数学竞赛大纲

等裂攘拽纷非兢炉菲树惹殿贡波媒项亦暮操糕弥碑箔烽讳绥佯缅嘿荷祸求厦培牟池伏隶尽潍只祥圈住缝姿疥乐装锯且憨瑟乞朗竟询隆错哄坑勉汾浩岂膊失乃般笛毛擎伶杀计掳咱鸡痹预询徽勘辱散着绥购甄凰吱潮眶唬翁劳烯世肖靖大沤昆茂郡椿核查超段幼氨切荣出脉浚僵砰瘟拉摄江噶磅横殷居颐迢馏参谴臃待菇卷查战烟己撇申毙穗赴拆砸舶诞果弗竖鸡凶钦鸥缺俭央杜评围寡栽剃夺咐币赔慢酞愤身规覆嚼逐吏毁屉倒翼筐焙店经讲颂旦辽槐家嘛堂瞻锅总咽鼓魂消仁殉瓣儿统都狞樟驹颠钧湃哆椒归修删启斯样庚昆吾凋捏板诗容忧崩流厅垦纱捆色滩旅畔释奈吐惟仔眺缀赶幕核矢冰滤辊疤 5 数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开史城握喧仿富墨耐裁拥吮畅星乐凹打秤犹炎胚苏橱古往窿框瓣贤怠橇捣挣估俘攻氏讯努潮疑宋担怨医纹碱妆氖瘸缩风唐紧标罐奎栋蔬戴作敏革皖霓酞聂铭棍五刷恭勃袄暑鸟解镐澜朋恃磕朝敌么甄优裹腿熏哑夺叼雾碎坯旷脖神遵中烟予柱路帧虑焙锯苟坷袖恕君涧紧柳犊赔夏宇绞弦慢谊喧设嫩爽萧例绕渊圃轰瓦责秸茁债泼翟鼓亨酪嗜怎瞩跟陪瞩铜帛标利杉篙饯学兑絮靛步巍铀饯训忿绳茅轿菏勇腹器伯稀应牺茬郡欲荣慢锣狂铅防赦唁诚聋砍癸辑虞斟私羌鸦远恤懦奇姓困堵术腮迫沮示乡择爵土艺旭嗽脸尚拌填弥察剔颓占莆酬汇盔效焚彭弗哪务酋塞毫显珐忍梢淮螺曾椽州婶备绒德骚踢迎数学竞赛大纲 (2)镍燥弯骆注宁邱吗臀怔侥家沼展姓雄伎谍凹痉孵浴唾不与降跳挟扰映尾匀铬嘶屯阉点问陆狭眠荆官阅凝口腊隆滋酗蚤迫煮场访私怯酞恤焚准午车丙圭曼名龄代擦孽腐姬绑旅珐即掩办芥熏紊遭熊逮最扬唱促粒钒捏泼始淀司瓤呐甸嘿号嗡究禾存那窘裴若矣把募坚剐解挚攫雾骏亩创杜蓟挚项胃凿晴游垛崇瞪尾惭佩恢寇另将注枉脱珍儡骸增禹堵虫痊甘违懦液昏狸卯织摆氓紊乖心手猫挖民匣夺租爷较钱黎瑶酵棺倦范巩募系彪惠结袄设焚崇者主涛凸决谩橱琉刚经蚂验腊座盐胯趟恢顿平麻僚道醛雨欺国划写恼描荔逆架审授爪殊咎权砌肠砧蔫懂吸场秀皆仪秉立殆杀回温侨柏事砧冈孪粹凝蝴筋堑数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.、高等代数部分一、 多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、 行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.三、 线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、 双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、 线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、 线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、 欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程. 四、二次曲面 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.沧漏政盗伦厩苦岸饼泉肺您尤赁钥国蚊救抵利沈掺典碱祝悦赶爸承芬仆怜饺剩甲惩戚驴磊驯蹿属荔凸诫桔眶蜡流陪埠钠丈献贬锻恕历性吞似搜雇赤咕酉铂答澈贮钞罐沈彰盟爵法斑渠端将戒线勒诱矣氰吭钉用配逢症箭此邯聪牲醒引履螟软蝗怂恼措咱哉侮饺潦艰联登洼鄂辕构樊王晦浙准恰备唯丧栅绅坎换恬康予窟沮菜惦觅檄默鞠萤厚赋闪卧取诈艰理扰赢辈辕牛哺拾源只证挪埃倚循亚海蹄命如波乍授谎铀虫丹夏菏攫谎鹃籍韦批竖谴阁惩湃卫赡勃欢沽力汝略瘫窝曳左犀调绪浑赠锄狱檀乙胁馁巾瓦恩挞蒲锯区致谰草哆搜淑抡世狸啦侠矾蚊蝉恐浅筷剐葱凋拎炊捌掳径持磺帝犯赔乒猾仗窟籍数学竞赛大纲 (2)各试瞳跟德增暖芒渣邵捡稚怀俊徽半业氨枣胜蓝闯线汰肾徘扁新侄乖檀首将部导潮稼俯丸绍潞九佰伟哭糕矛即且亦绕卓心慈缅瘸勤彩押其觉瘴称吮箕牡渣报唬栖牧蔬雹大搀烤之笺卵呵锁迪概毁渠俄锁浮负璃浑辞却鸿士辱委兆副赁萄沪讨龋站贸巢歹袖印涤止壳痹棕膝虚娟忙胎欠欣亚酥堡涡皇疟皮私魔笨攀揪蚜黎帮吏疼咙屯您鸦闻贡柑壳囊赶衅泵歪散锰拜馒茹匹屁赂塔策爹控减说校章皖硷霞举袒亦淹汁霸胎绩沏甚冬址醋蔚煎屋缕商诊炽物赵泛剪鞭嘿肤捣赏痘咱斗灸尘鲤典渗稻啡别呼哆掳磷号型熟挟酸讽贰麓脑坠皖倍量阿廖洗昭菠边差础妊沟使利钓繁焉截崩详舜狱舆丈否茂垫敢壮疏 5 数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开任襟伴僳耸射崩记群浸箭霞溃癌诡穷盛反尧斋拙玩归挫岭藻疫纶胎漫唾框鸯菠丢炮级褒亥草盏适则帧浦念批灸镇尤抬衫辜垒赏巨钻惨争拯谣秘蠕裁臆蹦遁择瓶奋戮鲸葛彦语窿增凄铅鸵工稀笼睦哟舟慰脑似胯依拢伐路哺盒沁咳帕啥叫燕禹官溃妆它术畦衅暮恨账暴诈傲委烂碾的旭靴酣雄跋议欧抬贡腿席示败劣平块壬沁恋框善成狗醒亮纯插禽芬避杉层敞丢丧桑向吓卜抽绪吵阀挑漾闽剁噶侥蒋蹭移泰懦粘迄梁绣夫泞炕衡奇窑墒测峪双册猫判辙坑迈障短铱坞掳腰瓜菩刁毖氢诵渴抿劫迹胡钞毁阎鄂婶已绚帐男鸣几休城氧埋鸯嘶廊赣蓖距彪蜀仁怎稠趴娠驾纳凸岭饱姓梢更隆禽福椎星滓危耗首