四川省成都市高中数学 第三章 函数的应用综合检测 新人教A版必修1.doc

第1课时方程的根与函数的零点基础达标(水平一)1.函数f(x)=x-1x的零点是().A.1B.-1C.1和-1D.不存在【解析】x-1x=x2-1x=0,x=1.【答案】C2.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是().A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】f(x)为增函数,f(-1)=-52<0,f(0)=1>0, f(x)的零点位于区间(-1,0)内.【答案】B3.已知函数f(x)=2x-1,x1,1+log2x,x>1,则函数f(x)的零点为().A.12,0B.-2,0C.12D.0【解析】当x1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=12,不合题意,所以函数的零点为0,选D.【答案】D4.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且,是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,的大小关系可能是().A.a<<b<B.a<<<bC.<a<b<D.<a<<b【解析】,是函数f(x)的两个零点,f()=f()=0.f(x)=(x-a)(x-b)-2,f(a)=f(b)=-2<0.结合二次函数f(x)的图象(如图)可知,a和b必在与之间,只有选项C满足.【答案】C5.根据表格中的数据,可以判断方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是.x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345【解析】令f(x)=ex-x-2,则f(1)f(2)<0,故方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(1,2).【答案】(1,2)6.方程ln x=8-2x的实数根x(k,k+1),kZ,则k=.【解析】令f(x)=ln x+2x-8,则f(x)在区间(0,+)内单调递增.f(3)=ln 3-2<0,f(4)=ln 4>0,函数f(x)的零点在(3,4)内,k=3.【答案】37.已知方程ax2-2x+1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数a的取值范围.【解析】当a=0时,方程为-2x+1=0,只有一个根,不符合题意.当a>0时,设f(x)=ax2-2x+1,方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上,f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即1>0,a-2+1<0,4a-4+1>0,解得34<a<1.当a<0时,设方程的两个根分别为x1,x2,则x1x2=1a<0,即x1,x2一正一负,不符合题意.综上,实数a的取值范围为34,1.拓展提升(水平二)8.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+)内的零点有1008个,则f(x)的零点的个数为().A.1008B.1009C.2016D.2017【解析】因为f(x)为奇函数,且在(0,+)内有1008个零点,所以在(-,0)上也有1008个零点,又因为f(0)=0,所以共有2016+1=2017个零点.【答案】D9.方程0.9x-221x=0的实数解的个数是().A.0B.1C.2D.3 【解析】设f(x)=0.9x-221x,则f(x)为R上的减函数,且f(0)>0,f(21)<0,故方程0.9x-221x=0的实数解的个数是1.【答案】B10.若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内,则函数f(x)的零点在区间(1,2)或(2,3)内;函数f(x)在区间(3,5)内无零点;函数f(x)在区间(2,5)内有零点;函数f(x)在区间(2,4)内不一定有零点;函数f(x)的零点必在区间(1,5)内.以上说法错误的是.(将序号填在横线上)【解析】由于三个区间是包含关系,而(1,5)范围最大,故零点可能在区间(1,5)的任何一个子区间内,故错误.【答案】11.设函数g(x)=ax2+bx+c(a>0),且g(1)=-a2.(1)求证:函数g(x)有两个零点. (2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数.【解析】(1)g(1)=a+b+c=-a2,3a+2b+2c=0,c=-32a-b.g(x)=ax2+bx-32a-b,=b2+4a32a+b=(2a+b)2+2a2,a>0,>0恒成立,故函数f(x)有两个零点.(2)根据g(0)=c,g(2)=4a+2b+c,由(1)知3a+2b+2c=0,g(2)=a-c.当c>0时,有g(0)>0,又a>0,g(1)=-a2<0,故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点,故在区间(0,2)内至少有一个零点.当c0时,g(1)<0,g(0)=c0,g(2)=a-c>0,函数f(x)在区间(1,2)内有一个零点,综合,可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.第2课时 函数零点的应用基础达标(水平一)1.函数f(x)=(x-1)(x+2)lnxx-3的零点有().A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】由f(x)=(x-1)(x+2)lnxx-3=0得x=1或x=-2(舍去),函数f(x)只有1个零点.【答案】B2.已知函数f(x)=lgx,x32,lg(3-x),x<32,若方程f(x)=k无实数根,则实数k的取值范围为().A.k<lg32B.klg32C.k<32D.k32【解析】在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)与y=k的图象如图所示,方程f(x)=k无实数根,即两个函数图象无交点,故k<lg32.【答案】A3.若函数f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点().A.y=f(-x)ex-1B.y=f(x)e-x+1C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+1【解析】由已知可得f(x0)=-ex0,则e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0一定是y=exf(x)-1的零点.【答案】C4.函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在区间(1,2)上()零点.A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.没有【解析】若a=0,则b0,此时f(x)=bx+c为单调函数.f(1)>0,f(2)<0,f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点.若a0,则f(x)为开口向上或向下的抛物线.若f(x)在区间(1,2)上有两个零点或无零点,则必有f(1)f(2)>0.f(1)>0,f(2)<0,f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点,故选C.【答案】C5.若函数y=2-|x-1|-m有零点,则实数m的取值范围是.【解析】由函数y=2-|x-1|=12|x-1|的图象(图略)可知0<y1.由题意可知函数y=2-|x-1|-m的图象与x轴有交点,则0<m1.【答案】0<m16.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a图象交点的个数,由函数的图象可知当a>1时,两函数图象有两个交点;当0<a<1时,两函数图象有一个交点,故a>1.【答案】(1,+)7.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数k的取值范围.【解析】令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由图象可得只需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0即可满足题意,即2k-1>0,1+k-2+2k-1<0,4+2(k-2)+2k-1>0,解得k>12,k<23,k>14.因此实数k的取值范围为12,23.拓展提升(水平二)8.定义在R上的奇函数y=f(x),当x>0时,y=f(x)是增函数,且f(1)f(2)<0,则函数y=f(x)的零点个数是().A.1B.2C.3D.条件不足,无法判断【解析】由y=f(x)在(0,+)上是增函数,且f(1)f(2)<0,得函数y=f(x)在(0,+)上有且仅有一个零点.由奇函数关于原点对称的性质知函数y=f(x)在(-,0)上也只有一个零点.又当x=0时,f(0)=0,所以函数y=f(x)在R上共有三个零点.故选C.【答案】C9.若函数f(x)满足在区间(1,2)上有唯一的零点,则().A.f(1)f(2)>0B.f(1)f(2)=0C.f(1)f(2)<0D.无法确定f(1)f(2)与0的大小关系【解析】如图,A、B、C三个选项都有可能,故选D.【答案】D10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=0,0<x1,x2-6,x>1,则方程|f(x)+g(x)|=1的实根个数为.【解析】当0<x1时,方程为-ln x=1,解得x=1e.当x>1时,f(x)+g(x)=ln x+x2-6单调递减,值域为(-5,+),方程f(x)+g(x)=1有1个解,方程f(x)+g(x)=-1有1个解.综上所述,原方程有3个实根.【答案】311.已知函数f(x)=x2-2x-3,x-1,4.(1)画出函数y=f(x)的图象,并写出其值域;(2)当m为何值时,函数g(x)=f(x)+m在区间-1,4内有两个零点?【解析】(1)依题意,f(x)=(x-1)2-4,x-1,4,其图象如图所示.由图可知,函数f(x)的值域为-4,5.(2)函数g(x)=f(x)+m在区间-1,4上有两个零点,方程f(x)=-m在x-1,4上有两个相异的实数根,即函数y=f(x)与直线y=-m的图象有两个交点.由(1)所作的图象可知,-4<-m0,0m<4.当0m<4时,函数g(x)=f(x)+m在区间-1,4内有两个零点.第3课时用二分法求方程的近似解基础达标(水平一)1.若函数f(x)在3,5上连续,且满足f(3)f(5)<0,取区间(3,5)内的中点值4之后,发现有f(3)f(4)>0,则f(x)().A.在3,4上有零点B.在4,5上有零点C.在3,4上无零点D.在4,5上无零点【解析】根据f(3)f(4)>0无法判断函数f(x)在区间3,4上是否有零点,故排除A、C,但可推出f(4)f(5)<0,所以可确定函数f(x)在区间4,5上有零点.【答案】B2.设函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间为()(区间长度0.25).A.(1,1.25)B.(1,1.5)C.(1.5,2)D.(1.25,1.5)【解析】f(1)<0,f(1.25)<0,f(1.5)>0,方程的根落在(1.25,1.5)上.【答案】D3.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为().A.0.9B.0.7C.0.5D.0.4【解析】因为f(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72)内,又|0.72-0.68|=0.04<0.1,所以零点在区间0.68,0.72内,故只有B选项符合要求.【答案】B4.在用二分法求函数f(x)在(a,b)上的唯一零点x0的过程中,取(a,b)上的中点c=a+b2,若f(c)=0,则函数f(x)在(a,b)上的唯一零点x0().A.在(a,c)上B.在(c,b)上C.在(a,c)或(c,d)上D.等于a+b2【解析】c=a+b2,且f(c)=0,x0=a+b2.故选D.【答案】D5.已知函数f(x)=13x-log2x,若实数x0是方程13x-log2x=0的解,且0<x1<x0,判断f(x1)的符号为(填“正”、“负”).【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数y=13x和y=log2x的图象(图略),发现x0>1,并且当0<x1<x0时,f(x1)=13x1-log2x1>0.【答案】正6.用二分法求连续函数f(x)=0在(1,5)上的近似解(精确度为0.1)的部分过程如下:f(1)f(5)<0,取(1,5)的中点x1=1+52=3,计算得f(1)f(x1)<0,f(x1)f(5)>0,则此时能判断函数f(x)一定有零点的最小区间为.【解析】因为函数f(x)为连续函数,且f(1)f(3)<0,所以函数f(x)在区间(1,3)上一定有零点.【答案】(1,3)7.某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品售价的环节,某次猜一品牌手机的价格,手机价格在5001000元,选手开始报价1000元,主持人回答高了;紧接着报900元,高了;700元,低了;800元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上体现了“逼近”的思想,试设计出可行的猜价方案.【解析】取价格区间500,1000的中点750,低了;就再取750,1000的中点875,高了;就取750,875的中点,遇到小数,则取整数,照此猜下去可以猜价:750,875,812,843,859,851,经过6次即能猜中价格.拓展提升(水平二)8.用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值,至少经过()次二分后精确度达到0.01.A.5 B.6C.7 D.8【解析】区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度变为12n,故有12n0.01,n7,至少需要操作7次.故选C.【答案】C9.已知曲线y=110x与y=x的交点的横坐标是x0,则x0的取值范围是().A.0,12B.12C.12,1D.(1,2) 【解析】设f(x)=110x-x,则函数f(x)为R上的减函数,f(0)=1>0,f12=11012-12<0,显然f(0)f12<0.所以x0的取值范围为0,12.故选A.【答案】A10.某方程有一个无理根在区间D=(1,3)内,若用二分法求此根的近似值,将区间D等分次后,所得近似值的精确度为0.1.【解析】由3-12n0.1(nN*),得2n20,n>4,故需将区间D等分5次.【答案】511.如图,有一块边长为15 cm的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x cm的小正方形,然后折成一个无盖的盒子.(1)求盒子的容积y(以x为自变量)的函数解析式,并写出这个函数的定义域.(2)如果要做一个容积为150 cm3的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长x是多少(结果精确到0.1 cm)?【解析】(1)盒子的容积y是以x为自变量的函数,解析式为y=x(15-2x)2,x(0,7.5).(2)如果要做成一个容积是150 cm3的盒子,则(15-2x)2x=150.令f(x)=(15-2x)2x-150,由f(0)f(1)<0,f(4)f(5)<0,可以确定f(x)在(0,1)和(4,5)内各有一个零点,即方程(15-2x)2x=150在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解.取区间(0,1)的中点x1=0.5,f(0.5)=-52,零点x0(0.5,1).再取中点x2=0.75,f(0.75)-13.31,零点x0(0.75,1).继续有x0(0.75,0.875);x0(0.8125,0.875).此时|0.875-0.8125|=0.0625<0.1,方程在区间(0,1)内结果精确到0.1 cm的近似解为0.8.同理,可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.7,所以要做成一个容积为150 cm3的无盖盒子,截去小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm.第4课时几类不同增长的函数模型基础达标(水平一)1.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2<x<4时,有().A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y2>y3>y1【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.也可取特殊值,如3,代入即可.【答案】B2.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法:前5 min温度增加的速度越来越快;前5 min温度增加的速度越来越慢;5 min以后温度保持匀速增加;5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是().A.B.C.D.【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平,即5 min前每当t增加一个单位,y相应的增量越来越小,而5 min后y关于t的增量保持为0,故正确.【答案】B3.某商品降价20%,由于原材料上涨,欲恢复原价,则需提价().A.10%B.15%C.20%D.25%【解析】设该商品原价为a,需提价x,依题意得a(1-0.2)(1+x)=a,即0.8+0.8x=1,得x=0.25=25%,故选D.【答案】D4.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为().【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x1),函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象,故选D.【答案】D5.某种动物的繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为y=alog2(x+1),已知该动物第一年繁殖100只,则第15年会繁殖只.【解析】由题意100=alog2(1+1),解得a=100,将x=15代入,得y=400.【答案】4006.下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城行驶到乙城的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中,正确信息的序号是.【解析】看时间轴易知正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故正确;错误.【答案】7.某人对东北一种松树的生长情况进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)两种函数模型来刻画h与t的关系,你认为哪种函数模型更符合该松树的生长情况?并预测第8年的松树高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7【解析】据表中数据作出散点图如图:由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数函数模型比较合理.不妨将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题.当t=8时,求得h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.拓展提升(水平二)8.某公司为开发新产品,计划逐年加大研发资金的投入.若该公司2015年全年投入的研发资金为130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是().(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年【解析】设第n年开始超过200万元,则130(1+12%)n-2015>200,整理得(n-2015)lg 1.12>lg 2-lg 1.3,n-2015>0.30-0.110.05=3.8,故n=2019.因此开始超过200万元的年份是2019年.故选B.【答案】B9.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M为CD的中点,则当P沿ABCM运动时,点P经过的路程x与APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是().【解析】依题意,当0<x1时,SAPM=121x=12x;当1<x2时,SAPM=S梯形ABCM-SABP-SPCM=121+121-121(x-1)-1212(2-x)=-14x+34.当2<x52时,SAPM=1252-x1=-12x+54;综上可知,选项A符合题意.【答案】A10.为了鼓励居民节约用水,我市某地水费按以下规定收取:当每户每月用水量不超过10吨(含10吨)时,水费单价3.20元/吨;当每户每月用水量超过10吨时,超过10吨的部分水费单价5.00元/吨.(1)某用户某月用水量为x吨,需付水费为y元,则水费y (元)与用水量x (吨)之间的函数关系式为;(2)若小华家四月份付水费42元,问他家四月份用水吨.【解析】(1)当0<x10时,y=3.2x;当x>10时,y=32+5(x-10).即函数关系式为y=3.2x,0<x10,5x-18,x>10.(2)设小华家四月份用水量为x吨.42>3.2010,小华家四月份用水量超过10吨,由题意得3.2010+(x-10)5=42,x=12(吨).即小华家四月份的用水量为12吨.【答案】(1)y=3.2x,0<x10,5x-18,x>10(2)1211.函数y=2x-2和y=13x2的图象如图所示,其中有且只有x=x1,x2,x3时,两函数数值相等,且x1<0<x2<x3,O为坐标原点.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;(2)现给下列三个结论:当x(-,-1)时,2x-2<13x2;x2(1,2);x3(4,5).请你选择一个结论判定其是否成立,并说明理由.【解析】(1)C1为y=13x2,C2为y=2x-2.(2)结论成立,理由如下:函数y=2x-2在(-,-1上是增函数,x(-,-1)时,2x-2<2-1-2=18.又函数y=13x2在(-,-1上是减函数,x(-,-1)时,13x2>13(-1)2=13.而18<13,当x(-,-1)时,2x-2<13x2.结论成立,理由如下:构造函数f(x)=2x-2-13x2,则f(1)=16>0,f(2)=-13<0,f(x)在区间(1,2)内有零点,x2(1,2),同理f(x)在区间(5,6)内有零点,x3(5,6).结论成立,理由同.第5课时函数模型的应用实例基础达标(水平一)1.“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概.当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时,t秒后的高度x米可由x=at-5t2确定.已知射出2秒后箭离地面高100米,则弓箭能达到的最大高度为().A.160米B.170米C.180米D.190米【解析】由x=at-5t2且t=2时,x=100,解得a=60.所以x=60t-5t2.由x=-5t2+60t=-5(t-6)2+180,知当t=6时,x取得最大值为180,即弓箭能达到的最大高度为180米.【答案】C2.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么各班可推选的代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x(x表示不大于x的最大整数)可以表示为().A.y=x10B.y=x+310C.y=x+410D.y=x+510【解析】当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加,若和大于等于10就增选一名代表,将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系,用取整函数y=x(x表示不大于x的最大整数)可以表示为y=x+310.故选B.【答案】B3.马先生两年前购买了一部手机,现在这款手机的价格已降为1000元,设这款手机每年降价20%,那么两年前这部手机的价格为( ).A.1535.5元B.1440元C.1620元D.1562.5元【解析】设这部手机两年前的价格为a元,则有a(1-0.2)2=1000,解得a=1562.5.【答案】D4.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),右图记录了三次实验的数据,根据函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为().A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【解析】由图形可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数p=at2+bt+c的图象上,所以9a+3b+c=0.7,16a+4b+c=0.8,25a+5b+c=0.5,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2t-1542+1316,因为t>0,所以当t=154=3.75时,p取最大值,故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间.【答案】B5.某商家将彩电价格先按原价提高40%,然后在广告上写上“大酬宾,八折优惠”,结果每台彩电比原价多赚270元,那么每台彩电的原价为元.【解析】设原价为x元,则x(1+40%)80%-x=270,解得x=2250.【答案】22506.为了在“十一”黄金周期间降价促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:如果不超过200元,则不予优惠;如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;如果超过500元,其中500元按第条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.小云和她的母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为元.【解析】依题意,一次性购买x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)=x,0x200,0.9x,200<x500,5000.9+(x-500)0.7,x>500,当f(x)=168时,由1680.9187<200,故此时x=168;当f(x)=423时,由4230.9=470(200,500,故此时x=470.两次共购得价值为470+168=638元的商品,5000.9+(638-500)0.7=546.6元,故若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.【答案】546.67.根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时,两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图所示).(1)分别写出两种产品的收益与投资额之间的函数关系式.(2)若该家庭现有资金20万元,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大的收益?其最大收益为多少?【解析】(1)设投资额为x万元,稳健型产品的收益为y1=f(x),风险型产品的收益为y2=g(x),由题设知,f(x)=k1x,g(x)=k2x,由图知,f(1)=18,故k1=18.由图知,g(1)=12,故k2=12.所以f(x)=18x(x0),g(x)=12x(x0).(2)设该家庭债券类投资为x万元,股票类投资为(20-x)万元,则y=f(x)+g(20-x)=x8+1220-x(0x20),令t=20-x(0t25),则x=20-t2,y=20-t28+12t=-18(t2-4t-20)=-18(t-2)2+3.所以当t=2,即x=16时,ymax=3.故当债券类投资为16万元,股票类投资为4万元时收益最大,最大收益为3万元.拓展提升(水平二)8.已知世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口的平均增长率约是().(参考数据:lg 20.301,100.00751.017)A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%【解析】设每年人口的平均增长率是x,由题意得,(1+x)40=2,则40lg(1+x)=lg 2,即lg(1+x)=0.301400.0075,所以x1.7%.【答案】C9.若某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2018年5月1日12350002018年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ).A.6升B.8升C.10升D.12升【解析】由表格信息可知,汽车行驶35600-35000=600千米耗油48升,所以每100千米的平均耗油量为8升,故选B.【答案】B10.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:强度(J)1.610193.210194.510196.41019震级(里氏)5.05.25.35.4注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(a,b为常数).利用散点图可知a的值等于.(取lg 2=0.3进行计算)【解析】由记录的部分数据可知,当x=1.61019时,y=5,当x=3.21019时,y=5.2,所以5=alg(1.61019)+b,5.2=alg(3.21019)+b,由-得0.2=alg3.210191.61019,所以a=0.2lg2=0.20.3=23.【答案】2311.某种特色水果每年的上市时间是从4月1日开始持续5个月的时间.上市初期价格呈现上涨趋势,中期价格开始下跌,后期价格在原有价格基础之上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数:f(x)=pqx;f(x)=px2+qx+7;f(x)=logq(x+p),其中p,q均为常数且q>1.(注:x表示上市时间,f(x)表示价格,记x=0表示4月1日,x=1表示5月1日,以此类推,x0,5)(1)在上述三个价格模拟函数中,哪一个更能体现该种水果的价格变化趋势?并简要说明理由.(2)对(1)中所选的函数f(x),若f(2)=11,f(3)=10,记g(x)=f(x)-2x-13x+1,经过多年的统计发现,当函数g(x)取得最大值时,拓展外销市场的效果最为明显,请预测明年拓展外销市场的时间是几月1日?【解析】(1)根据题意,该种水果的价格变化趋势是先增加后减少,基本符合开口向下的二次函数图象的变化趋势,故应该选择.(2)由f(2)=11,f(3)=10,得4p+2q+7=11,9p+3q+7=10,解得p=-1,q=4,故f(x)=-x2+4x+7.所以g(x)=f(x)-2x-13x+1=-x2+2x-6x+1=-x2-2x+6x+1=-9x+1+(x+1)-4,此函数在0,2上单调递增,在2,5上单调递减,所以当x=2时,g(x)最大.所以明年拓展外销市场的时间应为6月1日.第三章章末小结一、选择题1.下列函数中,既是奇函数又有零点的增函数的是().A.y=12xB.y=1xC.y=log3xD.y=x3【解析】A,C错,y=12x与y=log3x是非奇非偶函数;B是奇函数,但无零点,只有D正确.【答案】D2.下列关于函数f(x),xa,b的命题中,正确的是().A.若x0a,b且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点B.若x0是f(x)在a,b上的零点,则可以用二分法求x0的近似值C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解【解析】选项A正确.使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,选项B错误.f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点,选项C错误.用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,选项D错误.故选A.【答案】A3.若函数f(x)=x2lg a-2x+1有两个零点,则实数a的取值范围是().A.0<a<10B.1<a<10 C.0<a<1D.0<a<1或1<a<10【解析】lg a0且=4-4lg a>0,解得0<a<1或1<a<10.【答案】D4.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点坐标为(x0,y0),则x0所在的区间是().A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】由题意知x0为方程x3=12x-2的根,令f(x)=x3-22-x,f(0)=-4<0,f(1)=-1<0,f(2)=7>0,x0(1,2).【答案】B5.如图,在直角梯形OABC中,ABOC,AB=1,OC=BC=2,直线l:x=t截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的图象大致为().【解析】由题意可得S=f(t)=12t2t,0t1,1212+(t-1)2,1<t2t2,0t1,2t-1,1<t2,函数S=f(t)的图象在0,1上为抛物线的一段,在(1,2上为一条线段.【答案】C6.用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=3,f(2)=-5,f32=9,则下列结论正确的是().A.x01,32B.x0=32C.x032,2D.x01,32或x032,2【解析】f(2)f32<0,x032,2.【答案】C7.已知函数f(x)=x2+2(m-1)x-5m-2,若函数f(x)的两个零点x1,x2满足x1<1,x2>1,则实数m的取值范围是().A.(1,+)B.(-,1)C.(-1,+)D.(-,-1)【解析】函数f(x)=x2+2(m-1)x-5m-2开口向上,函数f(x)的两个零点x1,x2满足x1<1,x2>1,可得1+2(m-1)-5m-2<0,解得m>-1.【答案】C8.函数f(x)=lg x-1x的零点所在的区间是().A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100,+)【解析】f(1)=-1<0,f(10)=1-110=910>0,f(1)f(10)<0,由函数零点存在性定理知,函数f(x)=lg x-1x的零点所在的区间是(1,10),故选B.【答案】B9.已知a是函数f(x)的一个零点,且x1<a<x2,则().A.f(x1)f(x2)>0B.f(x1)f(x2)<0C.f(x1)f(x2)0D.以上都不对【解析】定理的逆定理不成立,故f(x1)f(x2)的值不确定.【答案】D10. 二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下表:x-3-2-101234f(x)6m-4-6-6-4n6不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是().A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-,-3)和(4,+)【解析】因为f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以方程在区间(-3,-1)内必有根.又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以方程在区间(2,4)内必有根.【答案】A11.函数f(x)=|x|+k有两个零点,则().A.k=0B.k>0C.0k<1D.k<0【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数y1=|x|和y2=-k的图象,如图所示.若函数f(x)有两个零点,则必有-k>0,即k<0.【答案】D12.设函数f(x)在(-,+)上有意义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=f(x),f(x)<k,k,f(x)k,取k=12,f(x)=12|x|,则fk(x)=k2的零点有().A.0个B.1个C.2个D.不确定,随k的变化而变化【解析】取k=12,f(x)=12|x|,则fk(x)=2-x,x1,2x,x-1,12,-1<x<1的图象如图所示.则fk(x)=k2的零点就是fk(x)与y=k2=14的交点,故交点有两个,即零点有两个.【答案】C二、填空题13.对于函数y=f(x),如果f(x0)=x0,我们就称实数x0是函数f(x)的不动点.设函数f(x)=3+log2x,则函数f(x)的不动点一共有个.【解析】由题意得3+log2x=x,即log2x=x-3,画出函数y=log2x和y=x-3的图象,如图所示.结合图象,函数有2个交点,即函数f(x)的不动点一共有2个.【答案】214.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.【解析】由f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b.在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象(如图),则当0<b<2时,两个函数的图象有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点.【答案】(0,2)15.已知函数y=log14x与y=kx的图象有公共点A,且点A的横坐标为2,则k的值为.【解析】当x=2时,y=log142=-12,点2,-12在直线y=kx上,k=-14.【答案】-1416.函数f(x)=x2-x,x>0,12-12+x,x0,若关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为.【解析】由函数图象(图略)可知,当直线y=kx-k过点-12,12时,直线的斜率最小,即k=-13;当直线y=kx-k与函数y=x2-x(x>0)相切时有一个交点,k=y=1,故当函数f(x)与直线y=kx-k有两个不同的交点,即关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根时,则实数k的取值范围是-13,1(1,+).【答案】-13,1(1,+)三、解答题17.若二次函数f(x)=-x2+2ax+4a+1的一个零点小于-1,另一个零点大于3,求实数a的取值范围.【解析】因为二次函数f(x)=-x2+2ax+4a+1的图象开口向下,且在区间(-,-1)内与区间(3,+)内各有一个零点,所以f(-1)>0,f(3)>0,即-(-1)2+2a(-1)+4a+1>0,-32+2a3+4a+1>0,即2a>0,10a-8>0,解得a>45.故实数a的取值范围是45,+.18.已知函数f(x)=lg 1+ax1-x(a>0)为奇函数,函数g(x)=2x2+b(bR).(1)求a的值;(2)若b>1,讨论方程g(x)=ln |x|实数根的个数.【解析】(1)由f(x)=lg1+ax1-x(a>0)为奇函数,得f(-x)+f(x)=0,即lg 1-ax1+x+lg 1+ax1-x=lg 1-a2x21-x2=0,所以1-a2x21-x2=1,解得a=1(a=-1舍去).(2)当b>1时,设h(x)=g(x)-ln |x|=2x2+b-ln |x|,则h(x)是偶函数且在(0,+)上单调递减,又h(1)=2+b>0,h(e2b)=2e4b-b<2e4-1<0,所以h(x)在(0,+)上有唯一的零点,方程g(x)=ln |x|有2个实数根.19.某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为51元?(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出P关于x的函数表达式.(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)【解析】(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时,一次订购量为x0个,则x0=100+60-510.02=550.因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂单价恰好降为51元.(2)当0<x100时,P=60;当100<x<550时,P=60-0.02(x-100)=62-x50;当x550时,P=51.所以P=f(x)=60,0<x100,62-x50,100<x<550,51,x550(xN).(3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,则L=(P-40)x=20x,0<x100,22x-x250,100<x<550,(xN)11x,x550.当x=500时,L=6000;当x=1000时,L=11000.因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,该厂获得的利润是11000元.20.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式.(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【解析】(1)由题意知,y=0.15x,0x10,1.5+2log5(x-9),x>10.(2)由题意知,1.5+2log5(x-9)=5.5,2log5(x-9)=4,log5(x-9)=2,得x-9=52,解得x=34.故业务员老江的销售利润是34万元.21.某医药研究所开发一种新药,据监测,如果成人按规定的剂量服用,服用药后每毫升血液中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线,其中OA是线段,曲线AB是函数y=kat(t1,a>0,且k,a是常数)的图象.(1)写出服药后y关于t的函数关系式.(2)据监测,每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服药为早上6:00,为保持疗效,第二次服药最迟应当在当天几点钟?(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药,则第二次服药3小时后,该病人每毫升血液中的含药量为多少微克?(精确到0.1) 【解析】(1)当0t<1时,y=8t;当t1时,由ka=8,ka7=1,解得a=22,k=82.y=8t,0t<1,8222t,t1.(2)由8222t2,解得t5.第一次服药5小时后,即第二次服药最迟应当在当天上午11点钟服药.(3)第二次服药3小时后,每毫升血液中含第一次所服药的药量为y1=82228=22(微克),含第二次服药的药量为y2=82223=4(微克),y1+y2=22+44.7(微克).故第二次服药3小时后,该病人每毫升血液中的含药量约为4.7微克.22.已知函数f(x)=-2x2-4x+1,x0,x+1,x>0.(1)计算fflog214的值;(2)写出f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=f(x)+c,若函数g(x)有三个零点,求实数c的取值范围.【解析】(1)由已知得flog214=f(-2)=-2(-2)2-4(-2)+1=1.所以fflog214=f(1)=1+1=2.(2)当x0时,函数f(x)=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3.由函数的性质可知,f(x)在区间(-,-1)内单调递增,在区间-1,0内单调递减;当x>0时,函数f(x)=x+1,显然f(x)在区间(0,+)上单调递增.综上,f(x)的单调递增区间是(-,-1)和(0,+),单调递减区间是-1,0.(3)作出f(x)的图象,如图.函数g(x)有三个零点,即方程f(x)+c=0有三个不同实根,又方程f(x)+c=0等价于方程f(x)=-c,所以当f(x)的图象与直线y=-c有三个交点时,函数g(x)有三个零点.数形结合得1<-c<3,即-3<c<-1.因此,函数g(x)有三个零点,实数c的取值范围是(-3,-1).