2019高考数学 考点突破——立体几何初步：直线、平面垂直的判定及其性质学案.doc

直线、平面垂直的判定及其性质【考点梳理】1直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(4)直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线垂直于同一条直线的两平面平行2直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90和0.3二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角4平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l【考点突破】考点一、线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.解析 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.【类题通法】1证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想【对点训练】如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积解析 (1)因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD.又因为CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，所以CD平面ABD.(2)由AB平面BCD，得ABBD.又ABBD1，所以SABD12.因为M是AD的中点，所以SABMSABD.根据(1)知，CD平面ABD，则三棱锥CABM的高hCD1，故VAMBCVCABMSABMh.考点二、面面垂直的判定与性质【例2】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解析 (1)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.【类题通法】1面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题2垂直问题的转化关系：【对点训练】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.解析 (1)由已知BAPCDP90，得ABPA，CDPD.由于ABCD，故ABPD.又PAPDP，PA，PD平面PAD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，又ABADA，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx，故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2，可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.考点三、平行与垂直的综合问题【例3】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.解析 (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因为B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.【类题通法】1三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化2垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用【对点训练】在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB解析 (1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.【例4】如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，BAC90，AA1BC，AA1AC2AB4，且BC1A1C.(1)求证：平面ABC1平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE平面ABC1.若存在，求三棱锥E ABC1的体积解析 (1)在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，AA1AB，又AA1BC，ABBCB，A1A平面ABC，A1AAC，又A1AAC，A1CAC1.又BC1A1C，BC1AC1C1，A1C平面ABC1，又A1C平面A1ACC1，平面ABC1平面A1ACC1. (2)当E为B1B的中点时，连接AE，EC1，DE，如图，取A1A的中点F，连接EF，FD，EFAB，DFAC1，又EFDFF，ABAC1A，平面EFD平面ABC1，又DE平面EFD，DE平面ABC1.此时VE ABC1VC1 ABE224.【类题通法】1对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性2平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.【对点训练】如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD. 解析 (1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点理由如下：连接CM，因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)由已知，PAAB，PACD，因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.因为ADBC，BCAD，M为AD的中点，连接BM，所以BCMD，且BCMD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.