2018年秋高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法学案 新人教A版选修2-2.doc
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2018年秋高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法学案 新人教A版选修2-2.doc
2.2.2反证法学习目标:1.了解反证法是间接证明的一种基本方法(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题(重点、难点) 自 主 预 习探 新 知反证法的定义及证题的关键思考1:反证法的实质是什么?提示反证法的实质就是否定结论,推出矛盾,从而证明原结论是正确的思考2:有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理,这种说法对吗?为什么?提示反证法是间接证明中的一种方法,其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理基础自测1思考辨析(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题()(3)反证法的实质是否定结论推出矛盾()答案(1)(2)(3)2“a<b”的反面应是()AabBa>bCab Dab或a>b答案D3用反证法证明“如果ab,那么”,假设的内容应是_. 【导学号:31062152】答案4应用反证法推出矛盾的推导过程中,下列选项中可以作为条件使用的有_(填序号)结论的反设;已知条件;定义、公理、定理等;原结论解析反证法的“归谬”是反证法的核心,其含义是:从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发,引用一系列论据进行正确推理,推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果答案 合 作 探 究攻 重 难用反证法证明否定性命题已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列求证:,不成等差数列证明假设,成等差数列,则2,即ac24b.a,b,c成等比数列,b2ac,即b,ac24,()20,即.从而abc,与a,b,c不成等差数列矛盾,故,不成等差数列规律方法1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1设SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆心,C是SB上一点,求证:AC与平面SOB不垂直证明假设AC平面SOB,如图,直线SO在平面SOB内,SOAC.SO底面圆O,SOAB.SO平面SAB.平面SAB底面圆O.这显然出现矛盾,所以假设不成立,即AC与平面SOB不垂直用反证法证明唯一性命题求证方程2x3有且只有一个根. 【导学号:31062153】证明2x3,xlog23,这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的:假设方程2x3至少有两个根b1,b2(b1b2),则2b13,2b23,两式相除得2b1b21.若b1b2>0,则2 b1b2>1,这与2 b1b21相矛盾若b1b2<0,则2 b1b2<1,这也与2 b1b21相矛盾b1b20,则b1b2.假设不成立,从而原命题得证规律方法巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时,由于反设结论易于推出矛盾,故常用反证法证明.(2)用反证法证题时,如果欲证明命题的反面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立.(3)证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.跟踪训练2求证:两条相交直线有且只有一个交点证明假设结论不成立,则有两种可能:无交点或不止一个交点若直线a,b无交点,则ab或a,b是异面直线,与已知矛盾若直线a,b不只有一个交点,则至少有两个交点A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述,两条相交直线有且只有一个交点用反证法证明“至多”“至少”问题探究问题1你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗?提示:量词含义至少有一个有n个,其中n1至多有一个有0或1个至少有n个大于等于n个 2.在反证法证明中,你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的反设词吗?提示:量词反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有n个至多有n1个已知a1,求证三个方程:x24ax4a30,x2(a1)xa20,x22ax2a0中至少有一个方程有实数解. 【导学号:31062154】证明假设三个方程都没有实根,则三个方程中:它们的判别式都小于0,即:a1,这与已知a1矛盾,所以假设不成立,故三个方程中至少有一个方程有实数解母题探究:1.(变条件)将本题改为:已知下列三个方程x24ax4a30,x2(a1)xa20,x22ax2a0至少有一个方程有实数根,如何求实数a的取值范围?解若方程没有一个有实根,则解得即a1,故三个方程至少有一个方程有实根,实数a的取值范围是.2(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根,求实数a的取值范围解假设三个方程都有实数根,则即解得即a.所以实数a的取值范围为实数R.规律方法当命题中出现“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“没有”、“唯一”等指示性词语时,宜用反证法.提醒:对于此类问题,需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义,弄清结论的否定是什么,避免出现证明遗漏的错误. 当 堂 达 标固 双 基1用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是() 【导学号:31062155】A有两个内角是钝角B有三个内角是钝角C至少有两个内角是钝角D没有一个内角是钝角C“最多只有一个”的否定是“至少有两个”,故选C.2如果两个实数之和为正数,则这两个数()A一个是正数,一个是负数B两个都是正数C至少有一个正数D两个都是负数C假设两个数分别为x1、x2,且x10,x20,则x1x20,这与两个数之和为正数矛盾,所以两个实数至少有一个正数,故应选C.3已知平面平面直线a,直线b,直线c,baA,ca,求证:b与c是异面直线,若利用反证法证明,则应假设_解析空间中两直线的位置关系有3种:异面、平行、相交,应假设b与c平行或相交答案b与c平行或相交4用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:ABC9090C>180,这与三角形内角和为180相矛盾,则AB90不成立;所以一个三角形中不能有两个直角;假设A、B、C中有两个角是直角,不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_. 【导学号:31062156】解析根据反证法证题的三步骤:否定结论、导出矛盾、得出结论答案5. 设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和求证:数列Sn不是等比数列证明假设数列Sn是等比数列,则SS1S3,即a(1q)2a1a1(1qq2),因为a10,所以(1q)21qq2,即q0,这与公比q0矛盾所以数列Sn不是等比数列