【最新教材】人教a版必修5学案：2.5等比数列的前n项和含答案

新教材适用·高中必修数学2.5等比数列的前n项和材拓展1等比数列的判定方法有以下几种(1)定义法：q (q是不为0的常数，nN*)an是等比数列；(2)通项公式法：ancqn (c，q均是不为0的常数，nN*)an是等比数列；(3)中项公式法：aan·an2 (an·an1·an20，nN*)an是等比数列；(4)前n项和法：若SnA(qn1)，(A0，q0且q1)则an是等比数列，其中A.例如：等比数列an的前n项和是Sn32nt，则t的值是_解析an是等比数列，Sn32nt9·nt9，t9.答案92等比数列的通项公式(1)通项公式ana1qn1 (其中a1为等比数列an的首项，q为其公比)(2)等比数列与函数的关系由通项公式ana1qn1，可得anqn，当q>0，且q1时，yqx是一个指数函数，而yqx是一个不为零的常数与指数函数的积因此等比数列an的图象是函数yqx的图象上的一些离散点例如：已知an为等差数列，bn为等比数列，其公比q1，且bn>0，若a1b1，a11b11，则a6与b6的大小关系是_解析bn>0，b1>0，q>0.点(n，bn)分布在函数yqx的图象上点(n，an)分布在函数ydx(a1d)的图象上当q>1时，它们的图象如图1所示；当0<q<1时，它们的图象如图2所示；其中直线方程是ydx(a1d)，曲线方程是yqx.直线x6与直线ydx(a1d)的交点为(6，a6)，与曲线y·qx的交点为(6，b6)无论q>1还是0<q<1都有a6>b6.答案a6>b63等比数列的前n项和等比数列前n项和公式为Sn注意：等比数列前n项和公式有两种形式，运用该公式求和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当公比q不确定时，要注意对q分q1和q1进行讨论例如：1aa2an1_.(其中a0)答案4等比数列的常用性质在等比数列an中，(1)对任意的正整数m，n，有anamqnm.(2)对于任意的正整数m，n，p，q，若mnpq，则有am·anap·aq.(3)当或时，an是递增数列；当或时，an是递减数列；当q1时，an为常数列；当q<0时，an为摆动数列(4)若Sn为等比数列的前n项和，则Sk，S2kSk，S3kS2k，S(m1)kSmk，成等比数列(q1或k为奇数)(5)若Sn表示等比数列的前n项和，公比为q，则有SmnSmqmSn.例如：在等比数列an中，a57，a856，则通项an_.解析a8a5q3，q38，q2，ana5qn57×2n5.答案7×2n5法突破一、等比数列的判断与证明方法链接：证明数列是等比数列常用的方法：定义法：q (常数)；等比中项法：aanan2 (an0，nN*)；通项法：ana1qn1 (a1q0，nN*)要证明一个数列不是等比数列，只需证明相邻三项不成等比即可例如：a1a3a.例1已知数列an和bn满足：a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数(1)对任意实数，证明数列an不是等比数列；(2)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论(1)证明假设存在一个实数，使an是等比数列，则有aa1a3，即22492490，矛盾所以an不是等比数列(2)解因为bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n·(an3n21)bn，又b1(18)，所以当18时，bn0 (nN*)，此时bn不是等比数列；当18时，b1(18)0，由上可知bn0，所以 (nN*)故当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列综上，18时，bn不是等比数列；18时，bn是等比数列二、等比数列基本量运算方法链接：在等比数列an的通项公式和前n项和公式中共有五个量：a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组求出另外两个量例2设数列an为等比数列，且a1>0，它的前n项和为80，且其中数值最大的项为54，前2n项的和为6 560.求此数列的通项公式分析因为前n项和与2n项和已知，这为建立方程提供了条件，由此可求得首项a1与公比q之间的关系，进而确定an.解设数列的公比为q，由Sn80，S2n6 560，得q1，否则S2n2Sn.，得qn81.将qn81代入得，a1q1.又a1>0，q>1.数列an是递增数列从而，a1qn154，a1qn54q，81a154q.联立，解得q3，a12.ana1qn12×3n1.三、等比数列的性质及应用方法链接：对于等比数列，还有以下的常用结论：(1)如果数列an是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列c·an仍是等比数列；(2)如果an，bn是项数相同的等比数列，那么数列an·bn，仍是等比数列；(3)在等比数列an中，间隔相同的项构成的数列，仍是等比数列如a1，a4，a7，a10，；(4)Sn为等比数列an的前n项和，一般地：Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列(q1或n为奇数)；(5)若an是公比为q的等比数列，则SmnSnqnSm.解等比数列问题时，熟练运用上述性质，进行整体代换，可以简化解题过程，提高解题速度例3在等比数列an中，(1)若q，S9977，求a3a6a99的值；(2)若an的前m项和为2，其后2m项和为12，求再后3m项的和解(1)S99(a1a4a97)(a2a5a98)(a3a6a99)(a3a6a99)7(a3a6a99)77a3a6a9911.(2)涉及an的前6m项，把每m项之和依次记作：A1，A2，A3，A4，A5，A6，则它们成等比数列公比记作q.且A12，A2A312，A2A32q2q212，q2或q3.当q2时，A4A5A6A1(q3q4q5)2×(232425)112；当q3时，A4A5A6A1(q3q4q5)2×(3)3(3)4(3)5378.后3m项的和为112和378.四、错位相减求前n项和方法链接：等比数列an的前n项和公式的推导方法即错位相减法是很重要的方法，必须熟练掌握该法主要应用于已知数列求和中，各项的组成是等差数列和等比数列对应项乘积构成的新数列的求和问题例4设数列an的前n项和为Sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn12n22(n1)24n2，a1也满足上式故an的通项公式为an4n2，即an是a12，公差d4的等差数列设bn的公比为q，则b1qdb1，d4，q.故bnb1qn12×，即bn的通项公式为bn.(2)cn(2n1)4n1，Tnc1c2cn13×45×42(2n1)4n1，4Tn1×43×425×43(2n3)4n1(2n1)4n.两式相减得3Tn12×(442434n1)(2n1)4n(6n5)4n5，Tn(6n5)4n5五、等差中项与等比中项的运用方法链接：一个等比数列，除可以按定义设为a1，a1q，a1q2，之外，若已知连续三项，常可设为，a，aq，然后应用等差中项或等比中项建立方程求解例5互不相等的三个数之积为8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列解设三个数为，a，aq，a38，即a2，三个数为，2，2q.(1)若2为和2q的等差中项，则2q4，q22q10，q1，与已知矛盾；(2)若2q为与2的等差中项，则12q，2q2q10，q或q1(舍去)，三个数为4,1，2；(3)若为2q与2的等差中项，则q1，q2q20，q2或q1(舍去)，三个数为4,1，2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，2或2,1,4.六、等差数列与等比数列的公共项问题方法链接：1.一般地，两个等差数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等差数列公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数2一般地，一个等差数列与一个等比数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等比数列例6设An为数列an的前n项和，An(an1) (nN*)，数列bn的通项公式为bn4n3 (nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)将数列an、bn的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列dn，证明数列dn的通项公式为dn32n1 (nN*)(1)解由已知An(an1) (nN*)当n1时，a1(a11)，解得a13.当n2时，anAnAn1(anan1)，由此解得an3an1，即3 (n2)所以数列an是首项为3，公比为3的等比数列，故an3n (nN*)(2)证明由计算可知a1，a2不是数列bn中的项因为a3274×63，所以d127是数列bn中的第6项设ak3k是数列bn中的第m项，则3k4m3 (k，mN*)，因为ak13k13·3k3(4m3)4(3m2)1，所以ak1不是数列bn中的项而ak23k29·3k9(4m3)4(9m6)3，所以ak2是数列bn中的项由以上讨论可知d1a3，d2a5，d3a7，dna2n1.所以数列dn的通项公式是dna2n132n1 (nN*)区突破1求和时项数不清而致错例1求12222n的和错解12222n2n1.点拨错因在于没有搞清项数，首项为120，末项为2n，项数应为n1项正解这是一个首项为1，公比为2的等比数列前n1项的和，所以，12222n2n11.2利用等比数列求和公式忽视q1的情形而致错例2已知等比数列an中，a34，S312，求数列an的通项公式错解设等比数列的公比为q，则 解得q.所以ana3qn34·n3n5.点拨上述解法中忽视了等比数列前n项和公式中q1这一特殊情况正解当q1时，a34，a1a2a34，S3a1a2a312，q1符合题意an4.当q1时，解得：q，ana3qn3n5.故数列通项公式为an4或ann5.3忽略题目中的隐含条件而致错例3已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，求的值错解1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则a2a1d(4)(1)1.1，b1，b2，b3，4成等比数列b(1)×(4)4，b2±2.当b22时，当b22时，.±.点拨注意b2的符号已经确定，且b2<0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误正解1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则a2a1d(4)(1)1，1，b1，b2，b3，4成等比数列，b(1)×(4)4，b2±2.若设公比为q，则b2(1)q2，b2<0.b22，.题多解例已知数列cn，其中cn2n3n，且数列cn1pcn为等比数列，求常数p.解方法一因为cn1pcn是等比数列，所以当n2时，有(cn1pcn)2(cn2pcn1)(cnpcn1)，将cn2n3n代入上式，得2n13n1p(2n3n)22n23n2p(2n13n1)·2n3np(2n13n1)，即(2p)2n(3p)3n2(2p)2n1(3p)3n1(2p)2n1(3p)·3n1，整理得(2p)(3p)·2n·3n0.解得p2或p3.方法二由cn2n3n，得c15，c213，c335，c497.因而数列cn1pcn的前三项依次为135p,3513p,9735p.由题意得：(3513p)2(135p)(9735p)整理得：p25p60，p2或p3.当p2时，cn1pcn(2n13n1)2(2n3n)3n，3.此时cn1pcn是等比数列同理p3时数列cn1pcn也是等比数列，p2或p3.方法三cn1pcn是等比数列常数22为使为常数，也就是使2为常数. p20或p30，p2或p3.题赏析1(2011·大纲卷)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.解设an的公比为q，由题设得解得或当a13，q2时，an3×2n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an2×3n1，Sn3n1.2(2009·山东)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b>0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn，两式相减得Tn，故Tn，nN*.赏析本题主要考查数列的通项及求和的有关知识，考查运算能力和综合解题能力