最新人教A版理科数学高效训练：66 直接证明与间接证明

最新数学高考复习资料A组基础演练·能力提升一、选择题1用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()Aa，b，c中至少有两个偶数Ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数Ca，b，c都是奇数Da，b，c都是偶数解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”答案：B2若x，yR，则下面四个式子中恒成立的是()Alog2(12x2)>0Bx2y22(xy1)Cx23xy>2y2 D.<解析：12x21，log2(12x2)0，故A不正确；x2y22(xy1)(x1)2(y1)20，故B正确；令x0，y1，则x23xy<2y2，故C不正确；令x3，y2，则>，故D不正确答案：B3(2014年张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证 a”索的因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0证明： ab2ac 3a2(ac)2ac 3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案：C4已知函数yf(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2D(x1x2)，都有f<，则称yf(x)为D上的凹函数由此可得下列函数中为凹函数的是()Aylog2x ByCyx2 Dyx3解析：可以根据图象直观观察，对于C证明如下：欲证f<，即证2<，即证(x1x2)2<2x2x，即证(x1x2)2>0，显然成立故原不等式得证答案：C5不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A成等比数列而非等差数列B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列D既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得由得代入，得2b，来源:即x2y22b2.故x2，b2，y2成等差数列答案：B6(2014年潍坊质检)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0，故选A.答案：A二、填空题7某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|<.那么他的反设应该是_答案：“x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2)|<|x1x2|则|f(x1)f(x2)|”8设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)解析：若a，b，则ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，则ab2，故推不出；若a2，b3，则a2b22，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1 且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.来源:答案：9已知a，b，(0，)且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析：a，b(0，)且1，ab(ab)1010216，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，0<16.答案：(0,16三、解答题10已知a1a2a3a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，来源:这与已知a1a2a3a4>100矛盾，故假设错误所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.11已知m0，a，bR，求证：2.证明：(分析法)m0，1m0.要证原不等式成立，只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立故原不等式得证12(能力提升)(1)设x1，y1，证明xyxy；(2)设1abc，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.证明：(1)要证xyxy，即证xy(xy)1yx(xy)2.又yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)x1，y1，(xy1)(x1)(y1)0成立，从而所证不等式成立(2)设logabx，logbcy，由对数的换底公式得logca，logba，logcb，logacxy.于是，所要证明的不等式即为xyxy.其中xlogab1，ylogbc1.来源:故由(1)可知所要证明的不等式成立B组因材施教·备选练习1已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根证明：假设三个方程都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.上述三个式子相加得：a22abb2b22bcc2c22aca20.即(ab)2(bc)2(ca)20.由已知a，b，c是互不相等的非零实数上式“”不能同时成立，即(ab)2(bc)2(ca)2<0，与事实不符，假设不成立，原结论成立即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根2在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由若成等差数列，请给出证明解析：A，B，C成等差数列证明如下：3，1，c(bc)a(ab)(ab)(bc)，b2a2c2ac.来源:在ABC中，由余弦定理，得cos B，0°<B<180°，B60°.AC2B120°，A，B，C成等差数列