新编【创新方案】高考数学理一轮突破热点题型：第3章 第7节　解3角形应用举例

高频考点考点一 测量距离问题1测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题2高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度：(1)测量问题；(2)行程问题例1(1)(20xx·上海高考)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB75°，CBA60°，则A，C两点之间的距离是_千米(2)(20xx·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.求索道AB的长；问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？自主解答(1)如图，C180°60°75°45°.由正弦定理，得ACAB·2× 千米(2)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.由正弦定理，得AB×sin C×1 040 m.所以索道AB的长为1 040 m.假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短由正弦定理，得BC×sin A×500 m.乙从B出发时，甲已走了50×(281)550 m，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内答案(1)测量距离问题的常见类型及解题策略(1)测量问题首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)行程问题首先根据题意画出图形，建立三角函数模型，然后运用正、余弦定理求解1 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得CAB30°，CBA75°，AB120 m，则这条河的宽度为_解析：CAB30°，CBA75°，ACB75°，ABAC，河宽为AC60 m.答案：60 m2如图，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？解：在BCD中，BC31 km，BD20 km，CD21 km，由余弦定理得cosBDC，所以cosADC，sinADC，在ACD中，由条件知CD21 km，A60°，所以sinACDsin(60°ADC)××.由正弦定理，所以AD×15 km，故这时此车距离A城15千米考点二测量高度问题 例2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高自主解答如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40 m，此时DBF45°.过点B作BECD于E，则AEB30°.在BCD中，CD40 m，BCD30°，DBC135°，由正弦定理，得，则BD20.BDE180°135°30°15°.在RtBED中，BEBDsin 15°20×10(1) m.在RtABE中，AEB30°，则ABBEtan 30°(3) m.故塔高为(3)米【互动探究】在本例条件下，若该人行走的速度为6 km/h，则该人到达测得仰角最大的地方时，走了几分钟？解：设该人走了x m时到达测得仰角最大的地方，则xtan 30°(40x)tan 15°，即tan 15°tan(45°30°)23.解得x10(3)又v6 km/h100 m/min，故所用时间t min.即该人到达测得仰角最大的地方时，走了 分钟【方法规律】解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为60°，在塔底C处测得A处的俯角为45°，已知铁塔BC部分的高为24 m，则山高CD_m.解：由已知条件可得tanBAD，tanCAD，则tan BACtan(60°45°)2，解得CD(3612) m.答案：3612考点三测量角度问题 例3某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由自主解答(1)法一：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S ，故当t时，Smin10，v30 海里/小时，即小艇以30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向设小艇与轮船在C处相遇，如图所示在RtOAC中，OC20cos 30°10，AC20sin 30°10，又AC30 t，OCvt，故t，v30 海里/小时即小艇以30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 (2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示则v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，即v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30.故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇【方法规律】解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解：如题中图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.由正弦定理，得sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.课堂归纳通法领悟1个步骤解三角形应用题的一般步骤2种情形解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解2个注意点解三角形应用题应注意的问题(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量