理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之17递推数列与数列求和

理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之17递推数列与数列求和专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 20_年 1.(20_天津理19)设是等差数列,是等比数列.已知.()求和的通项公式; ()设数列满足其中.(i)求数列的通项公式; (ii)求.2022-20_年 一选择题 1.(20_大纲)已知数列满足,则的前10项和等于 A. B. C. D.2.(20_上海)设,在中,正数的个数是 A.25 B.50 C.75 D.100 二填空题 3.(20_全国卷)记为数列的前项和,若,则_.4.(20_新课标)等差数列的前项和为,则 .5.(20_新课标)设是数列的前项和,且,则=_.6.(20_江苏)数列满足,且,则数列前10项的和为 .7.(20_新课标)若数列的前n项和为=,则数列的通项公式是=_.8.(20_湖南)设为数列的前n项和,则 (1)_; (2)_.9.(20_新课标)数列满足,则的前60项和为 .10.(20_福建)数列的通项公式,前项和为,则 =_.三解答题 11.(20_浙江)已知等比数列的公比,且,是,的等差中项.数列满足,数列的前项和为.(1)求的值; (2)求数列的通项公式.12.(20_天津)设是等比数列,公比大于0,其前项和为,是等差数列.已知,.(1)求和的通项公式; (2)设数列的前项和为, (i)求; (ii)证明.13.(20_江苏)对于给定的正整数,若数列满足 对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.(1)证明:等差数列是“数列”; (2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.14.(20_年全国II)为等差数列的前n项和,且,.记,其中表示不超过_的最大整数,如,.()求,; ()求数列的前项和.15.(20_新课标)为数列的前项和,已知, ()求的通项公式: ()设,求数列的前项和.16.(20_广东)数列满足:,.(1)求的值; (2)求数列的前项和; (3)令, 证明:数列的前项和满足.17.(20_广东)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足 .()求的值; ()求数列的通项公式; ()证明:对一切正整数,有 18.(20_湖南)设为数列的前项和,已知,2,N ()求,并求数列的通项公式; ()求数列的前项和.19.(2022广东)设,数列满足,.(1)求数列的通项公式; (2)证明:对于一切正整数, 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 20_年 1.解析 ()设等差数列的公差为,等比数列的公比为, 依题意得解得 故.所以,的通项公式为的通项公式为.()(i).所以,数列的通项公式为.(ii) .2022-20_年 1.【解析】,是等比数列 又,故选C.2.D 【解析】由数列通项可知,当,时,当, 时,因为,都是 正数;当,同理也都是正数,所以正数的个 数是100.3.【解析】通解 因为,所以当时,解得; 当时,解得; 当时,解得; 当时,解得; 当时,解得; 当时,解得.所以.优解 因为,所以当时,解得, 当时,所以, 所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以, 所以.4.【解析】设等差数列的首项为,公差为,则, 解得, ,所以, 所以.5.【解析】当时,所以, 因为,所以,即, 所以是以为首项,为公差的等差数列, 所以,所以.6.【解析】由题意得: 所以.7.【解析】当=1时,=,解得=1, 当2时,=-=,即=, 是首项为1,公比为-2的等比数列,=.8.(1),(2) 【解析】(1).时,a1+a2+a3=-a3- 时,a1+a2+a3+a4=a4-,a1+a2+a3=-. 由知a3=-.(2)时, 当n为奇数时,; 当n为偶数时,.故, .9.【解析】因为的周期为4;由 , .11.【解析】(1)由是,的等差中项得, 所以, 解得.由得, 因为,所以.(2)设,数列前项和为.由,解得.由(1)可知, 所以, 故, .设, 所以, 因此, 又,所以.12.【解析】(1)设等比数列的公比为q.由可得.因为,可得,故.设等差数列的公差为d,由,可得由, 可得 从而 故 所以数列的通项公式为,数列的通项公式为 (2)(i)由(1),有, 故.(ii)证明:因为 , 所以, .13.【解析】证明:(1)因为是等差数列,设其公差为,则, 从而,当时, , 所以, 因此等差数列是“数列”.(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此, 当时, 当时,. 由知, , 将代入中,取,则,所以, 在中,取,则,所以, 所以数列是等差数列.14.【解析】()设的公差为, ,.,.()记的前项和为,则 .当时,; 当时,; 当时,; 当时,.15.【解析】()当时,因为,所以=3, 当时,即,因为,所以=2, 所以数列是首项为3,公差为2的等差数列, 所以=; ()由()知,=, 所以数列前n项和为 = =.16.【解析】(1)由题意知: 当时,; 当时,; (2)当时,; 当时,由知 两式相减得, 此时.经检验知也满足.故数列是以1为首项,为公比的公比数列, 故.(3)由(1)(2)知,.当时, .当时,成立; 当时, .构造函数 ,即 ,则, 从而可得, 将以上个式子同向相加即得 , 故 综上可知,.17.【解析】() 所以, () () .18.【解析】() - () 上式错位相减: .19.【解析】(1)由 令, 当 当时, 当 (2)当时,(欲证) , 当 综上所述 第 6 页 共 6 页