新版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时训练

1 1第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念一、 填空题1. 以下对象的全体能够构成集合的是_(填序号) 中国古代四大发明； 地球上的小河流； 方程x210的实数解； 周长为10 cm的三角形答案：解析：根据集合中元素的特征，可知符合2. 下面有四个命题： 集合N中最小的数是1； 若a不属于N，则a属于N； 若aN，bN，则ab的最小值为2； x212x的解集可表示为1，1其中正确命题的个数为_ .答案：0解析： 最小的数应该是0； 反例：0.5N，但0.5N； 反例：当a0，b1时，ab1； 不满足元素的互异性3. 下列集合中表示同一集合的是_(填序号) M(3，2)，N(2，3)； M2，3，N3，2； M(x，y)|xy1，Ny|xy1； M2，3，N(2，3)答案：解析：中的集合M表示由点(3，2)所组成的单点集，集合N表示由点(2，3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合；中的集合M表示由直线xy1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线xy1上的所有点的纵坐标组成的集合，即Ny|xy1R，故集合M与N不是同一个集合；中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合；对于，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合4. 方程组的解集是_答案：(5，4)解析：由得该方程组的解集为(5，4)5. 设集合A3，m，B3m，3，且AB，则实数m的值是_答案：0解析：由3，m3m，3，得m3m，m0.6. 设非空数集M1，2，3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有_个答案：6解析：集合1，2，3的所有子集共有238(个)，不含奇数元素的集合有2，共2个，故满足要求的集合M共有826(个)7. 已知A1，2，3，BxR|x2ax10，aA，则BA时，a_答案：1或2解析：验证a1时B满足条件；验证a2时B1也满足条件验证a3时B，不满足条件8. 已知集合Aa，Bx|x25x4<0 ，xZ，若AB，则a等于_答案：2或3解析：由题意可得Bx|1<x<4，xZ2，3，结合子集的定义可得a等于2或3.9. 已知集合Ax|2x7，Bx|m1<x<2m1若BA，则实数m的取值范围是_答案：(，4解析：当B时，有m12m1，则m2；当B时，若BA，如图则解得2<m4.综上，m的取值范围为(，410. 已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx<0，c>0若AB，则实数c的取值范围是_ 答案：1，)解析：Ax|ylg(xx2)x|xx2>0(0，1)，Bx|x2cx<0，c>0(0，c)，因为AB，画出数轴，如图所示，得c1.二、 解答题11. 已知集合Ax|0，Bx|x22xa22a0若AB，求实数a的取值范围 解：Bx|(xa)(xa2)<0， 当a1时，B， AB不成立； 当a2>a，即a>1时，B(a，a2) AB， 解得a5； 当a2<a，即a<1时，B(a2，a) AB， 解得a7.综上，实数a的取值范围是(，75，)12. 设集合A的元素为实数，且满足 1A， 若aA，则A.(1) 若2A，试求集合A；(2) 若aA，试求集合A；(3) 集合A能否为单元素集合？若能，求出该集合；若不能，请说明理由 解：(1) 由题意知1A，A，而2， A.(2) 由题意知A，A，而a. A.(3) 假设A为单元素集合，则必有a， a为a2a10的根 a2a10无实根， 这样的a不存在，即A不可能是单元素集合13. (20xx·溧阳中学周练)已知集合Ax|x3n1，nZ，Bx|x3n2，nZ，Cx|x6n3，nZ(1) 若cC，问是否存在aA，bB，使cab.(2) 对于任意的aA，bB，是否一定有abC？并证明你的结论解：(1) 令c6m3(mZ)，则c3m13m2.再令a3m1，b3m2，则cab.故若cC，存在aA，bB，使cab成立(2) 不一定有abC.证明如下：设a3m1，b3n2(m，nZ)，则ab3(mn)3.因为m，nZ，所以mnZ.若mn为偶数，令mn2k(kZ)，则3(mn)36k3，此时abC.若mn为奇数，令mn2k1(kZ)，则3(mn)36k66(k1)，此时abC.综上可知，对于任意的aA，bB，不一定有abC.第2课时集合的基本运算一、 填空题1. 已知集合Ax|x>0，函数f(x)的定义域为集合B，则AB_答案：2，3解析：Bx|2x3AB(0，)2，32，32. 已知集合A(0，1)，(1，1)，(1，2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，则AB_答案：(0，1)，(1，2)解析：A，B都表示点集，AB即是由A中在直线xy10上的所有点组成的集合，代入验证即可3. (20xx·河北衡水中学期初)设集合A，B，则AB_答案：1，解析：由y21得x，即A，由By|yx21，得B1，)，则AB1，4. 设全集UR，Ax|x>1，Bx|xa<0，BRA，则实数a的取值范围为_答案：1，)解析： Ax|x>1， RAx|x1如图所示 Bx|x<a，要使BRA，则a1，即a1.5. (原创)集合Ax|kxk，kZ，Bx|2x2，则集合AB_答案：2，0解析：由已知集合A，Bx|2x2，利用数轴表示易得AB2，0，26. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_人答案：8解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，令同时参加数学、化学小组的人数为x，则有20x6549xx36，故x8.7. 已知集合Ax|1x<5，Cx|a<xa3若CAC，则a的取值范围是_答案：(，1解析：因为CAC，所以CA. 当C时，满足CA，此时aa3，得a； 当C时，要使CA，则解得<a1.综合知a的取值范围为(，18. 已知集合A(x，y)|ya，B(x，y)|ybx1，b>0，b1若集合AB只有一个真子集，则实数a的取值范围是_答案：(1，)解析：由于集合B中的元素是指数函数ybx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合AB只有一个真子集，那么ybx1(b>0，b1)与ya的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，)9. 给定集合A，若对于任意a，bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： 集合A4，2，0，2，4为闭集合； 集合An|n3k，kZ为闭集合； 若集合A1，A2为闭集合，则A1A2为闭集合其中正确的结论是_(填序号)答案：解析：4(2)6A，所以不正确；设n1，n2A，n13k1，n23k2，k1，k2Z，则n1n2A，n1n2A，所以正确；令A1x|x2k，kZ，A2x|x3k，kZ，则A1，A2为闭集合，但A1A2不是闭集合，所以不正确10. 设集合Ax|x22x3>0，集合Bx|x22ax10，a>0若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是_答案：解析：Ax|x22x3>0x|x>1或x<3，因为函数yf(x)x22ax1的对称轴为xa>0，f(0)1<0，根据对称性可知要使AB中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f(2)0且f(3)>0，即所以即a<.二、 解答题11. 已知集合Aa2，a1，3，Ba3，a2，a21若AB3，求AB.解：由AB3知：3B，又a211，故 当a33时，a0，此时A0，1，3，B3，2，1，由于AB3，故a0舍去； 当a23时，a1，此时A0，1，3，B3，4，2，满足AB3，从而AB4，3，0，1，2说明：由3B对B的元素进行讨论，注意对a的值进行验证，防止增解12. 已知A，By|yasin ，aR(1) 求A；(2) 若AB，求a的取值范围解：(1) 由1，得0，解得x<3或x4， A(，3)4，)(2) 由得sin 1，所以By|yasin ，aR AB，当a>0时，有0<a<4；当a0时，AB，符合题意；当a<0时，有3a<0；综上，3a<4，从而a的取值范围是3，4)13. 已知集合Ax|x22x3>0，Bx|x24xa0，aR(1) 存在xB，使得AB，求a的取值范围；(2) 若ABB，求a的取值范围解：(1) 由题意得B，故164a0，解得a4.令f(x)x24xa(x2)2a4，其对称轴为直线x2. AB，又A(，1)(3，)， f(3)<0，解得a<3.由得a的取值范围是(，3)(2) ABB， BA.当164a<0，即a>4时，B是空集，这时满足ABB；当164a0时，a4.令f(x)x24xa，其对称轴为直线x2. A(，1)(3，)， f(1)<0，解得a<5.由得a<5.综上，a的取值范围是(，5)(4，)第3课时简单的逻辑联结词、量词一、 填空题1. 给出下列命题： 原命题为真，它的否命题为假； 原命题为真，它的逆命题不一定为真； 一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； 一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真其中真命题是_(填序号)答案：解析：原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故错误，正确2. 已知命题p：若实数x，y满足x2y20，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个命题： p且q， p或q， 綈p， 綈q.其中真命题的个数为_答案：2解析：p真，q假，真3. 设集合A，Bx|0<x<3，那么“mA”是“mB”的_条件答案：充分不必要解析： Ax|0<x<1，Bx|0<x<3， AB.当mA时，必有mB；而当mB时，mA不一定成立 “mA”是“mB”的充分不必要条件4. “x1>0且x2>0”是“x1x2>0且x1x2>0”的_条件答案：充要解析：由条件显然易得结论，由x1x2>0可得x1，x2同号，由x1x2>0可得x1，x2同正5. 已知命题p：点P在直线y2x3上；命题q：点P在直线y3x2上则使命题“p且q”为真命题的点P的坐标是_答案：(1，1)解析：命题“p且q”为真命题的含义是这两个命题都是真命题，即点P既在直线y2x3上，又在直线y3x2上，即点P是这两条直线的交点6. 若命题“xR，使得x2(1a)x1<0”是真命题，则实数a的取值范围是_答案：(，1)(3，)解析：由题意可知，(1a)24>0，解得a<1或a>3.7. 已知条件p：|x1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是_答案：1，)解析：綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即qp，而p,/)q，条件p化简为x>1或x<3，所以当a1时，qp.8. (20xx·溧阳中学周测)下列说法中错误的是_(填序号) 命题“x1，x2M，x1x2，有f(x1)f(x2)·(x2x1)>0”的否定是“x1，x2M，x1x2，有f(x1)f(x2)(x2x1)0”； 若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题； 已知p：x22x3>0，q：>1，若(綈q)p为真命题，则实数x的取值范围是(，3)(1，2)3，)； “x3”是“|x|3”成立的充分条件答案：解析：因为命题“x1，x2M，x1x2，有f(x1)f(x2)·(x2x1)>0”的否定是“x1，x2M，x1x2，有f(x1)f(x2)(x2x1)0”，所以命题不正确；由于一个命题的逆命题与否命题是等价命题，而且同真假，故命题正确；由于不等式x22x3>0的解集是x>1或x<3，不等式>1的解集是2<x<3，故綈q: x2或x3，所以若(綈q)p为真命题，则实数x的取值范围是(，3)(1，23，)，故不正确；由于x33，但|x|3，故命题不正确点睛：本题是一道多项选择的填空题，旨在综合考查命题真假的判定、命题的否定、复合命题的真假的判定、充分必要条件的判定等基础知识，以及综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力9. 已知函数f(x)ln (1|x|)，命题p：实数x满足不等式f(x1)>f(2x1)；命题q：实数x满足不等式x2(m1)xm0.若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_答案：(0，2)解析：綈p是綈q的充分不必要条件，等价于p是q的必要不充分条件由题意得f(x)为偶函数，且在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，由p: f(x1)>f(2x1)得f(|x1|)> f(|2x1|)，即|x1|>|2x1|，解得0<x<2；由q：(x1)(xm)0，得m的取值范围是(0，2)二、 解答题10. 已知p：x2mx10有两个不相等的负根，q：4x24(m2)x10无实根若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围解：p：x2mx10有两个不相等的负根m>2.q：4x24(m2)x10无实根216(m2)216<01<m<3.因为p或q为真，p且q为假，所以p与q一真一假 当p真且q假时，有m3； 当p假且q真时，有1<m2.综上可知，m的取值范围是m|1<m2或m311. 设a，b，c为ABC的三边，求证：方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90°. 证明：必要性：设方程x22axb20与x22cxb20有公共根x0，则x2ax0b20，x2cx0b20，两式相减可得x0，将此式代入x2ax0b20，可得b2c2a2，故A90°.充分性： A90°， b2c2a2，b2a2c2.将代入方程x22axb20，可得x22axa2c20，即(xac)(xac)0.将代入方程x22cxb20，可得x22cxc2a20，即(xca)(xca)0.故两方程有公共根x(ac) 方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90°.12. 命题p：函数f(x)，且满足f(a)<0.命题q：集合Ax|x2(a2)x10，xR，Bx|x>0，且AB.求实数a的取值范围，使命题p，q中有且只有一个为真命题解：由f(a)<0得<0，整理得p：5<a<7且a2.由AB知方程x2(a2)x10不存在正根，所以有<0或化简整理得q：a>4.由题意，若p真q假，则5<a4，若q真p假，则a7或a2.综上， 5<a4或a7或a2.13. 已知两个关于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50，且mZ.求两方程的根都是整数的充要条件解： mx24x40是一元二次方程， m0.另一方程为x24mx4m24m50，两方程都要有实根， 解得m. 两方程的根为整数，故和与积也为整数， m1或1.当m1时，第一个方程x24x40的根为非整数，而当m1时，两方程均有整数根 两方程的根均为整数的充要条件是m1.