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机械零件的承载能力计算 一、零件的强度和刚度条件 （一） 拉（压）杆的强度计算 在进行强度计算中，为确保轴向拉伸（压缩）杆件有足够的强度，把许用应力作为杆件实际工作应力的最高限度，即要求工作应力不超过材料的许用应力。于是，强度条件为： ? （3-19） 应用强度条件进行强度计算时会遇到以下三类问题。 一是校核强度。已知构件横截面面积，材料的许用应力以及所受载荷，校核（3-31）式是否满足，从而检验构件是否安全。 二是设计截面。已知载荷及许用应力?，根据强度条件设计截面尺寸。 三是确定许可载荷。已知截面面积和许用应力，根据强度条件确定许可载荷。 例3-6? 某冷镦机的曲柄滑块机构如图3-49（a）所示。连杆接近水平位置时，镦压力=3.78MN ( l MN=106N)。连杆横截面为矩形，高与宽之比（图3-49（b）所示），材料为45号钢，许用应力=90MPa，试设计截面尺寸和。 解? 由于镦压时连杆AB近于水平，连杆所受压力近似等于镦压力，轴力=3.78MN。根据强度条件可得： A(mm2)以上运算中将力的单位换算为，应力的单位为MPa或N/mm2，故得到的面积单位就是（mm2） 注意到连杆截面为矩形，且，故 (mm2)=173.2(mm)，=1.4=242(mm)所求得的尺寸应圆整为整数，取=175mm，h=245mm。 1. 某张紧器（图3-50）工作时可能出现的最大张力=30kN ( l kN=103N)，套筒和拉杆的材料均为钢，=160MPa，试校核其强度。 解? 此张紧器的套筒与拉杆均受拉伸，轴力=30kN。由于截面面积有变化。必须找出最小截面。对拉杆，20螺纹内径=19.29mm，=292mm2，对套筒，内径=30mm，外径=40mm，故=550mm2 。 最大拉应力为： 故强度足够。 例3-7? 某悬臂起重机如图3-51（a）所示。撑杆为空心钢管，外径105mm，内径95mm。钢索1和2互相平行，且钢索1可作为相当于直径=25mm的圆杆计算。材料的许用应力同为=60MPa，试确定起重机的许可吊重。 解? 作滑轮的受力图图3-51（b），假设撑杆受压，其轴力为；钢索1受拉，其拉力为。选取坐标轴和如图所示。列出平衡方程如下： 若不计摩擦力，则钢索2的拉力与吊重相等，以代入第一式，并解以上方程组，求得和为： ? （a） ? (b)所求得的和皆为正号，表示假设杆受压，钢索1受拉是正确的。 现在确定许可吊重。根据强度条件，撑杆的最大轴力为： kN代入（a）式得相应的吊重为： (kN)同理，钢索1允许的最大拉力是： kN代入（b）式得相应的吊重为： ( kN )比较以上结果，可知起重机的许可吊重应为17kN。 （二）剪切和挤压的实用计算 各种连接件的剪切和挤压强度计算的方法是相同的。下面介绍工程中通常采用的实用计算法。 1. 剪切的实用计算 以螺栓为例进行分析，其受力简图如图352（a）所示，图中以合力代替均匀分布的作用力。由于螺栓的剪切变形为截面的相对错动，因此抵抗这种变形的内力必然是沿着错动的反方向作用的。仍用截面法求内力。将螺栓假想地沿剪切面mm切开，取左边部分来研究图352（b），根据静力平衡条件，在剪切面上必然有一个与平行的分布内力系的合力作用，且 ? 与剪切面mm相切，称为截面mm上的剪力。 联接件一般并非细长杆，而且实际受力和变形情况比较复杂，通过理论分析或实验研究来确定剪力在剪切面上的实际分布规律较为困难。因此在工程实际中，做出一些假设进行简化计算，称为实用计算，或假定计算。假设应力在剪切面内是均匀分布的，若为剪切面面积，则应力为： ? ? ? （3-20） 与剪切面相切，故为剪应力。以上计算是以假设剪应力在剪切面内均匀分布为基础的，实际上它只是剪切面内的一个“平均应力”，所以也称为名义剪应力。其值与剪切面上的最大剪应力大致相等。 2、挤压实用计算 在第一节中已讲过，联接件除承受剪切外，在联接件和被联接件的接触面上还将承受挤压。所以对上面的联接件还要进行挤压强度计算。 把作用在螺栓挤压面上的压力称为挤压力，用表示，用表示挤压面面积。挤压面上单位面积内承受的挤压力称为挤压应力，用表示。在工程上也采用类似剪切的实用计算方法，假定挤压应力是均匀分布的，则 ? ? ? （3-21） 通常挤压应力的分布情况如图353（b），最大应力发生在半圆柱形接触面的中点，它与实用计算所得的挤压应力大致相等。 挤压面面积为挤压面的正投影面积。对于平键接触面面积就是挤压面面积；对于螺栓挤压面面积就是直径平面面积，其值为。 3、强度条件 为了保证构件在剪切和挤压的情况下能够正常工作，必须限制其工作剪应力和挤压应力不超过材料的许用剪应力和许用挤压应力。因此剪切和挤压的强度条件如下： 剪切强度条件：? （3-22） 挤压强度条件：? （3-23） 式中的许用剪应力和许用挤压应力可从有关规范中查得，它们与材料拉伸许用应力有下列关系： 塑性材料：? 脆性材料：例3-8? 图354（a）所示联接件中，已知P=200kN，t=20mm，螺栓之=80MPa，=200MPa（暂不考虑板的强度），求所需螺栓的最小直径。 解? 螺栓受力情况如图354（b）所示，可求得 ? 先按剪切强度设计： ? d再用挤压强度条件设计，挤压力为，所以 ? ?d最后得到螺栓的最小直径为。 图354的螺栓的中间部分有两个剪切面图354（b）称为双剪。 例3-9? 图355（a）所示为铆接接头，板厚t=2mm，板宽b=15mm，板端部长a=8mm，铆钉直径d=4mm，拉力P=1.25kN，材料的许用剪切应力=100MPa，许用挤压应力 1 1?=300MPa，拉伸许用应力=160MPa。试校核此接头的强度。 解 （1）接头强度分析：整个接头的强度问题包含铆钉的剪切与挤压强度，拉板钉孔处的挤压强度，拉板端部纵向截面积（图c中的2-2截面）处的剪切强度以及拉板因钉孔削弱的拉伸强度四种情形。但是若端部长度大于铆钉直径的两倍，则钉孔后面拉板纵截面的剪切强度是安全的，不会被“豁开”，所以只讨论三种情形下的强度计算。 （2）铆钉剪切与挤压强度计算：铆钉的剪切面为1-1截面355（a），其上剪力为： Q=P由（18-1）和（352）式得： 铆钉所受的挤压力为，有效挤压面积为。根据（3-21）和（3-23）式得： 因拉板与铆钉的材料相同，故其挤压强度计算与铆钉相同。 （3）拉板被削弱截面的拉伸强度计算：拉板削弱处图355（b）的截面面积为，故拉应力为： ? 因此，本例接头是安全的。 （三）圆轴扭转时的强度和刚度计算 1、圆轴扭转时的强度计算 为了保证受扭圆轴能正常工作，不会因强度不足而破坏，其强度条件为：最大工作应力不超过材料的许用剪应力，即 ?（3-24） 从轴的受力情况或由扭矩图上可确定最大扭矩，最大剪应力就发生于所在截面的周边各点处。由公式（3-12）可把公式（3-24）写成： ? ?（3-25） 对阶梯轴来说，各段的抗扭截面模量不同，因此要确定其最大工作应力，必须综合考虑扭矩和两种因素。在静载荷的情况下，扭转许用剪应力与许用拉应力之间有如下关系： 钢? =（0.50.6）铸铁? =（0.81）但考虑到扭转轴所受载荷多为动载荷，因此所取值应比上述许用剪应力值还要低些。 例3-10? 如图3-56所示汽车传动轴AB，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作时的最大扭矩Mn1.5kNm，材料的许用剪应力60MPa。求（1）试校核AB轴的强度；（2）将AB轴改为实心轴，试在强度相同的条件下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。 解? （1）校核AB轴的强度： 轴的最大剪应力为 ： (N/m2)51MPa故AB轴满足强度要求。? ?（2）确定实心轴的直径：按题意，要求设计的实心轴应与原空心轴强度相同，因此要求实心轴的最大剪应力也应该是 ： 设实心轴的直径为，则 在两轴长度相同，材料相同的情况下，两轴重量之比等于其横截面面积之比，即 上述结果表明，在载荷相同的条件下，空心轴所用材料只是实心轴的31，因而节省了三分之二以上的材料。这是因为横截面上的剪应力沿半径线性分布，圆心附近的应力很小，材料没有充分发挥作用。若把轴心附近的材料向边缘移置，这样可以充分发挥材料的强度性能；也可以使轴的抗扭截面模量大大增加，从而有效地提高了轴的强度。因此，在用料相同的条件下，空心轴比实心轴具有更高的承载能力，而且节省材料，降低消耗。因此工程上较大尺寸的传动轴常被设计为空心轴。 2、圆轴扭转时的刚度计算 在机械设计中，为使轴能正常工作，除了满足强度要求外，往往还要考虑它的变形情况。例如车床的丝杠，扭转变形过大，会影响螺纹的加工精度；镗床的主轴扭转变形过大，将会产生剧烈的振动而影响加工精度；发动机的凸轮轴，扭转变形过大，会影响气门的启闭时间的准确性等等。所以，轴还应该满足刚度要求。 由公式（3-17）表示的扭转角与轴的长度有关，为了消除长度的影响，用对的变化率来表示扭转变形的程度。用表示变化率，由公式（3-21）得出： ? （3-26） 式中为单位长度的扭转角。单位为rad/m。若圆轴的截面不变，且只在两端作用外力矩，则由公式（3-17）得： ? （3-27） 为了保证轴的刚度，工程上规定单位长度扭转角不得超过规定的许用扭转角。故轴的刚度条件可表示为： rad/m? （3-28） 在工程中，的单位习惯上用 o/m。故把公式（3-28）中的弧度换算为度，得 o/m? ?（3-29） 许用扭转角?的数值可根据轴的工作条件和机器的精度要求，按实际情况从有关手册中查到。下面列举几个参考数据： 精密机器的轴： 一般传动轴：? 精度较低的轴： 最后讨论一下关于空心轴的问题。由例3-10的讨论知，在工程上，较大尺寸的传动轴常被设计为空心轴，如飞机、轮船、汽车等运输机械的某些轴，常采用空心轴以减轻轴的重量，提高运输能力。再如车床的主轴，为了便于加工长的棒料也采用空心轴，等等。但空心轴加工工艺复杂，经济成本高，对一些又细又长的轴，如机床上的光杆及起重机的长传动轴，由于加工不便，而多采用实心轴。另外空心轴的壁不允许过薄，以免局部屈曲而出现丧失稳定的现象。总之，应根据具体要求，全面分析，综合考虑，合理设计。 例3-11? 如图3-57所示的阶梯轴。段的直径=4cm，段的直径=7cm，外力偶矩0.8kNm，=1.5kNm，已知材料的剪切弹性模量80GPa，试计算和最大的单位长度扭转角。 解 （1）画扭矩图：用截面法逐段求得： kNm? kNm? 画出扭矩图图3-18（b）（2）计算极惯性矩： （cm4） （cm4） （3）求相对扭转角：由于段和段内扭矩不等，且横截面尺寸也不相同，故只能在两段内分别求出每段的相对扭转角和，然后取和的代数和，即求得轴两端面的相对扭转角。 （rad） （rad） （rad）=1.37 (4)求最大的单位扭转角：考虑在段和段变形的不同，需要分别计算其单位扭转角。 段? 段? 负号表示转向与相反。 所以? 2.28o/m例3-12? 实心轴如图3-58所示。已知该轴转速300r/min，主动轮输入功率=40kW，从动轮的输出功率分别为=10 kW，=12 kW，=18 kW。材料的剪切弹性模量80GPa，若50MPa，0.3o/m，试按强度条件和刚度条件设计此轴的直径。解 （1）求外力偶矩： (Nm)(Nm)( Nm)( Nm)1. 求扭矩、画扭矩图： ? (Nm)(Nm)(Nm)根据以上三个扭矩方程，画出扭矩图图3-58（b）。由图可知，最大扭矩发生在段内，其值为： Nm 因该轴为等截面圆轴，所以危险截面为段内的各横截面。 （3）按强度条件设计轴的直径：由强度条件： 得? （4）按刚度条件设计轴的直径：由刚度条件： 得d为使轴同时满足强度条件和刚度条件，所设计轴的直径应不小于64.2mm。 （四）弯曲正应力的强度条件及其应用 由式（3-14）知梁的最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，故 =这里Iz/ymax是只决定于截面的几何形状和尺寸的几何量，以Wz表示，称为截面对于中性轴z的抗弯截面模量。于是 （3-15） 对于矩形截面图359（a）对于圆形截面图359（b）， 对于各种轧制型钢，其惯性矩和抗弯截面模量可查型钢表（附录）。 弯曲时正应力的强度条件是： 还应指出，对于铸铁等脆性材料，由于它们的抗拉和抗压强度不同，则应按拉伸和压缩分别进行强度计算，即要求最大拉应力和最大压应力不超过许用拉应力L和许用压应力y。即 3-30 下面举例说明强度条件的应用。 例3-13? 某车间安装一简易天车图360（a），起重量G=50kN，跨度l=9.5m，电葫芦自重G=6.7kN，天车在起吊重物时多少承受一些突然加载的作用，故梁在中间承受的集中力（G+G1）应乘以动荷系数kd=1.2（根据设计规范），许用应力=140MPa,试选择工字截面。 解? 在一般机械中，梁的自重较其承受的其它载荷小，故可先按集中力初选工字截面，集中力P值为： 由集中力在中间截面引起的弯矩是图360（b）： 只考虑此弯矩时的强度条件为：故 由型钢表查找Wz比1150103 mm3 稍大一些的工字钢号，查出40C工字钢，其119010mm3,此钢号的自重q=801N/m。这时自重在中间截面引起的弯矩是图360（c）中间截面的总弯矩是：于是考虑自重在内的强度条件是： 虽大于许用应力,但超出值在5%以内，工程中是允许的。 当不考虑梁自重时，为： 考虑自重与不考虑自重相比，梁内应力相差（143.3-135.7）/143.3。因此，对于像钢这类强度较高的材料，计算应力时一般可忽略其自重的影响。 例3-14? 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图361（a）所示，C为T形截面的形心，惯性矩Iz=6031104mm4，材料的许用拉应力，许用压应力，试校核梁的强度。 解? 梁弯矩图如图361(b)所示，绝对值最大的弯矩为负弯矩，发生在截面上，应力分布如图361(c)所示。 此截面最大拉应力发生于截面上边缘各点处，大小为： 最大压应力发生于截面下边缘各点处，即 ?虽然A截面弯矩的绝对值，但MA为正弯矩，应力分布如图361(d)所示。最大拉应力发生于截面下边缘各点，此截面上最大拉应力大于最大压应力。因此，全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上，必须经过计算才能确定： A截面最大拉应力为： ? 从以上计算可看出，最大压应力发生于截面下边缘处，最大拉应力发生于A截面下边缘处，都满足强度条件，因此是安全的。