（浙江专版）2018-2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线的位置关系学案 新人教A版选修2-1.doc

2.5直线与圆锥曲线的位置关系学习目标1.了解直线与圆锥曲线的交点个数与相应方程组的解的对应关系.2.能用判别式法研究直线与圆锥曲线的位置关系.3.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的简单问题的基本解法.4.掌握直线与圆锥曲线有关的综合问题的解决方法1直线与圆锥曲线的位置关系(1)相离直线与圆锥曲线无公共点(2)相切直线与圆锥曲线有一个公共点(3)相交2弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x1x2|y1y2|.3直线与圆锥曲线位置关系的判定直线与圆锥曲线的方程联立，消元得方程ax2bxc0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0，>02相交a0，01相切a0，<00相离直线与双曲线a01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相离直线与抛物线a01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相离应用弦长公式时注意的问题直线与圆锥曲线的弦长问题一定注意直线斜率不存在的情况，同时，当直线过x轴上一个定点(c,0)时，直线方程设为xmyc，此种设法，在抛物线中运用，显得更为方便(1)椭圆1上的点到焦点距离的最大值是ac.()(2)过点(2,4)的直线与椭圆y21只有一条切线()(3)设点P(x0，y0)为双曲线1上的任一点，则|x0|a.()类型一直线与圆锥曲线的位置关系例1直线ymx1与椭圆x24y21有且只有一个交点，求m2的值解因为直线与椭圆只有一个交点，由消去y，得(14m2)x28mx30，所以由64m212(14m2)16m2120，解得m2.引申探究1典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？解由得(4m21)x28mx30，64m212(4m21)16m212>0，即m2>，设中点M(x，y)，交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以消去m，得x24y24y0.2典例中若直线与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长解由得(4m21)x28mx30，64m212(4m21)16m212>0，即m>或m<，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则因此|AB|.反思与感悟直线与圆锥曲线位置关系的判断方法跟踪训练1已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式64m249(2m24)8m2144.(1)当>0，即3<m<3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当<0，即m<3或m>3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点类型二弦长问题例2(2017宁波检测)设椭圆M：1(a>b>0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值解(1)由题意可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e.由得a2，c，b，故椭圆M的方程为1.(2)联立方程消去y，得4x22mxm240，由8m216(m24)>0，得2<m<2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以|AB|x1x2|.又点P到直线AB的距离为d，所以SPAB|AB|d.当且仅当m2(2，2)时取等号，所以(SPAB)max.反思与感悟圆锥曲线的弦长的求解步骤跟踪训练2已知椭圆C：1(a>b>0)，直线l1：1被椭圆C截得的弦长为2，过椭圆C的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆C的方程解由l1被椭圆C截得的弦长为2，得a2b28.设l2：y(xc)，代入椭圆C的方程并化简，得(b23a2)x26a2cxa2(3c2b2)0.设直线l2与椭圆C交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，从而|x1x2|，则由弦长公式，得|MN|.化简，得a23b2.联立a2b28，a23b2，得a26，b22，故椭圆C的方程为1.类型三圆锥曲线中的综合问题例3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆C的方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA的方程为y(x2)，令x0得yM.从而|BM|1yM|.直线PB的方程为yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值反思与感悟定值问题类型及常见解法(1)直线过定点型，一般通过运算使直线方程中只含一个参数来求定点(2)参数和为定值型，往往把参数用交点坐标表示，根据根与系数的关系代入化简为某一常数跟踪训练3椭圆C：1(a>b>0)的离心率e，ab3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2mk为定值(1)解因为e，故1，所以a2b.再由ab3，得a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)证明因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则可设BP的方程为yk(x2).将代入y21，解得P.又直线AD的方程为yx1，与联立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线可解得N.所以MN的斜率为m，则2mkk(定值)例4(2017杭州检测)已知点A(0，2)，椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求直线l的方程解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故椭圆E的方程为y21.(2)当直线lx轴时不合题意，故设直线l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得，(14k2)x216kx120.当16(4k23)>0，即k2>时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t>0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足>0，所以当OPQ的面积最大时，直线l的方程为yx2.反思与感悟最值问题的两种常见求法(1)数形结合法：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时>0等)，通过解不等式(组)求得参数的取值范围(2)目标函数法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域，最后确定最值跟踪训练4已知椭圆1，动直线l与椭圆交于B，C两点若点B的坐标为，求OBC面积的最大值解直线OB的方程为yx，即3x2y0，设经过点C且平行于直线OB的直线l的方程为yxb，则当l与椭圆只有一个公共点时，OBC的面积最大联立化为3x23bxb230，由9b212(b23)0，解得b2.当b2时，C；当b2时，C.所以OBC面积的最大值为.1平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x2y30的距离相等的点的轨迹为()A直线B抛物线C双曲线D椭圆答案B2一条直线与双曲线的两支交点个数最多为()A1B2C3D4答案B3抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B4若直线axy10与抛物线y24x有两交点，则实数a的取值范围是_答案(，0)(0,1)5已知椭圆1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，|AB|2，则该椭圆的方程为_，离心率为_答案11解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切2在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件一、选择题1(2017金华检测)直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1B1或3C0D1或0答案D2(2017台州检测)已知双曲线1(a>0，b>0)与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，) D，)答案C3过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|6，则的值为()A.B.C.D3答案D4已知双曲线1 (b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1答案D5已知双曲线方程为1，过点(2，0)作直线l与双曲线交于两点A，B，记满足|AB|m的直线l的条数为f(m)，则f(m)的可能取值为()A0,2,4B1,2,3,4C0,1,2,3,4D2,4答案A6(2017金华检测)过抛物线x24y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且ABCD，则的最大值等于()A4B16C4D8答案B二、填空题7若斜率为的直线l与椭圆1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_答案8抛物线焦点在y轴上，截得直线yx1的弦长为5，则抛物线的标准方程为_，准线方程为_答案x24y或x220yy1或y59设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围为_答案(2,4)解析如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条当k存在时，x1x2，则有2，又y1y22y0，所以y0k2.由CMAB，得k1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直线x3上将x3代入y24x，得y212，则有2<y0<2.因为点M在圆上，所以(x05)2yr2，故r2y4<12416.又y4>4(为保证有4条，在k存在时，y00)，所以4<r2<16，即2<r<4.10(2017嘉兴检测)如图，过抛物线yx2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2(y1)21交于A，D，B，C四点，则_.若直线l的倾斜角为45，则_.答案116三、解答题11(2017绍兴检测)如图所示，椭圆C：1(a>b>0)，其中e，焦距为2，过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间，又点A，B的中点横坐标为，且.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值解(1)由条件可知，c1，a2，故b2a2c23，椭圆的标准方程是1.(2)由，可知A，B，M三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，显然AB所在直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)由消去y，得(34k2)x232k2x64k2120，由的判别式322k44(4k23)(64k212)144(14k2)>0，解得k2<，且由(x1x2)，可得k2，将k2代入方程，得7x28x80，x1,2，又因为(4x1，y1)，(x24，y2)，.所以，所以.12(2017温州检测)已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，其离心率e，点M为椭圆上的一个动点，MAB面积的最大值是2.(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当0时，求点P的坐标解(1)由题意可知解得a2，b，所以椭圆方程是1.(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为yk(x2)，D(x1，y1)，把yk(x2)代入椭圆方程1.整理得(34k2)x216k2x16k2120，所以2x1，即x1，则D，所以BD中点的坐标为，则直线BD的垂直平分线方程为y，得P，又0，即0，化简得0，即16k47k290，解得k.故P或.13(2017绍兴检测)如图，已知抛物线C1：yx2，圆C2：x2(y1)21，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点(1)求点A，B的坐标；(2)求PAB的面积解(1)由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为yk(xt)，由消去y整理得x24kx4kt0.因为直线PA与抛物线相切，所以16k216kt0，解得kt.所以x2t，即点A(2t，t2)圆C2的圆心为D(0,1)，设点B的坐标为(x0，y0)，由题意知，点B，O关于直线PD对称，故有解得x0，y0.即点B.(2)由(1)知，|AP|t，直线AP的方程为txyt20，所以点B到直线PA的距离为d.所以PAB的面积为S|AP|d.四、探究与拓展14已知双曲线x21，过点P(2,1)作一条直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为_，方程为_答案66xy11015(2017杭州检测)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，且经过点P，过它的两个焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1l2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围解(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，将点P的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方程为1.(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S6.若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为.不妨设直线l1的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y整理得，(4k23)x28k2x4k2120，64k44(34k2)(4k212)144k2144>0，x1x2，x1x2，所以|x1x2|.|AB|x1x2|.同理可得|CD|，所以S|AB|CD|，令k2t(0，)，S66，故S，综上可知，四边形ACBD面积S的取值范围是.