率k2a2sin x2.由题设可知k1·k21，从而有(ex11)(a2sin x2)1，所以a2sin x2，故由题意知对任意x1，总存在x2使得上述等式成立，则有y1的值域是y2a2sin x2值域的子集，则(0，1)a2，a2，则所以1a2.答案：1，23已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2， 6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上因为f(x)(x3x16)3x21.所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，所以直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，又因为直线l过点(0，0)，所以0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，所以x02，所以y0(2)3(2)1626，k3×(2)2113.所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，所以x0±1.所以或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.4(2016·河北省唐山一中月考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，所以3a66a0，所以a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0，3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0±1.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10，所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.