高中数学苏教版选修21学案：第1章 常用逻辑用语 3.2

2019-2020学年苏教版数学精品资料13.2含有一个量词的命题的否定学习目标1.通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定知识链接你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)xR，x22x10.答：(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)x0R，x2x01<0.预习导引1全称命题的否定全称命题p：xM，p(x)，它的否定綈p：M，綈p(x)2存在性命题的否定存在性命题p：M，p(x)，它的否定綈p：xM，綈p(x)3全称命题的否定是存在性命题存在性命题的否定是全称命题要点一全称命题的否定例1写出下列命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)a，bR，方程axb都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定：存在一个平行四边形的对边不都平行(2)是全称命题，其否定：数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数(3)是全称命题，其否定：a，bR，使方程axb的解不惟一或不存在(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.规律方法全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定跟踪演练1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意xZ，x2的个位数字不等于3.解(1) 綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数(2) 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆(3) 綈p：xZ，x2的个位数字等于3.要点二存在性命题的否定例2写出下列存在性命题的否定(1)p：x>1，使x22x30；(2)p：有的实数没有平方根；(3)p：我们班上有的学生不会用电脑解(1) 綈p：x>1，x22x30.(2) 綈p：所有的实数都有平方根(3) 綈p：我们班上所有的学生都会用电脑规律方法存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词即p：xM，p(x)成立綈p：xM，綈p(x)成立跟踪演练2写出下列存在性命题的否定：(1)p：x0R，x2x020；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数解(1) 綈p：xR，x22x2>0.(2) 綈p：所有的三角形都不是等边三角形(3) 綈p：每一个素数都不含三个正因数要点三存在性命题、全称命题的综合应用例3已知函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围解如图，在区间1,1中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在1,1上的所有实数x，都有f(x)0恒成立又由二次函数的图象特征可知，即即p或p3.故p的取值范围是.规律方法通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免烦杂的运算跟踪演练3若xR，f(x)(a21)x是单调减函数，则a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析依题意有：0<a21<1<a<1或1<a<.1命题p：“存在实数m，使方程x2mx10有实数根”，则“綈p”形式的命题是_答案对任意的实数m，方程x2mx10无实数根解析命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2mx10无实根2对下列命题的否定说法错误的是_p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数；p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形；p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形；p：xR，x2x20；綈p：xR，x2x20.答案解析“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故错误3下列命题中的假命题是_xR,2x1>0xN*，(x1)2>0xR，lgx<1xR，tanx2答案解析中命题是全称命题，易知2x1>0恒成立，故是真命题；中命题是全称命题，当x1时，(x1)20，故是假命题；中命题是存在性命题，当x1时，lgx0，故是真命题；中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题4命题“零向量与任意向量共线”的否定为_答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线”对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定一、基础达标1下列命题中，不是全称命题的是_abba；xR,2x1是奇数；若sinx，则x30°；平行四边形的对角线互相平分答案解析是存在性命题2下列全称命题中真命题的个数为_末位是0的整数，可以被2整除；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；正四面体中两侧面的夹角相等答案3解析为真命题；由角平分线的性质知是真命题；是真命题3下列存在性命题是假命题的是_有些不相似的三角形面积相等；存在一个实数x，使x2x10；存在实数a，使函数yaxb的值随x的增大而增大；有一个实数的倒数是它本身答案解析对于任意的xR，x2x1(x)2>0恒成立4命题“一次函数都是单调函数”的否定是_答案有些一次函数不是单调函数解析命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”5命题“对任意xR，都有x20”的否定为_答案存在xR，使得x20解析全称命题的否定是存在性命题6已知命题p：“a1”是“x>0，x2”的充要条件，命题q：xR，x2x1>0.则下列结论中正确的是_命题“pq”是真命题命题“p綈q”是真命题命题“綈pq”是真命题命题“綈p綈q”是假命题答案解析a1xx22，显然a2时也能推出“x>0，x2”成立，所以“a1”是“x>0，x2”的充分不必要条件，故p是假命题，而q是真命题，故正确7判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形解(1)是全称命题且为真命题命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下(3)是存在性命题且为真命题命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形二、能力提升8命题“对任意xR，|x2|x4|>3”的否定是_答案存在xR，使得|x2|x4|3解析由定义知命题的否定为“存在xR，使得|x2|x4|3”9已知命题q：“三角形有且仅有一个外接圆”则綈q为“_”答案存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆解析全称命题的否定是存在性命题10已知p(x)：x22xm>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是_答案3,8)解析因为p(1)是假命题，所以12m0，解得m3.又因为p(2)是真命题，所以44m>0，解得m<8，故实数m的取值范围是3,8)11命题p是“对某些实数x，有xa>0或xb0”，其中a、b是常数(1)写出命题p的否定；(2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？解(1)命题p的否定：对任意实数x，有xa0且xb>0.(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集，通过画数轴可看出，a、b应满足的条件是b<a.12已知命题p：“至少存在一个实数x1,2，使不等式x22ax2a>0成立”为真，试求参数a的取值范围解由已知得綈p：x1,2，x22ax2a0成立设f(x)x22ax2a，则解得a3，綈p为假，a>3，即a的取值范围是(3，)三、探究与创新13已知命题p：xR,4x2x1m0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围解綈p是假命题，p是真命题也就是xR，有m(4x2x1)，令f(x)(4x2x1)(2x1)21，对任意xR，f(x)1.m的取值范围是m1.