北京市延庆区2017届高三数学一模考试试题 理（含解析）.doc

延庆区20162017学年度一模考试 高三数学（理科） 2017年3月本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】本题选择B选项. 2. 等差数列中，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 本题选择A选项.3. 已知e1,e2是互相垂直的两个单位向量，a=e1+2e2，b=4e12e2，则A. ab B. ab C. |a|=2|b| D. <a,b>=60【答案】B【解析】ab=(e1+2e2)(4e12e2)=4e12+6e1e24e22=44=0.ab 本题选择B选项.4. 右图是一个算法的程序框图，如果输入i=0，S=0，那么输出的结果为A. 23 B. 34 C. 45 D. 56【答案】C【解析】模拟程序框图运行过程，如下；当i=1时,S=112 ，满足循环条件，此时i=2；当i=2时,S=112+123 ，满足循环条件，此时i=3；当i=3时,S=112+123+134 ，满足循环条件，此时i=4；当i=4时,S=112+123+134+145 ，不满足循环条件，此时S=112+123+134+145=112+1213+1314+1415=115=45 本题选择C选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证5. 某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化，开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索. 此后，该网站的点击量每月都比上月增长，那么个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的A. 倍以上，但不超过倍 B. 倍以上，但不超过倍C. 倍以上，但不超过倍 D. 倍以上，但不超过倍【答案】D【解析】设第一个月的点击量为1.则4个月后点击量y=1+50%4=81165,6 .该网站的点击量和原来相比，增长为原来的5倍以上，但不超过6倍。本题选择D选项.6. 角的终边经过的一点P的坐标是(3,a)，则“|a|=1”的充要条件是A. sin=12 B. cos=32 C. tan=33 D. |PO|=3+1【答案】B【解析】cos=3(3)2+a2 ,“|a|=1”的充要条件是cos=32 .本题选择B选项.7. 设a=log215，b=log315，c=20.1，则a,b,c间的大小关系是A. c>b>a B. c>a>b C. b>a>c D. a>b>c【答案】A【解析】a=log215<b=log315<0,c=20.1>0 ，c>b>a.本题选择A选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小8. 某翻译公司为提升员工业务能力，为员工开设了英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程，要求每名员工参加且只参加其中两种。无论如何安排，都有至少5名员工参加的培训完全相同。问该公司至少有多少名员工？A. 17 B. 21 C. 25 D. 29【答案】C【解析】开设英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程，要求每名员工参加且只参加其中两种。没有相同的安排共有C24=6 种，当每种安排各有4人，则没有5名员工参加的培训完全相同。此时有员工46=24人，当增加1人，必有5名员工参加的培训完全相同。该公司至少有25名员工。本题选择C选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法第卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知是虚数单位，则复数1i1+i在复平面上所对应的点的坐标是_.【答案】(0,1)【解析】1i1+i=1i1i1+i1i=i 所以复数1-i1+i在复平面上所对应的点的坐标是0,1 .10. 在相距2千米的两点A,B处测量目标C，若CAB=75，CBA=60，则A,C两点间的距离是_千米.【答案】6【解析】如图，由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x,CAB=75，CBA=60，ACB=180-75-60=45，AD=22x ，在RtABD中，ABsin60=22x=3x=6 （千米），所以A,C两点间的距离是6 千米.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.11. 极坐标系中，点P(2,2)关于直线l:cos=1的对称点的一个极坐标是_.【答案】(22,4)【解析】在直角坐标系中，A(0,2)，直线l:x=1，A关于直线l的对称点B(2,2).由于OB=22 ，OB直线的倾斜角等于4 ，且点B在第一象限，故B的极坐标为(22,4) .12. 将5幅不同的冬奥会宣传作品排成前后两排展出，每排至少2幅，其中A,B两幅作品必须排在前排，那么不同的排法共有_种.【答案】48【解析】根据题意，分2种情况讨论：前排2幅,后排3幅,则前排的必须是A,B,考虑其顺序,有A22=2 种情况，剩下的三幅放在后排,有A33=6 种情况，则此时有26=12种不同的排法，前排3幅，后排2幅，需要先在剩下3幅中,选出1幅,与A. B一起放在前排,有C31A33=18 种情况，剩下的2幅放在后排,考虑其顺序,有A22=2种情况，则此时有182=36种不同的排法，则不同的排法共有12+36=48种；故答案为：48.13. 过双曲线C:x2a2y2b2=1（a>0,b>0)的右焦点F的直线l:y=3x43与C只有一个公共点，则C的焦距为_，C的离心率为_.【答案】 (1). 8 (2). 2【解析】过双曲线C:x2a2y2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程为y=bax ，因为过双曲线C: x2a2y2b2=1a>0,b>0的右焦点F的直线l:y=3x43 与C只有一个公共点，所以ba=3,0=3c43 ，又因为a2+b2=c2 ，解得c=3,a=32 ，所以2c=8,e=ca=2 ，则C的焦距为8，C的离心率为2.14. 棱长均为2的正四面体ABCD在平面的一侧，是ABCD在平面内的正投影，设的面积为S，则S的最大值为_，最小值为_.【答案】 (1). 2 (2). 2故S的最大值为2，最小值为2 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数f(x)=sin2x+sin(32x).（）求f(x)的最大值及相应的x值；（）设函数g(x)=f(4x)，如图，点P,M,N分别是函数y=g(x)图像的零值点、最高点和最低点，求cosMPN的值.【答案】(1)1, x=k+12,kZ;(2) 55.【解析】试题分析：()整理函数的解析式f(x)=sin(2x+3)，据此可得x=k+12,kZ时，f(x)max=1.()利用题意可得PM=2,MN=22,PN=10，在直角三角形中可得cosMPN=55.试题解析：（）f(x)=sin2x+32cos2x-12sin2x =12sin2x+32cos2x =sin(2x+3) f(x)max=1， 此时2x+3=2k+2 x=k+12,kZ. （）g(x)=sin2(4x)+3 =sin(2x+3) 过D作MDx轴于D，PD=DM=1 PMN=90, PM=2,MN=22,PN=10 cosMPN=210=55. 点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚16. 某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0-500元；500-1000元；1000-1500元；1500-2000元四个档次，针对A,B两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示：0500元5001000元10001500元15002000元A类20502010B类50301010月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群，超过1000元的视为中高收入人群.（）从A类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；（）从A,B两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率；（）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计A,B两类人群哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）.【答案】(1)0.7;(2)0.78;(3)B.【解析】试题分析：()利用题意结合古典概型公式可得从A类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率为0.7；()利用题意列出所有可能的时间，然后进行计算可得甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率为0.78()利用题中数据的波动程度可得A,B两类人群哪类月均服装消费额的方差较大是B.试题解析：（）设此人属于中低消费人群为事件M， 则 P(M)=20+50100=0.7 （）设甲的消费档次不低于乙的消费档次为事件N， 则 P(N)=5101+310810+110310+110110 =50100+24100+3100+1100=0.78 （）答：B 17. 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形,AB/DC,ADDC,侧面PDC底面ABCD,PDC是等边三角形，AB=AD=12CD=1，点E,F,G分别是棱PD,PC,BC的中点 .（）求证：AP/平面EFG；（）求二面角GEFD的大小；（）在线段PB上存在一点Q，使PC平面ADQ，且PQ=PB，求的值.【答案】(1)详见解析;(2) 30;(3) =23.【解析】试题分析：()由题意证得PA/EH，结合线面平行的判断定理可得PA/平面EFG. ()建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角G-EF-D的大小为30；()利用(II)中的空间直角坐标系结合空间向量的坐标表示得到关于实数 的方程，解方程可得=23.试题解析：（）证明：设H是AD的中点，连接EH,GH E,F,G分别是PD,PC,BC的中点 EF/CD，GH/CD，EF/GH E,F,G,H四点共面 PA/EH，PA平面EFGH，PA/平面EFG （） 平面PDC 底面EFGH，ADDC AD平面PDC，过点D作z轴与平面ABCD垂直，则z轴平面PDC以DA,DC分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系D-xyz 设平面EFD的法向量为m，则m=(1,0,0) 设平面EFG的法向量为n=(x,y,z)G(12,32,0)，E(0,12,32)，F(0,32,32)EF=(0,1,0)，GF=(-12,0,32)nEF=0nGF=0，y=0-12x+32z=0n=(3,0,1) cos<m,n>=mnmn=312=32 <m,n>=30，所求二面角大小为30. （）P(0,1,3)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，设Q(x,y,z)PC=(0,1,-3)，PB=(1,0,-3)， PQ=(x,y-1,z-3)=(1,0,-3)=(,0,-3) Q(,1,3-3)，AQ=(-1,-1,3-3) PC平面ADQ，PCAQ -1+3-3=0，=23 . 点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.18. 已知函数f(x)=(x+a)ln(ax)()当a=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；()当a=e时，求证：函数f(x)在x=0处取得最值【答案】(1) y=x;(2)详见解析.【解析】试题分析：()利用导数求得斜率为1，结合切线所过的点，由点斜式方程可得切线方程为y=-x;.试题解析：()因为a=1 f(x)=ln(1-x)+x+1x-1， f(0)=-1，所以k=-1 因为f(0)=0所以切点为(0,0)， 则切线方程为y=-x ()证明:定义域(-,e)函数a=e所以f(x)=ln(e-x)+x+ex-e f(0)=e f(x)=ln(e-x)+2ex-e+1 当x(-,e)时，y=ln(e-x),y=2ex-e+1均为减函数 f(x)=ln(e-x)+2ex-e+1所以f(x)在(-,e)上单调递减； 又f(0)=0因为当x(-,0)时f(x)=ln(e-x)+2ex-e+1>0， f(x)在(-,0)上单调递增； 又因为当x(0,e) f(x)=ln(e-x)+2ex-e+1<0 f(x)在x(0,e)上单调递减； 因为f(0)=0所以f(x) 在x=0处取得最大值 解法二: 当x(-,0)时，-x>0, e-x>e ,ln(e-x)>lne=1 ln(e-x)+1>2 又因为x<0, x-e<-e,1x-e>1-e,2ex-e>2e-e=-2,2ex-e>-2 f(x)=ln(e-x)+2ex-e+1>0，f(x)在(-,0)上单调递增； 当x(0,e) -x(-e,0),e-x(0,e) ln(e-x)<1， 又因为x(0,e) -e<x-e<0,1x-e<1-e,2ex-e<2e-e=-2,2ex-e<-2 f(x)=ln(e-x)+2ex-e+1<0,f(x)在x(0,e)上单调递减； 又因为f(0)=0所以f(x)在x=0处取得最大值 解法三:也可以二次求导,老师斟酌给分19. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=32.且经过点(0,1)，C与x轴交于A,B两点，以AB为直径的圆记为C1，P是C1上的异于A,B的点.（）求椭圆C的方程；（）若PA与椭圆C交于点M，且满足|PB|=2|OM|，求点P的坐标.【答案】(1) x24+y2=1;(2) (23,423).【解析】试题分析：()由题意求得a=2,b=1 ，据此可得椭圆C的方程为x24+y2=1；()联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和中点坐标公式可得点P的坐标为(-23,423).试题解析：（）由已知得ca=32b=1，解得a=2所以椭圆C的方程为x24+y2=1 （）法一： 点P在曲线C1上， PAPB又PB=2OM，且O为AB的中点OM为的ABP中位线，且OMAP否则|PB|<2OM，与PB=2OM矛盾 设点M的坐标为(s,t) 点M在曲线C上， s2+4t2-4=0 OMAM， (s+1)2+t2=1 由得：t2=1-(s+1)2，代入整理得：3s2+8s+4=0解得：s=-23或s=-2（舍）， t=223，设点P的坐标为(x0,y0)则 -2+x02=-23,y02=223 x0=23,y0=423 点P的坐标为(-23,423). 法二： 点P在曲线C1上， PAPB又PB=2OM，且O为AB的中点OM为的ABP中位线，且OMAP否则|PB|<2OM，与PB=2OM矛盾 由（）知，A(-2,0)，设直线AP: y=k(x+2) y=k(x+2)x24+y2=1，得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0， =16>0，设M(xm,ym)，由韦达定理可知，xm-2=-16k21+4k2，xm=2-8k21+4k2 ym=k(xm+2)=4k1+4k2由OMAP，得AMOMAM=(41+4k2,4k1+4k2)，OM=(2-8k21+4k2,4k1+4k2)AMOM=41+4k22-8k21+4k2+4k1+4k24k1+4k2=0 即8-16k2=0，k=22，M(-23,232) 设P(xp,yp)，点M是A,P的中点，-23=-2+xp223=yp2，得xp=-23yp=432，故P(23,432)20. 设A2n=(a1,a2,a2n)是由2n个实数组成的有序数组，满足下列条件：ai1,1，i=1,2,2n；a1+a2+a2n=0；a1+a2+ai0，i=1,2,2n1.（）当n=3时，写出满足题设条件的全部A6； （）设n=2k1，其中kN*，求a1+a2+an的取值集合；（）给定正整数n，求A2n的个数.【答案】(1) 详见解析;(2) 1,3,5,2k1; (3) 1n+1C2nn【解析】试题分析：()利用题中所定义的A2n 可得A6 共有5个可能的值；()利用题意逐一交换元素的位置，讨论可得：a1+a2+an的取值集合为1,3,5,2k-1()利用(II)中的方法结合排列组合相关结论可得给定正整数n，求A2n的个数是1n+1C2nn试题解析：（）解：A6=(1,1,1,-1,-1,-1)，A6=(1,1,-1,1,-1,-1)，A6=(1,1,-1,-1,1,-1)，A6=(1,-1,1,1,-1,-1)，A6=(1,-1,1,-1,1,-1)，共5个 （）解：首先证明a1=1，且a2n=-1在中，令i=1，得a10由得a1=1由得a2n=-(a1+a2+a2n-1)在中，令i=2n-1，得a1+a2+a2n-10，从而由得考虑，即，此时为最大值现交换与，使得，此时现将逐项前移，直至在前移过程中，显然不变，这一过程称为1次移位继续交换与，使得，此时现将逐项前移，直至在前移过程中，显然不变，执行第2次移位依此类推，每次移位的值依次递减经过有限次移位，一定可以调整为，交替出现注意到为奇数，所以为最小值所以，的取值集合为 （）解：由、可知，有序数组中，有个，个显然，从中选个，其余为的种数共有种下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足条件，记该数为如果不满足条件，则一定存在最小的正整数，使得 （）； （）将统统改变符号， 这一对应为：， 从而将变为个，个组成的有序数组反之，任何一个个，个组成的有序数组由于多于的个数，所以一定存在最小的正整数，使得令对应为：， 从而将变为个，个组成的有序数组因此，就是个，个组成的有序数组的个数所以的个数是