中考数学真题类编 知识点012一元二次方程的代数应用

2019届数学中考复习资料一、选择题1. （ 2016福建福州，12，3分）下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax24xc0一定有实数根的是Aa0 Ba0 Cc0 Dc0 【答案】D【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式，求字母的取值范围，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式的情况据方程有实数根可得ac4，且a0，对每个选项逐一判断即可【详细解答】解：一元二次方程有实数根，=（4）24ac=164ac0，且a0，ac4，且a0；A.若a0，当a=1、c=5时，ac=54，此选项错误；B.a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；C.若c0，当a=1、c=5时，ac=54，此选项错误；D.若c=0，则ac=04，此选项正确，故答案为D .【解后反思】一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)（1）当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b24ac0时，方程没有实数根；这些结论反过来也成立.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根b24ac0【关键词】一元二次方程根的判别式；2. （2016甘肃兰州，9，4分）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图）原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形的边长设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）A(x+1) (x+2)=18 Bx2-3x16=0 C(x-1) (x-2)=18 Dx2+3x16=0【答案】C【逐步提示】根据题意，剩余空地是一个长方形，先用x的代数式表示剩余的长方形空地的长与宽，再根据等量关系“剩余空地的面积为18 m2”列出方程.【详细解答】解：根据题意，剩余的长方形空地的长为(x-1) m，宽为(x-2) m，所以可列出方程得(x-1) (x-2)=18，故选择C.【解后反思】列方程（组）解应用题的一般步骤为： （1）审：是指审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.（2）设：根据题意，设恰当的未知数. 设未知数有“直接设元”与“间接设元”两种方法.（3）列：将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表示出来，再根据相等关系列出方程.（4）解：解方程，得出未知数的值.（5）验：审查得出的方程的解是否符合题意，舍去不合题意的解.（6）答：写出答案. （注意，如果是间接设元，要先将未知数的值转化为题中所求的量，再作答）.【关键词】一元二次方程的应用3. （2016广东省广州市，10，3分）定义运算：ab=a(1b)，若a，b是方程x2xm=0(m1)的两根，则bbaa的值为（ ）A0 B1 C2 D与m有关【答案】A【逐步提示】利用方程根的定义，把a，b代入方程x2xm=0(m1)，可得“a2a”与“b2b”均等于m再根据新定义运算，化简求值式bbaa，并适当整理构建“a2a”与“b2b”进行整体求值【详细解答】解：a，b是方程x2xm=0(m1)的两根，a2am=0，b2bm=0，a2a=b2b=mab=a(1b)，bbaa=b(1b)a(1a)=bb2a+a2=(a2a)(b2b)=0，故选择A 【解后反思】（1）新定义运算型试题，要抓住新定义运算的法则或者顺序，并将此定义作为解题的依据，通常照套法则即可需要注意两点：有括号时应当先算括号里面的；新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用运算律解题总之，新定义型问题是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原知识点（2）整体思想就是在解决问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的【关键词】代数式求值；方程的解；新定义运算；整体思想4. （ 2016河北省，14，2分）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）来源:A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D有一根为0【答案】B【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式，先化简不等式得到ac0，进而判断出b24ac的符号，由此可知方程根的情况.【详细解答】解：（ac）2a2+c2，即a22ac+c2a2+c2，ac0，a0.关于x的方程ax2+bx+c是一元二次方程，且b24ac0，故该方程有两个不相等的实数根.【解后反思】1.一元二次方程ax2bxc0（a0），当b24ac0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b24ac0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b24ac0时，一元二次方程没有实数根；当b24ac0时，一元二次方程有实数根，以上结论反过来也成立2.对于方程ax2bxc0来说，只有当a0时，这个方程才是一元二次方程.【关键词】 不等式；根的判别式；一元二次方程的定义4. 5. （ 2016湖北省黄冈市，4，3分）已知方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1,x2.则x1+x2=( )A. B. 3 C. D.【答案】D【逐步提示】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系,并能准确的确定方程中的系数。观察方程可知a=3,b=-4,根据根与系数的关系x1x2=-可以求出其值。【详细解答】解：方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1,x2 ，a=3, b=-4. x1+x2=.故选择D.【解后反思】欲求一元二次方程的两根之和，只需熟练掌握根与系数的关系即可，如果一元二次方程ax2bxc=0(a0)的两个实数根分别是x1，x2,那么根与系数具有如下关系：x1x2=， x1x2=.【关键词】 一元二次方程根与系数的关系。6.（2016湖南省衡阳市，9，3分）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭。抽样调查显示，截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆，已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为，根据题意列方程得（ ）A. B. C. D. 【答案】A【逐步提示】本题考查了列一元二次方程解应用题，解题的关键是找出题目中的相等关系，能用含未知数的代数式表示相等关系中的相关量根据增长率问题题意列出2014年底该市汽车拥有量，再列出2015年底该市汽车拥有量，然后根据2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆为相等关系列方程求解【详细解答】解：根据题意可知，2014年底该市汽车拥有量为，2015年底该市汽车拥有量为 ，所以方程为 ，故选择A .【解后反思】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数.【关键词】一元二次方程的应用 ；增长率问题7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 二、填空题1. （ 2016甘肃省天水市，15，4分）将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“”的个数，若第n个“龟图”中有245个“”，则n_【答案】16【逐步提示】本题考查了从图形规律中得出数字规律以及解一元二次方程，解题的关键是通过归纳与总结，并结合图形得出数字之间的规律【详细解答】解：观察图形，发现每个“龟图”中“”的个数为：第一个：14140×1；第二个：142141×2；第三个：146142×3；第四个：1412143×4； 第n个：14(n1)·nn2n5所以n2n5245，解得n116，n215（舍去），故答案为16【解后反思】实际中，部分学生在求解时没有仔细研究图形，仅是就每个图形数出个数，从而导致无法发现规律另外，还可以这样解：先设第n个图形有y个“”，然后设yan2bnc，接下来，由n1时，y=5；n=2时，y=7；n=3时，y=11，列三元一次方程组，解得，从而得到yn2n5最后，把y=245代入获解，后续过程同上【关键词】一元二次方程的解法因式分解法；规律探索型问题；特殊与一般思想2. （ 2016省市，11，3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_.【答案】k>-【逐步提示】本题考查了一元二次方程实数根的情况与根的判别式之间的关系，利用根的判别式列出不等式求字母系数的取值范围解题的关键是熟练掌握根的判别式与一元二次方程实数根的情况之间的关系.解题的一般步骤：（1）首先由方程有两个不相等的实数根得=b2-4ac>0，（2）解一元一次不等式求出k取值范围.【详细解答】解：方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根=b2-4ac>0,即32-4（-k）>0解之得k>-，故答案为k>- .【解后反思】本题重难点是一元二次方程实数根的情况与根的判别式之间的关系.一般方法规律为一元二次方程实数根的情况与根的判别式之间的关系有三种情况：（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根. 注意方程要化成一般形式【关键词】一元二次方程；根的情况；根的判别式；解一元一次不等式.3. （ 2016湖北省黄石市，12，3分）关于的一元二次方程0的两实数根之积为负，则实数的取值范围是_【答案】>【逐步提示】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题的关键是熟记一元二次方程根与系数关系解答时直接运用一元二次方程的根与系数关系列不等式即可求解【详细解答】解：由一元二次方程的根与系数关系，得0，解得>，故答案为>【解后反思】已知两根的和或两根的积要联想一元二次方程的根与系数关系一元二次方程根与系数的关系是解决字母系数问题的常见方法，熟练掌握，可方便快捷的解题 【关键词】一元二次方程根与系数关系4. （ 2016湖北省十堰市，13，3分）某种药品原价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分数是_【答案】10【逐步提示】本文主要考查一元二次方程中的降低率在实际中的应用，解题的思路主要是正确的列出一元二次方程，解一元二次方程，合理的取舍，做出答案.【详细解答】解：设这个百分数为x,那么根据题意可以得 100（1-x）2=81，解得：x=0.1，x=1.9 （不合题意舍去）.故答案为10 .【解后反思】本题是列一元二次方程解实际问题，它是一元二次方程中的重点，但并非难点.解题规律：对于连续两次增长或降低的问题，若初始数值为a，连续两次增长或降低后的数值为b，平均增长率或降低率相同，则可得a(1x)2b本题突出的思想是方程思想：方程是解决数学问题的重要工具，许多数学问题都可以转化为解方程来求解.在许多问题中常常利用勾股定理来求一些线段的长，当题目中线段之间的关系比较复杂时，往往把所求线段的长设为未知数，根据勾股定理等列出方程，通过解方程来完成.【关键词】一元二次方程的应用；一元二次方程的应用-增长率问题5. （ 2016江苏省淮安市，14，3分）若关于x的x2+6x+k=0一元二次方程有两个相等的实数根，则k【答案】9【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解一元二次方程根的判别式与一元二次方程解的关系是解题的关键由方程根的情况，判断根的判别式的大小【详细解答】解：若一元二次方程有两个相等的实数根，则其判别式等于零624k0，解得k9，故答案为9 【解后反思】一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的情况与根的判别式=b2-4ac 之间的关系：0有两个不相等的实数根；=0有两个相等的实数根；0没有实数根.【关键词】一元二次方程根的判别式6.（2016江苏省南京市，12，2分）设x1、x2 是方程x24xm0 的两个根，且x1x2x1x21，则x1x2 ，m 【答案】4,3【逐步提示】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系正确写出关系式本题先由根与系数的关系得到x1x2，x1x2的等式，再化为关于m的一元一次方程求解【详细解答】解：由根与系数的关系，得x1x2=4，x1x2=m，x1x2x1x24-m=1，m=3故答案为4,3 【解后反思】一元二次方程根与系数的关系是解决字母系数问题的常见方法，若m、n为一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根，则，还有m2+n2（m+n）22mn；m2n+mn2mn（m+n）；这些都是常用的恒等变形【关键词】 一元二次方程；一元二次方程的概念及其解法；根与系数的关系；7. （2016江苏省宿迁市，12，3分）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 【答案】k<1【逐步提示】根据题意可以知道b24ac>0，由此列出不等式，解不等式，求出k的取值范围【详细解答】解： 此方程有两个不相等的实数根 44k>0解不等式得：k<1，故答案为 k<1 【解后反思】一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，（1）当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b24ac0时，方程没有实数根；这些结论反过来也成立另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根b24ac0 【关键词】 一元二次方程根的判别式8. （2016山东省德州市，15，4分）方程的两根为、，则 .【答案】【逐步提示】先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再借助完全平方公式用、表示出即可求出。【详细解答】解：方程的两根为、， ，故答案为.【解后反思】（1）根与系数的关系是解决一元二次方程与根有关的问题常用的方法，解决这类问题，关键是用两根和和两根积正确的表示出所求代数式；（2）当然，对于此类问题，在一元二次方程可解的情况下，也可以先解出一元二次方程的两根，代入代数式求值。【关键词】 一元二次方程的解；根与系数的关系； 整体思想9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 三、解答题1. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，21，8分）已知关于x的方程x2mxm2=0（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根【逐步提示】本题考查方程的根的定义以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是配方法的熟练应用（1）把=1代入方程即可得到一个关于m的一元一次方程，解该方程即可；（2）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，只要证明原一元二次方程的根的判别式为正数即可；【详细解答】解：把=1代入方程 得 ， 解得 = 2分（2）证明：= 3分 4分 0， 0， 即 >0， 5分 此方程有两个不相等的实数根 6分【解后反思】（1）一元二次方程的解（根）的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，已知含参数的方程的根，则可根据方程根的定义直接代入方程，得到一个关于参数的新方程，从而确定参数值，但要注意问题中的隐含条件，如一元二次方程二次项系数不能为0，对于特殊的一元二次方程也可以借助于根与系数的关系求解；（2）对于一元二次方程(，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程两个相等的实数根，当时，方程没有实数根.所以要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，只要说明根的判别式大于0即可，而常用的方法是配方法，把根的判别式配成一个完全平方式在加上一个正数的形式，即的形式【关键词】 一元二次方程；一元二次方程根的判别式；代数证明；配方法；2. （2016贵州省毕节市，23，10分）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元2016年投入教育经费8640万元假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经 费多少万元【逐步提示】（1）本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是掌握增长率问题中的数量关系，找到列方程所需要的等量关系本题的等量关系为：2014年教育经费×（1年平均增长率）2016年教育经费；（2）本题考查了预测、有理数的计算，解题关键是掌握增长率问题中的数量关系：2016年的教育经费×（1增长率）2017年的教育经费利用此公式直接计算即可【详细解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有： 6000(1x)28640 解得x0.220% 答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费为8640×（10.2）10368（万元）【解后反思】此类问题容易出错的地方是：审题不到位，看不出题目能反映全部含义的相等关系；忽视检验方程的解是否符合实际问题设基数为a，平均增长（或降低）率为x，增长（或降低）的次数为n，增长（或降低）后的量为b，则有表达式：a(1±x)nb【关键词】 一元二次方程的应用增长率问题；3. （2016湖北省荆州市，24，12分）已知在关于x的分式方程和一元二次方程（2k）x23mx（3k）n0中，k、m、n均为实数，方程的根为非负数（1）求k的取值范围；（2）当方程有两个整数根x1、x2，k为整数，且km2，n1时，求方程的整数根；（3）当方程有两个实数根x1、x2，满足x1（x1k） x2（x2k）（x1k）（x2k），且k为负整数时，试判断|m|2，是否成立？请说明理由【逐步提示】本题考查分式方程的解法、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系、不等式的性质、二次函数的性质的综合应用（1）由方程的根为非负数求k的取值范围，注意x10；（2）由一元二次方程根的判别式和根与系数的关系列出与m相关的不等式组，因k、m都为整数，得m±1；（3）由一元二次方程根的判别式和根与系数的关系列出与m、n相关的不等式组，并对x1（x1k） x2（x2k）（x1k）（x2k）整理得出根据二次函数的性质秘的最小值是4，m24，即|m|2【详细解答】解：（1）解分式方程得x，方程的根为非负数，解得k1且k1（2）将km2，n1代入方程，得mx23mxm10方程是一元二次方程，k2，m0，方程有两个整数根x1、x2，m0或m，且1为整数，k为整数，m也为整数，m±1当m1时，x23x0，解得x13，x20；当m1时，x23x20，解得x12，x21（3）方程有两个实数根x1、x2，k是负整数，（3k）（2k）0，n，化简x1（x1k） x2（x2k）（x1k）（x2k），得（x1x2）23x1x2k2，将代入，得，化简得，当k1时，随着k的减小而增大，4，当4时，随着的增大而增大，9，的最小值是4，m24，即|m|2【解后反思】（1）利用分式方程的解确定字母系数的取值范围的关键是理解分式方程有解的含义；分式方程有解包括两种情况：一是字母的取值要使分式方程对应的整式方程有解；二是字母的取值不能使分式方程产生增根；（2）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式与一元二次方程根与系数的关系建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围，注意整体思想、转化思想的运用.【关键词】分式方程的解法；一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系；不等式的性质；二次函数的性质；转化思想4. （ 2016湖北省十堰市，21，7分）已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0.（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两个实数根分别是x1,x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值.【逐步提示】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及利用两根之间的数量关系确定方程的系数. 解答此题第（1）小题的关键是要说明4p2是非负数，1+4p2是大于大于等于1的正数，从而得出方程总有两个不相等的实数根；解答第（2）的关键是把x12+x22=3x1x2化为（x1+x2）2=-5x1x2=0，从而把x1、x2的关系转化为p的一元二次方程，求出p的值.本题的解题思路是要说明方程总有两个不相等的实数根，就是要说明其根的判别式是正数；由x12+x22=3x1x2，求实数p的值的前提是一元二次方程有实数根，注意必要的说明.【详细解答】解：（1） 原方程可化为x2-5x+(6-p2)=0,=(-5)2-4×(6-p2)=1+4p2无论p取何值时，4p20,1+4p20, 即0，方程总有两个不相等的实数根（2）由题意得 x12+x22=3x1x2， （x1+x2）2=-5x1x2=025-5(6-p2)=0, p1=1, p2=-1.由（1）得p可以取任何实数，所以p的值为1，-1.【解后反思】此类问题的常见类型：（1）判定方程根的情况；（2）确定方程系数的范围;(3) 讨论方程根的解; 基本规律：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)（1）当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b24ac0时，方程没有实数根；这些结论反过来也成立.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根b24ac0常见的代数式变形有：； ； ；上述的变换都突出了整体的思想：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 【关键词】根的判别式；根与系数的关系5. （2016湖南省湘潭市，20，6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、.（1）求m的值；（2）当时，求另一个根的值.【逐步提示】（1）根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时， ，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可知，将的值代入，得到一个关于的方程，解之即可求出的值.【详细解答】解：（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，.（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，.【解后反思】根据一元二次方程的根的判别式，已知方程根的情况可以求出未知系数的取值范围；根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根的值可以求出另一个根的值.【关键词】一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；解一元一次不等式6.（ 2016年湖南省湘潭市，20，6分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1、x2，（1）求m的取值范围（2）当x1=1时，求另一个根x2的值。【逐步提示】本题考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握的判别式判断根的情况和根与系数的关系。（1）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根可知判别式大于0，求出m的取值范围；（2）方法一：方程中已知一次项系数，利用两个根的和可以求出另一个根，方法二：根据方程根的意义代入到原方程，求出m的值，再解方程求出方程的另一个根。【详细解答】解：（1）关于x的一元二次方程x²3xm0有两个不相等的实数根，（3）24m94m0，m；（2）方法：根据根与系数的关系得：1x2，·x2312. 方法：把x11代入原方程得：13m0，解得：m2，x23x20，（x1）（x2）0，x11，x22.【解后反思】1.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)：（1）当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b24ac0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b24ac0时，方程没有实数根；这些结论反过来也成立.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根b24ac02.（1）对于含有字母系数的方程，如果知道方程的某个解，通常的作法是把已知解代入原方程，消去未知数，从而变成关于字母系数的方程，然后解这个方程，就可以求出字母系数的具体值.（2）一元二次方程根与系数的关系是解决字母系数问题的常见方法，熟练掌握，可以方便快捷的解题.【关键词】 一元二次方程；一元二次方程的概念及其解法；一元二次方程的解法-求根公式法；根与系数的关系；7. (2016湖南省永州市，24，10分)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同 (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【逐步提示】本题考查了一元二次方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键在于能正确理解题意找出等量关系与不等关系(1)根据平均增长率问题列一元二次方程求解；(2)根据两次利润总和大于或等于3120列不等式求解【详细解答】解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x，根据题意得：400(1x)2=324解得x=01=10%或x=19(不合题意，舍去)答：该种商品每次降价的百分率为10%(2)设第一次降价后至少要售出该种商品y件，根据题意得：400(110%)300m+(324300)(100m)3120 解得m20 答：第一次降价后至少要售出该种商品20件【解后反思】1平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a，每次增长的平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a (1+x)，第二次增长是以a (1+x)为基数的，两次增长后的数量为a (1+x)22 基数是a，两次平均降低率为x，则一次降低的数量为a (1x)，第二次降低后的数量为a (1x)22 对于实际问题的解决，主要是正确分析题意，找出满足条件的等量关系，然后根据等量关系列出方程或方程组，解不等式组的应用题，要注意题目中的表示不等关系的词语，如“不大于”、“不小于”、“不超过”、“不低于”等解决实际问题的时候还要注意实际意义【关键词】一元二次方程的实际应用 ；一元一次不等式的应用8. (2016湖南省岳阳市，22，8)(本题满分8分)已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x=0，求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).【逐步提示】(1)根据一元二次方程算出b2-4ac的值，根据值判断根的情况；(2)将方程的根代入方程中可求得m的值，再对所求代数式进行化简，将字母m的值代入其中进行运算求得结果，也可以应用整体代入法求得代数式的值。【详细解答】(1)证明： b2-4ac=(2m+1)2-4m(m+1)=1， b2-4ac0，即方程总有两个不相等的实数根；(2)解： (2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5=3m(m+1)+5， 方程的一个根为x=0， m(m+1)=0， 原式=3m(m+3)+5=4.【解后反思】(1)一元二次方程的根的判别式：b2-4ac当b2-4ac0时一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac =0时一元二次方程有两个相等的实数根；当b2-4ac < 0时一元二次方程没有实数根，无解；当b2-4ac0时一元二次方程有两个实数根(2) 化简求值问题应先化简，后求值.求值时，有两种策略：1°将字母的值代入代数式中求得代数式的值；2°应用整体的数学思想进行整体代入。【关键词】一元二次方程；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解；整式的运算；代数式的值；整体代入法9.（ 2016江苏泰州，20，8分）随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元求该购物网站平均每年销售额增长的百分率【逐步提示】本题考查了一元二次方程的应用中关于平均增长率问题，解题的关键是掌握增长率模型根据“年销售额从2013年的200万元平均增长2次后变为2015年的392万元”列出方程，并解方程，舍去不合题意的解，即可得到答案【详细解答】解：（1）设该购物网站平均每年销售额增长的百分率x，由题意得200(1x)2392，(1x)21.96，即1x±1.4，x10.440%，x22.4（不合题意，舍去）答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%【解后反思】增长率问题一般有两类：（1）增长类：增长后的量增长前的量× (1增长率)增长次数；（2）降价类：降价后的量降价前的量×(1降价率)降价次数设基数为a，平均增长（或降低）率为x，增长（或降低）的次数为n，增长（或降低）后的量为b，则表达式为a(1±x)nb【关键词】一元二次方程的实际应用增长（或降低）率问题10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.