2019年高中数学 第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性讲义（含解析）湘教版选修2-2.doc

43.1利用导数研究函数的单调性读教材填要点函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系：导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f(x)>0单调递增f(x)<0单调递减f(x)0常数函数小问题大思维1在区间(a，b)内，若f(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立比如yx3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零也就是说f(x)>0是yf(x)在某个区间上递增的充分不必要条件2右图为导函数yf(x)的图象，则函数yf(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(，3，2,1，3，)；单调递减区间：3，2，1,3判断(或证明)函数的单调性 已知函数f(x)ax33x21，讨论函数f(x)的单调性自主解答 由题设知a0.f(x)3ax26x3ax，令f(x)0，得x10，x2.当a>0时，若x(，0)，则f(x)>0.f(x)在区间(，0)上为增函数若x，则f(x)<0，f(x)在区间上为减函数若x，则f(x)>0，f(x)在区间上是增函数当a<0时，若x，则f(x)<0.f(x)在上是减函数若x，则f(x)>0.f(x)在区间上为增函数若x(0，)，则f(x)<0.f(x)在区间(0，)上为减函数利用导数判断或证明函数单调性的思路1求证：函数f(x)exx1在(0，)内是增函数，在(，0)内是减函数证明：由f(x)exx1，得f(x)ex1.当x(0，)时，ex1>0，即f(x)>0.f(x)在(0，)内为增函数当x(，0)时，ex1<0，即f(x)<0.f(x)在(，0)内是减函数求函数的单调区间 求下列函数的单调区间：(1)f(x)3x2ln x；(2)f(x)ax3x21(a0)自主解答(1)函数的定义域为(0，)，f(x)6x，令f(x)>0，即>0，x>0，6x21>0，x>.令f(x)<0，即<0，x>0，6x21<0，0<x<.f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当a0时，f(x)x21，其单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)当a<0时，f(x)ax22x，f(x)>0(ax2)x>0x>0x>0或x<；f(x)<0<x<0.故f(x)的单调递增区间为和(0，)，单调递减区间为.求函数的单调区间的“两个”方法方法一：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)；(3)解不等式f(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间方法二：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性2已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1)由题意得f(x)，又 f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x>0)，则h(x)<0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0<x<1时，h(x)>0，从而f(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f(x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)已知函数的单调性求参数范围 已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围自主解答(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2<0有解，即a>有解设G(x)，所以只要a>G(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a>1.即实数a的取值范围是(1，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以x1,4时，h(x)ax20恒成立即a恒成立所以aG(x)max.而G(x)21.因为x1,4，所以.所以G(x)max(此时x4)所以a.当a时，h(x)x2.x1,4，h(x)0.即h(x)在1,4上为减函数故实数a的取值范围是.若将本例(2)中“单调递减”改为“单调递增”，如何求a的取值范围？解：h(x)在1,4上单调递增，x1,4时，h(x)ax20恒成立即a 恒成立设G(x)，只需aG(x)min.又G(x)21，x1,4，.G(x)min1，a1.经验证：a1时，h(x)在1,4上单调递增，综上所述，a的取值范围为(，1已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f(x)0(或f(x)0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围特别地，若f(x)为二次函数，可以由f(x)0(或f(x)0)恒成立求出参数的取值范围3已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是单调减函数，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意当x1,1时，f(x)0恒成立，即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a，则有即解得a.答案：C证明：方程xsin x0有唯一解巧思方程f(x)0的解即曲线yf(x)与x轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决妙解设f(x)xsin x，当x0时，f(0)0，所以x0是方程xsin x0的一个解因为f(x)1cos x，且xR时，f(x)>0总成立，所以函数f(x)在R上单调递增所以曲线f(x)xsin x与x轴只有一个交点所以方程xsin x0有唯一解1函数f(x)x33x21的单调递减区间为()A(2，)B(，2)C(，0) D(0,2)解析：f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)<0，得0<x<2.函数f(x)的单调递减区间为(0,2)答案：D2函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析：函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，可得0x1.答案：B3函数f(x)x3ax2在区间(1，)内是增函数，则实数a的取值范围是()A3，) B3，)C(3，) D(，3)解析：f(x)3x2a，令3x2a0，a3x2，x(1，)，a3.答案：B4函数f(x)cos xx的单调递增区间是_解析：因为f(x)sin x0，所以f(x)在R上为增函数答案：(，) 5已知函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_解析：设g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)2.对任意xR，f(x)2，g(x)0. g(x)在R上为增函数又g(1)f(1)240，x1时，g(x)0.由f(x)2x4，得x1.答案：(1，)6求函数f(x)x33x29x1在区间4,4上的单调性解：f(x)x33x29x1，f(x)3x26x9.令f(x)>0，结合4x4，得4x<1或3<x4.令f(x)<0，结合4x4，得1<x<3.函数f(x)在4，1)和(3,4上为增函数，在(1,3)上为减函数一、选择题1函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0,1)B(0，)C(1，) D(，0)(1，)解析：函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x1，所以单调递减区间是(0,1)答案：A2已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)<f(e)<f(3) Bf(e)<f(2)<f(3)Cf(3)<f(e)<f(2) Df(e)<f(3)<f(2)解析：在(0，)上，f(x)>0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)答案：A3如图为函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，那么函数yf(x)的图象可能为()解析：由导函数yf(x)的图象，可知当1<x<3时，f(x)<0，所以yf(x)在(1,3)上单调递减；当x>3或x<1时，f(x)>0，所以yf(x)在(，1)和(3，)上单调递增综上，函数yf(x)的图象的大致形状如A中图所示，所以选A.答案：A4f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f(x)g(x)f(x)g(x)<0，且f(1)0，则f(x)g(x)<0的解集为()A(1,0)(1，) B(1,0)(0,1)C(，1)(1，) D(，1)(0,1)解析：令F(x)f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，且当x<0时，F(x)<0，即F(x)在(，0)上为减函数又f(1)0，即F(1)0.F(x)f(x)g(x)<0的解集为(1,0)(1，)答案：A二、填空题5若函数yx22bx6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是_解析：y2x2b0在(2,8)内恒成立，即bx在(2,8)内恒成立，b2.答案：(，26已知函数yf(x)在定义域4,6内可导，其图象如图，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_解析：f(x)0的解集，即为函数yf(x)的单调减区间，f(x)0的解集为.答案：7设函数f(x)x(ex1)x2，则f(x)的单调增区间是_，减区间是_解析：f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)>0；当x(1,0)时，f(x)<0；当x(0，)时，f(x)>0.故f(x) 在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减答案：(，1)和(0，)(1,0)8已知函数f(x)2x2ln x(a0)若函数f(x)在1,2上为单调函数，则a的取值范围是_解析：f(x)4x，若函数f(x)在1,2上为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0在1,2上恒成立，即4x或4x在1,2上恒成立令h(x)4x，则h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，又a0，所以0a或a1.答案：1，)三、解答题9已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5，因x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x(5，)时，f(x)>0，故f(x)在(5，)内为增函数10已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a1时，证明：当x(1，)时，f(x)2>0.解：(1)根据题意知，f(x)(x>0)，当a>0时，则当x(0,1)时，f(x)>0，当x(1，)时，f(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)；同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)；当a0时，f(x)3，不是单调函数，无单调区间(2)证明：当a1时，f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知f(x)ln xx3在(1，)上单调递增，所以当x(1，)时，f(x)>f(1)即f(x)>2，所以f(x)2>0.