【最新版】高考理科导学案【第四章】三角函数、解三角形 学案20

最新版教学资料数学学案20函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标： 1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题自主梳理1用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示XxyAsin(x)0A0A02.图象变换：函数yAsin(x) (A>0，>0)的图象可由函数ysin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：ysin xysin(x)，把ysin x图象上所有的点向_(>0)或向_(<0)平行移动_个单位（2）周期变换：ysin (x)ysin(x)，把ysin(x)图象上各点的横坐标_(0<<1)或_(>1)到原来的_倍(纵坐标不变)（3）振幅变换：ysin (x)yAsin(x)，把ysin(x)图象上各点的纵坐标_(A>1)或_(0<A<1)到原来的_倍(横坐标不变) 3当函数yAsin(x) (A>0，>0)，x(，)表示一个振动量时，则_叫做振幅，T_叫做周期，f_叫做频率，_叫做相位，_叫做初相函数yAcos(x)的最小正周期为_yAtan(x)的最小正周期为_自我检测1(2011·池州月考)要得到函数ysin的图象，可以把函数ysin 2x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位2已知函数f(x)sin (xR，>0)的最小正周期为.将yf(x)的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是 ()A.B.C.D.3已知函数f(x)sin(x)(xR，>0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象 ()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度4(2011·太原高三调研)函数ysin的一条对称轴方程是 ()AxBxCxDx5(2011·六安月考)若动直线xa与函数f(x)sin x和g(x)cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 ()A1 B. C. D2探究点一三角函数的图象及变换例1已知函数y2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到变式迁移1设f(x)cos2xsin xcos xsin2x (xR)(1)画出f(x)在上的图象；(2)求函数的单调增减区间；(3)如何由ysin x的图象变换得到f(x)的图象？探究点二求yAsin(x)的解析式例2已知函数f(x)Asin(x) (A>0，>0，|<，xR)的图象的一部分如图所示求函数f(x)的解析式变式迁移2(2011·宁波模拟)已知函数f(x)Asin(x) (A>0，>0，|<)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x02，2)(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)若锐角满足cos ，求f(4)的值探究点三三角函数模型的简单应用例3已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)下表是某日各时刻记录的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb.(1)根据以上数据，求函数yAcos tb的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午800至晚上2000之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E220sin表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间数形结合思想的应用例(12分)设关于的方程cos sin a0在区间(0,2)内有相异的两个实根、.(1)求实数a的取值范围；(2)求的值【答题模板】解(1)原方程可化为sin()，作出函数ysin(x)(x(0,2)的图象3分由图知，方程在(0,2)内有相异实根，的充要条件是.即2<a<或<a<2.6分(2)由图知：当<a<2，即(1，)时，直线y与三角函数ysin(x)的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为，.8分当2<a<，即(，1)时，直线y与三角函数ysin(x)的图象有两交点A、B，由对称性知，.11分综上所述，或. 12分【突破思维障碍】在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略图象的应用主要有以下几个方面：比较大小；求单调区间；解不等式；确定方程根的个数如判断方程sin xx的实根个数；对称问题等【易错点剖析】此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a的限制，而从图象中可以清楚地看出当a时，方程只有一解1从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求yAsin(x)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数ysin x的作用2三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题3三角函数模型应用的解题步骤：(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1将函数ysin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是 ()Aysin xBysinCysinDysin2(2011·银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 ()AysinBysinCycosDycos3为得到函数ycos的图象，只需将函数ysin 2x的图象 ()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度4(2009·辽宁)已知函数f(x)Acos(x)(A>0，>0)的图象如图所示，f()，则f(0)等于 ()ABC.D.5(2011·烟台月考)若函数yAsin(x)m(A>0，>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ()Ay4sinBy2sin2Cy2sin2Dy2sin2题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6已知函数ysin(x) (>0，<)的图象如图所示，则_.7(2010·潍坊五校联考)函数f(x)cos 2x的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)_.8(2010·福建)已知函数f(x)3sin (>0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同若x，则f(x)的取值范围是_三、解答题(共38分)9(12分)已知函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<，xR)的图象的一部分如下图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x6，时，求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值10(12分)已知函数f(x)Asin(x) (A>0，0<2且0)是R上的偶函数，其图象过点M(0,2)又f(x)的图象关于点N对称且在区间0，上是减函数，求f(x)的解析式11(14分)(2010·山东)已知函数f(x)sin(x)·cos xcos2x (>0)的最小正周期为，(1)求的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)在区间上的最小值答案 自主梳理1.022.(1)左右|(2)伸长缩短(3)伸长缩短A3.Ax自我检测1B2.D3.A4.D5.B课堂活动区例1解题导引(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x来确定平移单位解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表：XX02ysin X01010y2sin02020描点连线，得图象如图所示：(3)将ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin的图象变式迁移1解y·sin 2x·1sin 2xcos 2x1sin.(1)(五点法)设X2x，则xX，令X0，2，于是五点分别为，描点连线即可得图象，如下图(2)由2k2x2k，kZ，得单调增区间为，kZ.由2k2x2k，kZ，得单调减区间为，kZ.(3)把ysin x的图象向右平移个单位；再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得ysin1的图象例2解题导引确定yAsin(x)b的解析式的步骤：(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求.确定函数的周期T，则.(3)求参数是本题的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点解由图象可知A2，T8.方法一由图象过点(1,2)，得2sin2，sin1.|<，f(x)2sin.方法二点(1,2)对应“五点”中的第二个点×1，f(x)2sin.变式迁移2解(1)由题意可得：A2，2，即4，f(x)2sin，f(0)2sin 1，由|<，.f(x)2sin(x)f(x0)2sin2，所以x02k，x04k (kZ)，又x0是最小的正数，x0.(2)f(4)2sinsin 2cos 2，cos ，sin ，cos 22cos21，sin 22sin cos ，f(4)×.例3解题导引(1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模(2)如何从表格中得到A、b的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点(3)对于三角函数模型yAsin(x)k (A>0，>0)中参数的确定有如下结论：A；k；由特殊点确定解(1)由表中数据，知周期T12，由t0，y1.5，得Ab1.5；由t3，y1.0，得b1.0，A0.5，b1，ycos t1.(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，cos t1>1，cos t>0，2k<t<2k，kZ，即12k3<t<12k3，kZ.0t24，故可令中的k分别为0,1,2，得0t<3，或9<t<15，或21<t24.在规定时间上午800至晚上2000之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午900至下午300.变式迁移3解(1)t0时，E220sin 110(伏)(2)T0.02(秒)(3)当100t，t秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为220伏课后练习区1C2.D3.A4.C5.D6.7sin 2x8.9解(1)由图象知A2，T8，.(2分)又图象经过点(1,0)，2sin()0.|<，.f(x)2sin(x)(5分)(2)yf(x)f(x2)2sin(x)2sin(x)2sin(x)2cosx.(8分)x6，x.当x，即x时，yf(x)f(x2)取得最大值；当x，即x4时，yf(x)f(x2)取得最小值2.(12分)10解根据f(x)是R上的偶函数，图象过点M(0,2)，可得f(x)f(x)且A2，则有2sin(x)2sin(x)，即sin xcos 0，cos 0，即k (kZ)而0，.(4分)再由f(x)2sin(x)2cos x的图象关于点N对称，f()2cos()0cos 0，(8分)即k (kZ)， (kZ)又0<2，或2.(10分)最后根据f(x)在区间0，上是减函数，可知只有满足条件所以f(x)2cos x.(12分)11解(1)f(x)sin(x)cos xcos2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin.(6分)由于>0，依题意得，所以1.(8分)(2)由(1)知f(x)sin，所以g(x)f(2x)sin.(10分)当0x时，4x.所以sin1.因此1g(x)，(13分)所以g(x)在此区间内的最小值为1.(14分)