数学中考：第五单元 第18课时 二次函数的应用

2019 届数学中考复习资料第 18 课时二次函数的应用(60 分)一、选择题(每题 6 分，共 12 分)1图 181是图中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 y1400(x80)216， 桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在水面， 且有ACx 轴，若 OA10 m，则桥面离水面的高度 AC 为(B)图 181A16940mB.174mC16740mD.154m【解析】 ACx 轴，OA10 m，点 C 的横坐标为10.当 x10 时，y1400(x80)2161400(1080)216174，点 C 的坐标为10，174 ，桥面离水面的高度 AC 为174m.22017临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间 t(单位：s)之间的关系如下表：t01234567h0814182020184下列结论：足球距离地面的最大高度为 20 m；足球飞行路线的对称轴是直线 t92；足球被踢出 9 s 时落地；足球被踢出 1.5 s 时，距离地面的高度是 11 m其中正确结论的个数是(B)A1B2C3D4【解析】 利用待定系数法可求出二次函数表达式；将函数表达式配方成顶点式可得对称轴和足球距离地面的最大高度；求出 h0 时 t 的值，即可得足球的落地时间；求出 t1.5 s 时 h 的值，即可对作出判断由表格可知抛物线过点(0，0)，(1，8)，(2，14)，设该抛物线的表达式为 hat2bt，将点(1，8)， (2， 14)分别代入， 得ab8，4a2b14，解得a1，b9.ht29tt922814，则足球距离地面的最大高度为814m，对称轴是直线 t92，错误、正确；ht29t0，当 h0 时，t0 或 9，正确；当 t1.5 s 时，ht29t11.25，错误综上所述，正确结论的个数是 2.二、填空题(每题 6 分，共 18 分)32016台州竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔 1 s依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后 1.1 s 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后 t(s)时在空中与第2 个小球的离地高度相同，则 t_1.6_s.【解析】 设各自抛出后 1.1 s 时到达相同的最大离地高度为 h，则小球的高度ya(t1.1)2h，由题意，得 a(t1.1)2ha(t11.1)2h，解得 t1.6.故第一个小球抛出后 1.6 s 时在空中与第二个小球的离地高度相同4 如图 182， 在ABC 中， B90， AB12 mm，BC24 mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以2 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么经过_3_s，四边形 APQC 的面积最小【解析】 设经过 t s， 四边形面积最小， S四边形APQC12122412(122t)4t4t224t144(0t6)，当 tb2a24243 时，S四边形APQC最小52017温州小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图 183)，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点 A，出水口 B 和落水点 C 恰好在同一直图 182线上，点 A 至出水管 BD 的距离为 12 cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图所示，现用高 10.2 cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D和杯子上底面中心 E，则点 E 到洗手盆内侧的距离 EH 为_248 2_图 183【解析】建立如答图所示的直角坐标系， 过 A 作 AGOC于 G，交 BD 于 Q，过 M 作 MPAG 于 P，由题可得 AQ12，PQMD6，故 AP6，AG36，在 RtAPM中，MP8，DQ8OG，BQ1284.由 BQCG可得ABQACG，BQCGAQAG，即4CG1236，解得 CG12，则 OC12820，C(20，0)又水流所在抛物线经过点 D(0，24)，可设抛物线表达式为 yax2bx24，把 C(20，0)，B(12，24)代入，可得24144a12b24，0400a20b24，解得a320，b95，抛物线为 y320 x295x24，令 y10.2，解得 x168 2，x268 2(舍去)，点 E 的横坐标为 68 2，又ON30，EH30(68 2)248 2.三、解答题(共 30 分)6(15 分)2016郴州某商店原来平均每天可销售某种水果 200 kg，每千克可盈利 6 元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价 1 元，则每天可多售出 20 kg.第 5 题答图(1)设每千克水果降价 x 元，平均每天盈利 y 元，试写出 y 关于 x 的函数表达式；(2)若要平均每天盈利 960 元，则每千克应降价多少元？解：(1)根据题意，得y(20020 x)(6x)20 x280 x1 200.(2)令 y960，则96020 x280 x1 200，即 x24x120，解得 x2 或6(舍去)答：若要平均每天盈利 960 元，则每千克应降价 2 元7(15 分)2016南京如图 184 是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面 OA宽 4 m，从 O，A 两处观测 P 处，仰角分别为，且 tan12，tan32，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系图 184第 7 题答图(1)求点 P 的坐标；(2)水面上升 1 m 后，水面宽多少( 2 取 1.41，结果精确到 0.1 m)?解：(1)如答图，过点 P 作 PHOA 于点 H，设 PH3x，在 RtOHP 中，tanPHOH12，OH6x.在 RtAHP 中，tanPHAH32，AH2x，OAOHAH8x4，x12，OH3，PH32，点 P 的坐标为3，32 ；(2)如答图，若水面上升 1 m 后到达 BC 位置，过点 O(0，0)，A(4，0)的抛物线的表达式可设为 yax(x4)，点 P3，32 在抛物线 yax(x4)上，代入得 3a(34)32，解得 a12，抛物线的表达式为 y12x(x4)当 y1 时，12x(x4)1，解得 x12 2，x22 2，BC(2 2)(2 2)2 22.8(m)答：水面上升 1 m 后，水面宽约为 2.8 m.(25 分)8(10 分)2017德州随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽小明家附近的广场中央新修了个圆形喷水池(如图 185)，在水池中心竖直安装了一根高为 2 m 的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，水柱落地处离池中心 3 m.图 185(1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出水柱抛物线的函数表达式；(2)水柱的最大高度是多少？【解析】(1)由于题目所给数据均与水池中心相关， 故可选取水池中心为原点，原点与水柱落地点所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，再利用顶点式求解函数关系式；(2)抛物线的顶点纵坐标即为水柱的最大高度解：(1)如答图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系由题意可设抛物线的函数表达式为 ya(x1)2h(0 x3)第 8 题答图抛物线过点(3， 0)和(0， 2)， 代入抛物线表达式， 可得4ah0，ah2，解得a23，h83.抛物线表达式为 y23(x1)283(0 x3)，化为一般式为 y23x243x2(0 x3)；(2)由(1)知抛物线表达式为 y23(x1)283，当 x1 时，y83.答：水柱的最大高度为83m.9(15 分)2017成都随着地铁和共享单车的发展， “地铁单车”已成为很多市民出行的选择， 李华从文化宫站出发， 先乘坐地铁， 准备在离家较近的 A， B，C，D 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为 x(单位：km)，乘坐地铁的时间 y1(单位：min)是关于 x 的一次函数，其关系如下表：地铁站ABCDEx(km)y1(min)(1)求 y1关于 x 的函数表达式；(2)李华骑单车的时间 y2(单位： min)也受 x 的影响， 其关系可以用 y212x211x78 来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间解：(1)设乘坐地铁的时间 y1关于 x 的一次函数是 y1kxb，把 x8，y118；x10，y122 代入，得188kb，2210kb，解得k2，b2，y1关于 x 的函数表达式是 y12x2；(2)设回家所需的时间为 y，则 yy1y2，即 y2x212x211x7812x29x8012(x9)2792，当 x9 时，y最小792(min)答：李华选择从 B 地铁口出站，骑单车回家的时间最短，最短时间为792min.(15 分)10(15 分)2017嘉兴如图 186，某日的钱塘江观潮信息如下表：2017 年月日，天气：阴；能见度：1.8 km.11：40 时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12：10 时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；12：35 时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”图 186按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离 s(km)与时间t(min)的函数关系用图表示，其中：“11：40 时甲地交叉潮的潮头离乙地 12 km” 记为点 A(0， 12)， 点 B 坐标为(m， 0)， 曲线 BC 可用二次函数 s1125t2btc(b，c 是常数)刻画(1)求 m 的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)11：59 时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以 0.48 km/min 的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为 0.48 km/min，小红逐渐落后，问小红与 潮 头 相 遇 到 落 后 潮 头1.8km共 需 多 长 时 间 ？潮水加速阶段速度 vv02125（t30） ，v0是加速前的速度解：(1)由题意可知：m30，B(30，0)，潮头从甲地到乙地的速度为12300.4(km/min)；(2)潮头的速度为 0.4 km/min，到 11：59 时，潮头已前进 190.47.6(km)，设小红出发 x min 与潮头相遇，0.4x0.48x127.6，解得 x5，小红 5 min 与潮头相遇；(3)把 B(30，0)，C(55，15)代入 s1125t2btc，解得 b225，c245，s1125t2225t245.v00.4，v2125(t30)25，当潮头的速度达到单车最高速度 0.48 km/min，0.482125(t30)25，解得 t35.此时，s1125t2225t245115.从 t35 min(12：15 时)开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以 0.48 km/min 的速度匀速追赶潮头设她离乙地的距离为 s1，则 s1与时间 t 的函数关系式为 s10.48th(t35)，当 t35 时，s1s115，代入可得 h735，s11225t735.最后潮头与小红相距 1.8 km 时，即 ss11.8，1125t2225t2451225t7351.8，解得 t50 或 20(不符合题意，舍去)，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时 6 min，共需要时间为 6503026(min)答：小红与潮头相遇到潮头离她 1.8 km 外共需要 26 min.