最新华师大版九年级数学下：27.2.3切线含答案

27.2.3切线 一选择题（共8小题）1下列说法正确的是（）A相切两圆的连心线经过切点 B长度相等的两条弧是等弧C平分弦的直径垂直于弦 D相等的圆心角所对的弦相等2如图，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心若B=25°，则C的大小等于（）A20°B25°C40°D50°3如图，AB是O的直径，CD是O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，A=30°，给出下面3个结论：AD=CD；BD=BC；AB=2BC，其中正确结论的个数是（）A3B2C1D04如图，AB、AC是O的两条弦，BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则D的度数为（）A25°B30°C35°D45如图，ABC的边AC与O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与O相切，切点为B已知A=30°，则C的大小是（）A30°B45°C60°D40°6如图，RtABC中，ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A2.5B1.6C1.5D17如图，ACB=60°，半径为2的O切BC于点C，若将O在CB上向右滚动，则当滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A2B4C2D48如图，O与RtABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DEBC已知AE=2，AC=3，BC=6，则O的半径是（）A3B4C4D2二填空题（共6小题）9一个边长为4cm的等边三角形ABC与O等高，如图放置，O与BC相切于点C，O与AC相交于点E，则CE的长为_cm10如图，O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切O于A点，则PA=_11如图，AB是O的直径，BD，CD分别是过O上点B，C的切线，且BDC=110°连接AC，则A的度数是_°12如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD切O于点D，连接AD若A=25°，则C=_度13如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是_（结果保留）三解答题（共8小题）14已知：如图，P是O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交O于A、B，连接AC，BC（1）求证：PCA=PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长15如图，AB是O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与O相切于点D，弦DFAB于点E，线段CD=10，连接BD；（1）求证：CDE=DOC=2B；（2）若BD：AB=：2，求O的半径及DF的长16如图，在O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD（1）求证：ABDCDB；（2）若DBE=37°，求ADC的度数17如图，以ABC的一边AB为直径作O，O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作O的切线交AC于点E（1）求证：DEAC；（2）若AB=3DE，求tanACB的值18 如图，AB是O的直径，点C在O上，CD与O相切，BDAC（1）图中OCD=_°，理由是_；（2）O的半径为3，AC=4，求CD的长19如图，O的半径为4，B是O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作O的切线BD，切点为D，延长BO交O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C（1）求证：AD平分BAC；（2）求AC的长20如图，在ABC中，AC=BC，AB是C的切线，切点为D，直线AC交C于点E、F，且CF=AC（1）求ACB的度数；（2）若AC=8，求ABF的面积21如图，A为O外一点，AB切O于点B，AO交O于C，CDOB于E，交O于点D，连接OD若AB=12，AC=8（1）求OD的长；（2）求CD的长27.2.3切线参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1下列说法正确的是（）A相切两圆的连心线经过切点B长度相等的两条弧是等弧C平分弦的直径垂直于弦 D相等的圆心角所对的弦相等考点：切线的性质；圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系分析：要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项（1）等弧指的是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧长度相等的两条弧，不一定能够完全重合；（2）此弦不能是直径；（3）相等的圆心角所对的弦相等指的是在同圆或等圆中解答：解：A、根据圆的轴对称性可知此命题正确B、等弧指的是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧而此命题没有强调在同圆或等圆中，所以长度相等的两条弧，不一定能够完全重合，此命题错误；B、此弦不能是直径，命题错误；C、相等的圆心角指的是在同圆或等圆中，此命题错误；故选A点评：本题考查知识较多，解题的关键是运用相关基础知识逐一分析才能找出正确选项2如图，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心若B=25°，则C的大小等于（）A20°B25°C40°D50°考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系专题：几何图形问题分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得C的度数解答：解：如图，连接OA，AC是O的切线，OAC=90°，OA=OB，B=OAB=25°，AOC=50°，C=40°故选：C点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点3如图，AB是O的直径，CD是O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，A=30°，给出下面3个结论：AD=CD；BD=BC；AB=2BC，其中正确结论的个数是（）A3B2C1D0考点：切线的性质专题：几何图形问题分析：连接OD，CD是O的切线，可得CDOD，由A=30°，可以得出ABD=60°，ODB是等边三角形，C=BDC=30°，再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论成立解答：解：如图，连接OD，CD是O的切线，CDOD，ODC=90°，又A=30°，ABD=60°，OBD是等边三角形，DOB=ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BDC=BDC=30°，BD=BC，成立；AB=2BC，成立；A=C，DA=DC，成立；综上所述，均成立，故答案选：A点评：本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数是解题的关键4如图，AB、AC是O的两条弦，BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则D的度数为（）A25°B30°C35°D40°考点：切线的性质专题：几何图形问题分析：连接OC，根据切线的性质求出OCD=90°，再由圆周角定理求出COD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论解答：解：连接OC，CD是O的切线，点C是切点，OCD=90°BAC=25°，COD=50°，D=180°90°50°=40°故选：D点评：本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键5如图，ABC的边AC与O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与O相切，切点为B已知A=30°，则C的大小是（）A30°B45°C60°D40°考点：切线的性质专题：计算题分析：根据切线的性质由AB与O相切得到OBAB，则ABO=90°，利用A=30°得到AOB=60°，再根据三角形外角性质得AOB=C+OBC，由于C=OBC，所以C=AOB=30°解答：解：连结OB，如图，AB与O相切，OBAB，ABO=90°，A=30°，AOB=60°，AOB=C+OBC，而C=OBC，C=AOB=30°故选：A点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径6如图，RtABC中，ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A2.5B1.6C1.5D1考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质专题：几何图形问题分析：连接OD、OE，先设AD=x，再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，从而得出CD=CE=4x，BE=6（4x），可证明AODOBE，再由比例式得出AD的长即可解答：解：连接OD、OE，设AD=x，半圆分别与AC、BC相切，CDO=CEO=90°，C=90°，四边形ODCE是矩形，OD=CE，OE=CD，又OD=OE，CD=CE=4x，BE=6（4x）=x+2，AOD+A=90°，AOD+BOE=90°，A=BOE，AODOBE，=，=，解得x=1.6，故选：B点评：本题考查了切线的性质相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题7如图，ACB=60°，半径为2的O切BC于点C，若将O在CB上向右滚动，则当滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A2B4C2D4考点：切线的性质；角平分线的性质；解直角三角形分析：连接OC，OB，OD，OO，则ODBC因为OD=OB，OC平分ACB，可得OCB=ACB=×60°=30°，由勾股定理得BC=2解答：解：当滚动到O与CA也相切时，切点为D，连接OC，OB，OD，OO，ODAC，OD=OBOC平分ACB，OCB=ACB=×60°=30°OC=2OB=2×2=4，BC=2故选：C点评：此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题8如图，O与RtABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DEBC已知AE=2，AC=3，BC=6，则O的半径是（）A3B4C4D2考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；射影定理专题：压轴题分析：延长EC交圆于点F，连接DF则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径根据射影定理先求直径，再得半径解答：解：延长EC交圆于点F，连接DF则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径DEBC，ADEABC则DE=4在直角ADF中，根据射影定理，得EF=4根据勾股定理，得DF=4，则圆的半径是2故选D点评：此题要能够通过作辅助线，把直径构造到直角三角形中熟练运用相似三角形的性质、圆周角定理的推论以及射影定理和勾股定理二填空题（共6小题）9一个边长为4cm的等边三角形ABC与O等高，如图放置，O与BC相切于点C，O与AC相交于点E，则CE的长为3cm考点：切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理专题：几何图形问题分析：连接OC，并过点O作OFCE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的倍已知边长为4cm的等边三角形ABC与O等高，说明O的半径为，即OC=，又ACB=60°，故有OCF=30°，在RtOFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长解答：解：连接OC，并过点O作OFCE于F，且ABC为等边三角形，边长为4，故高为2，即OC=，又ACB=60°，故有OCF=30°，在RtOFC中，可得FC=OCcos30°=，OF过圆心，且OFCE，根据垂径定理易知CE=2FC=3故答案为：3点评：本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识题目不是太难，属于基础性题目10如图，O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切O于A点，则PA=4考点：切线的性质；勾股定理专题：计算题分析：先根据切线的性质得到OAPA，然后利用勾股定理计算PA的长解答：解：PA切O于A点，OAPA，在RtOPA中，OP=5，OA=3，PA=4故答案为：4点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理11如图，AB是O的直径，BD，CD分别是过O上点B，C的切线，且BDC=110°连接AC，则A的度数是35°考点：切线的性质；圆周角定理专题：几何图形问题分析：首先连接OC，由BD，CD分别是过O上点B，C的切线，且BDC=110°，可求得BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得答案解答：解：连接OC，BD，CD分别是过O上点B，C的切线，OCCD，OBBD，OCD=OBD=90°，BDC=110°，BOC=360°OCDBDCOBD=70°，A=BOC=35°故答案为：35点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用12如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD切O于点D，连接AD若A=25°，则C=40度考点：切线的性质；圆周角定理专题：计算题分析：连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到A=ODA，求出ODA的度数，再由COD为AOD外角，求出COD度数，即可确定出C的度数解答：解：连接OD，CD与圆O相切，ODDC，OA=OD，A=ODA=25°，COD为AOD的外角，COD=50°，C=90°50°=40°故答案为：40点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键13如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是16（结果保留）考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理专题：计算题分析：设AB与小圆切于点C，连结OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2），以及勾股定理即可求解解答：解：设AB与小圆切于点C，连结OC，OBAB与小圆切于点C，OCAB，BC=AC=AB=×8=4圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2）又直角OBC中，OB2=OC2+BC2圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2）=BC2=16故答案为：16点评：此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系3 解答题（共8小题）14已知：如图，P是O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交O于A、B，连接AC，BC（1）求证：PCA=PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出ACO=CAO，再由PC是O的切线，C为切点得出PCO=90°，PCA+ACO=90°，在AOC中根据三角形内角和定理可知ACO+CAO+AOC=180°，由圆周角定理可知AOC=2PBC，故可得出ACO+PBC=90°，再根据PCA+ACO=90°即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出PACPCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论解答：（1）证明：连结OC，OA，OC=OA，ACO=CAO，PC是O的切线，C为切点，PCOC，PCO=90°，PCA+ACO=90°，在AOC中，ACO+CAO+AOC=180°，AOC=2PBC，2ACO+2PBC=180°，ACO+PBC=90°，PCA+ACO=90°，PCA=PBC；（2）解：PCA=PBC，CPA=BPC，PACPCB，=，PC2=PAPB，PA=3，PB=5，PC=点评：本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键15如图，AB是O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与O相切于点D，弦DFAB于点E，线段CD=10，连接BD；（1）求证：CDE=DOC=2B；（2）若BD：AB=：2，求O的半径及DF的长考点：切线的性质分析：（1）根据弦切角定理得CDE=COD，再由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得CDE=COD=2B；（2）连接AD，根据三角函数求得B=30°，则EOD=60°，推得C=30°，根据C的正切值，求出圆的半径，再在RtCDE中，利用C的正弦值，求得DE，从而得出DF的长解答：（1）证明：直线CD与O相切于点D，ODCD，CDO=90°，CDE+ODE=90° 又DFAB，DEO=DEC=90°COD+ODE=90°，CDE=COD 又EOD=2B，CDE=DOC=2B （2）解：连接ADAB是O的直径，ADB=90° BD：AB=：2，在RtADB中cosB=，B=30° AOD=2B=60°又CDO=90°，C=30° 在RtCDO中，CD=10，OD=10tan30°=，即O的半径为 在RtCDE中，CD=10，C=30°，DE=CDsin30°=5 DFAB于点E，DE=EF=DFDF=2DE=10点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理，熟练掌握和正确运用定理是解题的关键16如图，在O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD（1）求证：ABDCDB；（2）若DBE=37°，求ADC的度数考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）根据AB，CD是直径，可得出ADB=CBD=90°，再根据HL定理得出RtABDRtCDB；（2）由BE是切线，得ABBE，根据DBE=37°，得BAD，由OA=OD，得出ADC的度数解答：（1）证明：AB，CD是直径，ADB=CBD=90°，在RtABD和RtCDB中，RtABD和RtCDB（HL）；（2）解：BE是切线，ABBE，ABE=90°，DBE=37°，ABD=53°，OA=OD，BAD=ODA=90°53°=37°，ADC的度数为37°点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大17如图，以ABC的一边AB为直径作O，O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作O的切线交AC于点E（1）求证：DEAC；（2）若AB=3DE，求tanACB的值考点：切线的性质专题：几何综合题分析：（1）连接OD，可以证得DEOD，然后证明ODAC即可证明DEAC；（2）利用DAECDE，求出DE与CE的比值即可解答：（1）证明：连接OD，D是BC的中点，OA=OB，OD是ABC的中位线，ODAC，DE是O的切线，ODDE，DEAC；（2）解：连接AD，AB是O的直径，ADB=90°，DEAC，ADC=DEC=AED=90°，ADE=DCE在ADE和CDE中，CDEDAE，设tanACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3axa，整理得：x23x+1=0，解得：x=，tanACB=或点评：本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值18 如图，AB是O的直径，点C在O上，CD与O相切，BDAC（1）图中OCD=90°，理由是圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）O的半径为3，AC=4，求CD的长考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）根据切线的性质定理，即可解答；（2）首先证明ABCCDB，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解解答：解：（1）CD与O相切，OCCD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）OCD=90°；故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）连接BCBDAC，CBD=OCD=90°，在直角ABC中，BC=2，A+ABC=90°，OC=OB，BCO=ABC，A+BCO=90°，又OCD=90°，即BCO+BCD=90°，BCD=A，又CBD=ACB，ABCCDB，=，=，解得：CD=3点评：本题考查了切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似是本题的关键19如图，O的半径为4，B是O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作O的切线BD，切点为D，延长BO交O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C（1）求证：AD平分BAC；（2）求AC的长考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质专题：数形结合分析：（1）首先连接OD，由BD是O的切线，ACBD，易证得ODAC，继而可证得AD平分BAC；（2）由ODAC，易证得BODBAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AC的长解答：（1）证明：连接OD，BD是O的切线，ODBD，ACBD，ODAC，2=3，OA=OD，1=3，1=2，即AD平分BAC；（2）解：ODAC，BODBAC，解得：AC=点评：此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用20如图，在ABC中，AC=BC，AB是C的切线，切点为D，直线AC交C于点E、F，且CF=AC（1）求ACB的度数；（2）若AC=8，求ABF的面积考点：切线的性质专题：几何综合题分析：（1）连接DC，根据AB是C的切线，所以CDAB，根据CD=，得出A=30°，因为AC=BC，从而求得ACB的度数（2）通过ACDBCF求得AFB=90°，已知AC=8，根据已知求得AF=12，由于A=30°得出BF=AB，然后依据勾股定理求得BF的长，即可求得三角形的面积解答：解：（1）连接CD，AB是C的切线，CDAB，CF=AC，CF=CE，AE=CE，ED=AC=EC，ED=EC=CD，ECD=60°，A=30°，AC=BC，ACB=120°（2）A=30°，AC=BC，ABC=30°，BCF=60°，在ACD与BCF中ACDBCF（SAS）ADC=BFC，CDAB，CFBF，AC=8，CF=ACCF=4，AF=12，AFB=90°，A=30°，BF=AB，设BF=x，则AB=2x，AF2+BF2=AB2，（2x）2x2=122解得：x=4即BF=4ABF的面积=24，点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的应用等，构建全等三角形是本题的关键21如图，A为O外一点，AB切O于点B，AO交O于C，CDOB于E，交O于点D，连接OD若AB=12，AC=8（1）求OD的长；（2）求CD的长考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的性质专题：几何图形问题分析：（1）设O的半径为R，根据切线定理得OBAB，则在RtABO中，利用勾股定理得到R2+122=（R+8）2，解得R=5，即OD的长为5；（2）根据垂径定理由CDOB得DE=CE，再证明OECOBA，利用相似比可计算出CE=，所以CD=2CE=解答：解：（1）设O的半径为R，AB切O于点B，OBAB，在RtABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，OB2+AB2=OA2，R2+122=（R+8）2，解得R=5，OD的长为5；（2）CDOB，DE=CE，而OBAB，CEAB，OECOBA，=，即=，CE=，CD=2CE=点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质