电子科技大学,微积分,数学,定积分00824

3.9 定积分的物理应用定积分的物理应用一、变力作功问题一、变力作功问题中有一个不变的力中有一个不变的力 作用在这物体上，且这作用在这物体上，且这F力的方向与物体的运动方向一致，那么，在力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离物体移动了距离 时，力时，力 对物体所作的功对物体所作的功SF就不能直接使用此公式，而采用就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思想思想.为为 SFW由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，如果物体在运动的过程中所受的力是变化的， 设将位移的方向取为坐标轴的方向，又力是位移设将位移的方向取为坐标轴的方向，又力是位移的连续函数的连续函数F(x)，其中，其中x 是质点的坐标，在力的是质点的坐标，在力的作用下，质点从点作用下，质点从点a移至点移至点b，求力求力F(x)所作的功所作的功.oabxxx+dxF（x）分析：分析：用微元法，在用微元法，在a,b上任一个小区间上任一个小区间x, x+dx,对于小区间对于小区间x, x+dx，可近似地视该，可近似地视该 小段上的质点小段上的质点位移受力不变，都是位移受力不变，都是F(x). 于是于是功微元功微元为：为：功微元功微元为：为： ,dWF x dx 从而质点从点从而质点从点a移至点移至点b时时，力力F（x）所作的功为：）所作的功为： .baWF x dx oabxxx+dxF(x) 21.qrrqFkkrrarrbF 例把一个带电量的点电荷放在 轴坐标原点例把一个带电量的点电荷放在 轴坐标原点处，它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有处，它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道，如果一个单位正电荷放作用力 由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 的地方，那么电场对在这个电场中距离原点为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为为常数 ，当这个它的作用力的大小为为常数 ，当这个单位正电荷在电场中从处沿 轴移动到单位正电荷在电场中从处沿 轴移动到处时，计算电场力 对它所作的功处时，计算电场力 对它所作的功解解,bar ro q a b rdrr 功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为2bakqWdrrbarkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处2akqWdrr arkq1.akq ,r取 为积分变量取 为积分变量 ,r rdr 取任一小区间取任一小区间解解建立坐标系如图建立坐标系如图5 , 0 xxoxdxx 5例例2 一圆柱形蓄水池高一圆柱形蓄水池高为为5米，底半径为米，底半径为3米，池米，池内盛满了水内盛满了水.问要把池内的问要把池内的水全部吸出，需作多少功？水全部吸出，需作多少功？ ,x取 为积分变量取 为积分变量 ,x xdx 取任一小区间取任一小区间xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为88.2,dWx dx 5088.2Wx dx 50222 .88 x3462 (千焦千焦)解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为110( )Wf x dx,2k 例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入第一次锤击时将铁钉击入1 1厘米，若每次锤击厘米，若每次锤击n所作的功相等，问第所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入次锤击时又将铁钉击入多少？多少？0( ).hhWf x dx次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为nh设设 次击入的总深度为次击入的总深度为n厘米厘米0hhWkxdx,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1hWnW22kh,2kn ,nh 次击入的总深度为次击入的总深度为n. 1 nn第第 次击入的深度为次击入的深度为n例例4 4aR以每秒的流量往半径为的半球形水池以每秒的流量往半径为的半球形水池解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半圆的方程为半圆的方程为于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有 2x. (1)(0)hhR内注水求在池中水深时水内注水求在池中水深时水; (2),面上升的速度若再将满池水全部抽出面上升的速度若再将满池水全部抽出?至少需作功多少至少需作功多少 22)(RyR)0(22RyyRy 1 ( ),y因因已已知知半半球球可可看看作作此此半半圆圆绕绕轴轴旋旋转转而而成成的的立立体体 )(hV,th时已注水的时间为时已注水的时间为又设水深又设水深,)(athV 则有则有,的球缺的体积的球缺的体积故半球内高为故半球内高为 h时水池内水的体积为时水池内水的体积为即水深为即水深为 h dyxh02 dyyRyh 02)2( atdyyRyh 02)2( 即即,)2(2adtdhhRh 故所求速度为故所求速度为.)2(2hRhadtdh :,得得求导求导两边对两边对 t(2) 将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内(0)yyR抽水时使水位从抽水时使水位从),(2yRdyx ,222yRyx 又又 dW即功元素即功元素ydy 降到所需的功约为降到所需的功约为.水全部提升到池沿高度所需的功水全部提升到池沿高度所需的功3(9.8/)kN m水的比重.)(2(2dyyRyRy 故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRyW02)(2(2230(23)RR yRyy dy4.4R例例5 有一长度为有一长度为l、线密度为、线密度为 的均匀细棒，的均匀细棒，在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒a单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质点M，计算该棒对质点，计算该棒对质点M的引力的引力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy 2l2l xyoMarydyy ,y取 为积分变量取 为积分变量 ,y ydy 取任一小区间取任一小区间二、引力二、引力小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 23)(2222yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yF6、R 例一半径为中心角为 的圆弧形细棒,例一半径为中心角为 的圆弧形细棒, .m 线密度为常数线密度为常数 在圆心处有一质量为 的在圆心处有一质量为 的.P质点求细棒对质点的引力质点求细棒对质点的引力解解 圆弧上点的角度变化范围为：圆弧上点的角度变化范围为：,.2 2 将将,2 2 上的小区间上的小区间 ,d 对应的小圆弧对应的小圆弧近似看作上点，它对点近似看作上点，它对点P引力引力的大小为：的大小为：2,m RddFkR ，Rd 其中是小圆弧的长其中是小圆弧的长.Rd而是它的质量而是它的质量由于引力不但有大小，而且有方向，应当把引力由于引力不但有大小，而且有方向，应当把引力向两坐标轴作分解。由对称性，整个引力在向两坐标轴作分解。由对称性，整个引力在y轴方向轴方向上的分力为零。该小段圆弧上的分力为零。该小段圆弧对质点对质点P的引力在的引力在x轴方向上轴方向上的分力即引力微元为：的分力即引力微元为：cos .xdFdF 因此，整个引力在因此，整个引力在x轴方向的分力为：轴方向的分力为： dRmkFxcos22 2sin2 Rkm 例例 7 将直角边各为将直角边各为a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力长，求薄板所受的侧压力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa (2 ) 2()dPxaax dx dxxaaxPa )(2(20 .373a 2yax三、水压力三、水压力例例8 8,一等腰梯形闸门 如图所示 梯形的上下底一等腰梯形闸门 如图所示 梯形的上下底解解如图建立坐标系如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为5030,20,分别为米和米 高为米 如果闸门分别为米和米 高为米 如果闸门4,顶部高出水面米 求闸门一侧所受的水顶部高出水面米 求闸门一侧所受的水.的静压力的静压力 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631( g g 67.4522 ).(1043. 47牛顿牛顿