拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理的应用总结拉格朗日中值定理的应用以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个 微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的 定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。 中值定理的主要作用在 于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等 项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之， 微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断 函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下 的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意 义！拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面： 利用拉格朗日中值定理证明 （不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问 题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的$换成X,变形后观察法凑成F' （X）由此求出辅助函数F（x） .如例1.例L设函数八工）在曲上连续，在GM）内可导，证明存在约（* 5） .使得-"口）1 3 - "分析:结论变形为加（昉-。）卜（狩-=o .即可凑成尸l/o.将f换成力,结论变形为24/（4-/=0,从而可设辅助函数为凡/的-/WOT/"次加有Fg）= FQ）.本即得1£证明；令新】-砂房）幻，则fG）在回勾上连续.在（叫b内可导,且.由罗尔施理知,至少存在一点岁金（小6）,使得r（o=转1/（切-/】一僧一）八G=0常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含4的部分 作为k,即使常数部分分离出来并令其为 k,恒等变形使等式一端为a与f（a）构 成的代数式，另一端为b与. f（b）构成的代数式，将所证式中的端点值（a或b） 改为变量x移项即为辅助函数f（x）,再用中值定理或待定系数法等方法确定 k, 一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考 虑用泰勒公式.如例3.例3.设八# ）在a, 6 上连续.在（a5）内可导，。< avb*试证存在一点£使等式/（6）寸（口）工In2&%）成 VG a分析：将结论变形为华”3旷工）,左边为常 In。一Ina数，因此可令长=华冲则有/16）一卜6式（心） Inoinr-Kina.令6K,可得辅助函数 小工）字（#）-Klrw.证法 h设"二C"）1则可验证FJno-Ina（注）在小勾卜满足罗尔定理的条件由罗尔定理得证.证法2：将所求证等式的右端恒等变形为空卒a）函数g（公=hw，则函数） ,4#）Ino-Ina 士在闭区间db上满足柯西中值定理的全部条件,所 以存在f e（a,6） .使得华2M皿=4.2 ,即/U ）于 -Ino -Ina -1-（&）yrq>in倒推法：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论.如例4。例4.设/左）在V。<b）上连续，在（也 5）内可导且人口）=6瓜6 ）=«<证明:在（日 b ）内至少存在一点f.使f（f）=*）6 .分析：所要证的结论可变形为y（f）"（#）=o,即 证+（力）4/（工）卜卡0，也即国（4）1,作辅助函数 F（工）=*"）在区间卬8上使用罗尔定理证明：令网工）=尔*）,由题设知尸（工）在匕，外上 连续.在（。,6）内可导又尸（9=小。）=融=/6）=网6）,由罗尔定理，存 在（sb）*使尸府）=0.即f（5）=_偿1乘积因子法：对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关 系的证明，直接构造函数往往比较困难.将所证结论的两端都乘以或除以一个 恒正或恒负的函数，证明的结论往往不受影响，产”为常数）是常用的乘积凶子.如例5.例5. 若八玄）在-6上连续，在（&,6）内可 导.H. /（ n b ）=0.证明：V A w 屋，（M占），使 / <）=v（）分析”心是个恒为正的因子.所证明等式或不 等式的两端都可以或除以这样的一个因子，等式或 不等式仍然成立.于是想到亡3是个理想的乘积因子证明:引入辅助数万（#）=父字4），由题没知爪&）=。）=0,仪式）在潺上连续,在（0,6）内可导， 满足罗尔定理条件.故存在5E（也力），使（Q=O.即。-夕所以广（¥）=MQ成立.介值法：证明中，通过引入辅助函数 g（x）=f（x）-x将原问题转化为（a,b）可导 函数g（x）的最大值或最小值至少有一个在必在点达到， 从而可通过g（x）在（a,b） 可导条件，直接运用费马定理，完成证明。如例 6。例6.证明.若0%）在口，制上可导，则/G）可取 到r（a）与/Y6 ）之向的一切值.证明: V T） （f，（ a ） /（ 6）（或叮 e 5（ b ）, 广（a）.令g（#由/（文）的性质，屋x ）在«,可上可导，且吝<用 ）刁气/）刀.由 叮的性质，有屋口 b ） vO,不妨设序'（口>>«,即lim 爪RXKG, >O.由极限的>*<*m-a性所知.使得当x e U：（Q）时，小北）>爪。）/即乐a）不是有界闭区间® b上的连续由数出#） 的显大值. 同理，由 <（6）<0知.三弧乂）,使得当xe 口二（6）时,有后（#）Ag（ b ） f 即 g b ）也不是 &（r ）在s/ b上的最大值,但S（k）必在口，加 上达到其最大值,故 必存在为足使 V x石。，6*有M（#口）Ng（*）. 又昌（,）在对处可导,由Format定理学与）=0,即/ （*（>）=刀" 由1?三（尸（a） j"（6 ）（或 可巨（广（b ）.广（a） ） 的任意性，命题得证.一拉格朗日中值定理证明（不）等式在不等式的证明中，关键是选取适当的辅助函数f （x）和区间（a, b）, 通过己的围，根据导函数确定f ' （O和分式的围，得证。如例题7。例7.x :+r y 八） ）<C In V, U V y V 忆XVVfe-J证明:由于为=加一 biy 所以要证原不等 ry式可变形为工 V 一 小' < 取辅助函数八工1 工工yyZ>n 有 /"工、=.由于 O y* t 故JCJC例8:试证不等式舄3<容其中m, ”为自然数,I证明；令心片卜1 (k>1八对在卜】制+11上应用M氏中值定理，刖在m.Hl1内存在电使W"力“n)=f颔即-y=/肾.因为匕上 1j1丁 ,T LInkXh所以有且滥_Eg考虑到函数土k'在印上是单调速诫的I又国口<£ *" I,故有例9:改 OVq VR < ，求证：0 二QU tanp - tana =二日一巴证明：在区间Q甲上月函数侬1T使用中值定理，可知存 在£ £(邛)，使得 B _ Qtuii St<Ui(X (3 _ a ,(""IX)，K-fi = -yr仁心一口由于在(0,3一)上心才是严格递减的函数T从而由0<a V。V与一可得(Ti)s'Q >COS2t >COft2p >0所以二口 VumB - tana < P ' g .<?nPcosp二利用拉格朗日中值定理求极限求极限的方法有很多，常见的有利用洛必达法则，利用重要极限等，而对于一些极限也可用拉格朗日中值定理或者只能用这种方法来求解，如例10,11.例10:搬感!坤1航府 M -harctani分析：因为要求的极限为R.0型,所以我们可先用洛必达法则求 解,但是通过计算;发现利用这个方法很难求解,仔细观察愿目后不难 看出极限中的Inaivtan &yD - Inarctanx实际卜为函数f e -Inar- c【atn在区间区x+1匕的两个端点的函数值的走.所以我们可先用拉 格朗口中值定理将极限的形式转化，然后再求解口解工 设函数f = kiarctant>在火,乂*1卜一对f 运用拉格朗口 中值定理得In arctan 6c+D - lnarctanx=, 其中 大片太+1arccatii 1十岁因为XV梦震+ 1 . 所以工一工> .w A?广一：七H-x3 1+W1+ (x+l) 2又因为时苫 也1+8 而处.X1.=必下11 + x1 + <x+ 1)工所以由夹逼定理可Zrj = 故原极限=lim2SZ1=1 1 rn1- arctan 】+f arctant 一厂寻可见.运用拉格朗口中值定理之后.问题很容易就可以得到眸决r 下面再来看一个例子 例11：求极tn, n>0分析品 所要求的极限为9 -9 Ti 类似上 网.找们可先将分坦 湛分后,然后用洛必达法则求辉。通过计算不难废现要两次用到洛必达 法则*而H计管邕非常大现在我们用力一种方法求解所求极限为二元的数f » = , ¥ ”在区口躯.n1上的两个端点的函数值的空.因 11- JL-此可利用我格朗n中值定咫先枸极限转化钟m 令函数r 父 夕 =-：y在京i叩上对变量y运用拉格斯口I - 3C#中值定理得其中七三 中口.n> .m_> 1问-/X】+ W 3 一工门一3 一 ? L 1 一 Q J L 0 1m -可以看到，虽然这种方法中也用列洛必达法则，但先用拉格朗口 中值定埋耨极限转化为较简单的形式可使计算量小许多,因此.对于类 似上面的两种类型的未定式的极限极限的表达式中出现拉格朗日 中值定理中的隼3或r b 神 的形式的时候,先用拉格朗口 b* a中值定理将极限转f匕然后再求解.常可以达到出其不意的效果这就 要求我们平时做题时逐善于现攀题目的特征，总结解题方法 同时.例 2也告诉我们对于多元函数我们也可以对其中的f««K用拉格朗口 中值定理.此时只需将其它的变及看作常数即可口三研究函数在区间上的性质因为拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系， 很多时候。我们可以借助其 导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定 理的结论。通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要 的方法。如例12:嘛故懒fl施h碱新糊T熊证明工设当为三解泄h IfUilwiL对于V在以*q为端点 的区间匕II拉氏中值定理.有皿幽、窕唇在&禺之间、那么有|*）| 氏、运、1对于匕乂）,取妞当肌2口邛卜且|<8,就有|够卜3|三|、-端|唯）|窿"-3Q悠在 它之间）由一致连续定义可知国总在 5m内一致连续.四估值问题证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便。特别是二阶及二阶以上的导函数估值时。但对于某些积分估值，可以采用拉氏中值定理来证明。例6设门p卡同可上连续，且tuE1修r 试证=L 1门*|很总（一IM |tlu|W卜证明：若电）三。，不等式建然成立.若他）不恒等于时水匕的使ma |卬卜-M，在|皿|及仁川上分别用拉氏中值定理，有tg户业L.匕卜 w £ *C- H岑-*从而代词心三I: |个冰I弟11 腌>0loh1 h*I J摹 IKcM> 11）-! 再利用忘业匹，即得所证。卜 cXc- h4五证明级数收敛例13:若一正项级数x发散，=曲+&升十%，证明级数X-nrJUE门电叫收敛，证明:作辅助函数，则能尸击.当°导2时,在%上用拉 氏中值定理,得坦止翁垃=nux4<Q,于是令V飞=白| 4 A-1 。It g . 6 I 1 ，附1由士工|收敛，即得所证E 爸 i . J