高考数学文科课时作业：910 抛物线二含答案

课时作业(六十)1(2012·安徽)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.B.C. D2答案C解析由题意，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2,2)，则直线AB的方程为y2(x1)，与y24x联立得2x25x20，可得B(，)，所以SAOBSAOFSBOF×1×|yAyB|.2与直线4xy30平行的抛物线y2x2的切线方程是()A4xy10B4xy10C4xy20 D4xy20答案C解析y4x4，x1，y2，过(1,2)斜率为4的直线为y24(x1)，即4xy20.3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若·4，则点A的坐标为()A(2，±2) B(1，±2)C(1,2) D(2,2)答案B解析设A(x0，y0)，F(1,0)，(x0，y0)，(1x0，y0)，·x0(1x0)y4.y4x0，x0x4x040x3x040，x11，x24(舍)x01，y0±2.4已知坐标原点为O，A、B为抛物线y24x上异于O的两点，且·0，则|的最小值为()A4 B8C16 D64答案B解析由于·0，设直线OA、OB的方程为ykx、yx，分别与抛物线方程联立求得A，B(4k2，4k)，|AB|48，故选B.5长为l(l<1)的线段AB的两个端点在抛物线y2x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是()A. BC. D答案D解析由l<2p1，则当ABx轴时，x0取得最小值，即.故选D.6直线l经过抛物线y22px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S.若|PF|a，|QF|b，M为RS的中点，则|MF|的值为()Aab B(ab)Cab D答案D解析根据抛物线的定义，有|PF|PR|，|QF|QS|.易知RFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长在直角梯形PRSQ中，容易求得|RS|2.故|FM|RS|.7已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A. BC(1, 2) D(1，2)答案A解析焦点F(1,0)，准线为l：x1.过Q点作直线l的垂线交抛物线于P点，交准线l于M点，则|QP|PF|QP|PM|QM|3为所求的最小值，此时P.8设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则|()A9 B6C4 D3答案B解析焦点F坐标为(1,0)，设A、B、C坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x11，y1)，(x21，y2)，(x31，y3)0，x11x21x310.x1x2x33.|x11x21x316.9(2013·大纲全国)已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若·0，则k()A. BC. D2答案D解析由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为yk(x2)，将其代入y28x，得k2x24(k22)x4k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24.由·0，(x12，y12)·(x22，y22)0.(x12)(x22)(y12)(y22)0，即x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40.由解得k2.故选D.10设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则|为_答案解析设A(x0，y0)(y0>0)，则过A作ABx轴于B.则|BF|x0，|AF|x0.又AFB60°，|AF|2|BF|.x0p，y0p.|OA|.11(2012·陕西)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米答案2解析设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26.所以水面宽为2米12(2013·浙江)设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|2，则直线l的斜率等于_答案±1解析设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由联立，得k2x22(k22)xk20.x1x2.1，即Q(1，)又|FQ|2，F(1,0)，(11)2()24，解得k±1.13.如图所示，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物C的准线相切的圆的方程答案(1)1(2)(x2)2(y1)24解析(1)由得x24x4b0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24×(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)为x24x40，解得x2.将其代入x24y，得y1.故点A(2,1)因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2.所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.14(2013·湖南)过抛物线E：x22py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0，k2>0，证明：·<2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程答案(1)略(2)x216y解析(1)由题意，得抛物线E的焦点为F(0，)，直线l1的方程为yk1x.由得x22pk1xp20.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根从而x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pkp.所以点M的坐标为(pk1，pk)，(pk1，pk)同理可得点N的坐标为(pk2，pk)，(pk2，pk)于是·p2(k1k2kk)由题设，k1k22，k1>0，k2>0，k1k2，所以0<k1k2<()21.故·<p2(112)2p2.(2)由抛物线的定义，得|FA|y1，|FB|y2.所以|AB|y1y2p2pk2p.从而圆M的半径r1pkp.故圆M的方程为(xpk1)2(ypk)2(pkp)2.化简得x2y22pk1xp(2k1)yp20.同理可得圆N的方程为x2y22pk2xp(2k1)yp20.于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2k1)x(kk)y0.又k2k10，k1k22，则l的方程为x2y0.因为p>0，所以点M到直线l的距离为d.故当k1时，d取最小值.由题设，解得p8.故所求的抛物线E的方程为x216y.