概率论与数理统计(浙大版)第三章课件.ppt

第三章多维随机变量及其分布 关键词 二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性Z X Y的概率密度M max X Y 的概率密度N min X Y 的概率密度 1二维随机变量 问题的提出例1 研究某一地区学龄儿童的发育情况 仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的 需要同时考察每个儿童的身高和体重值 研究身高和体重之间的关系 这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量 例2 研究某种型号炮弹的弹着点分布 每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定 而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量 定义 设E是一个随机试验 样本空间S e 设X X e 和Y Y e 是定义在S上的随机变量 由它们构成的向量 X Y 叫做二维随机向量或二维随机变量 定义 设 X Y 是二维随机变量对于任意实数x y 二元函数称为二维随机变量 X Y 的分布函数 几何意义 X Y 平面上随机点的坐标 即为随机点 X Y 落在以点 x y 为顶点 位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值 分布函数的性质 2 二维离散型随机变量的联合分布 中心问题 X Y 取这些可能值的概率分别为多少 定义若二维r v X Y 所有可能的取值是有限对或无限可列对 则称 X Y 是二维离散型随机变量 则 1 公式法 二维 X Y 的联合分布律 2 表格法 X Y 的概率分布表 描述 X Y 的取值规律 例1 将一枚硬币连掷三次 令X 正面出现的次数 Y 正反面次数之差的绝对值 试求 X Y 的联合分布律 0 3 1 1 2 1 3 3 P X 0 Y 3 P 反反反 1 8 解 X Y 所有可能的取值为 例2 设随机变量X在1 2 3 4中随机地取一个数 另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数 求 X Y 的分布律 分析 X Y 所有可能的取值为 1 1 2 1 2 2 3 1 3 2 3 3 4 1 4 2 4 3 4 4 解 设X可能的取值为 Y可能的取值为 则 X Y 的联合分布律为 X Y 二维连续型随机变量 说明 2 的性质 分布函数是连续函数 因为是积分上限函数 反映 X Y 落在处附近的概率大小 概率微分 描述 X Y 的取值规律 例3 设二维随机变量 X Y 具有概率密度 例4 设二维随机变量 X Y 具有概率密度 1 求常数k 2 求概率解 2边缘分布 二维随机变量 X Y 作为整体 有分布函数其中X和Y都是随机变量 它们的分布函数记为 称为边缘分布函数 事实上 对于离散型随机变量 X Y 分布律为 X Y的边缘分布律为 注意 我们常在表格上直接求边缘分布律 1 例 求例1中二维随机变量 X Y 关于X与Y的边缘分布律 1 X与Y的边缘分布律如下 实际应用例子 X Y 对于连续型随机变量 X Y 概率密度为 事实上 同理 X Y的边缘概率密度为 例2 X Y 的联合分布律为求 1 a b的值 2 X Y的边缘分布律 3 2 解 1 由分布律性质知a b 0 6 1即a b 0 4 例3 设G是平面上的有界区域 其面积为A 若二维随机变量 X Y 具有概率密度则称 X Y 在G上服从均匀分布 现设 X Y 在有界区域上均匀分布 其概率密度为求边缘概率密度解 二维正态分布的图形 作业题 同济大学 P64 3题 5题 6题和7题 1 当 X Y 为离散型 三 二维随机变量的条件分布 定义在 X Y 中 当一个随机变量取固定值的条件下 另一个随机变量的分布 此分布为条件分布 在条件下 X的条件分布 固定值 自变量 同理 总和 分量 例8在例2中 求 1 在X 3的条件下Y的条件分布律 2 求在Y 1的条件下X的条件分布律 因为 所以 类似可求 2 当 X Y 为连续型 总和 分量 例 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 解 独立性 独立性 复习 两个事件A与B独立性的定义 P AB P A P B 四 随机变量的独立性 1 定义 设X与Y是两个随机变量 若对任意的 1 由定义可知 若X与Y独立 则 2 离散型随机变量 X与Y相互独立的充要条件为 3 连续型随机变量 X与Y相互独立的充要条件为 2 随机变量独立性的重要结论 4 联合分布和边缘分布的关系 联合分布 边缘分布 条件 独立性 例 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 一般n维随机变量的一些概念和结果 边缘分布如 相互独立 作业题 同济大学 P65 12题 14题 1 X Y 离散 使对应的 X Y 的那些可能值 其概率之和 5两个随机变量的函数的分布 例1 设二维随机变量 X Y 的分布律为 求Z X Y的分布律 解 Z的所有取值为 1 2 3 4 5 6 2 X Y 连续型 方法 分布函数法 解 由x y 的取值及Z与X Y的函数关系可知 Z的取值范围 Z的密度函数不为0的范围 是0 z 1 首先求Z的分布函数 当0 z 1时 如图 则Z的密度函数为 0 z 1 下面我们就几个具体的函数来讨论 Z X Y的分布 由概率密度的定义可得Z的概率密度为 固定 特别地 当X和Y相互独立时 上述两式变为 称为卷积公式 例1 设X和Y是两个相互独立的随机变量 它们都服从N 0 1 即有 求Z X Y的概率密度 解 由卷积公式 结论 分布的可加性 例2 设随机变量X与Y独立同分布 X的概率密度为 求Z X Y的概率密度 解 由卷积公式 特别地 当X和Y相互独立时 有 2 Z X Y 类似与Z X Y的情形 可知 例3 设随机变量X与Y独立同分布 X的概率密度为 求Z X Y的概率密度 解 由卷积公式 3 M max X Y 及N min X Y 的分布 设X Y是两个相互独立的随机变量 它们的分布函数分别为FX x 和FY y 由于 现在来求M max X Y 及N min X Y 的分布函数 1 M max X Y 的分布函数为 2 N min X Y 的分布函数为 例1 设系统L由两个相互独立的子系统L1 L2联接而成 联接方式分别为 1 串联 2 并联 3 备用 当L1损坏时 L2开始工作 如图所示 1 2 3 L1 L2的寿命分别用X Y表示 已知它们的概率密度分别为 试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度 解 1 串联的情况 Z min X Y X Y的分布函数分别为 Z min X Y 的分布函数为 Z的概率密度为 2 并联的情况 Z max X Y Z max X Y 的分布函数为 Z的概率密度为 3 备用的情况 Z X Y Z的概率密度为 作业题 同济大学 P64 1题 3题 9题和12题 复习 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度 复习 边缘分布 复习 条件分布律 条件密度函数 1 由定义可知 若X与Y独立 则 2 离散型随机变量 X与Y相互独立的充要条件为 3 连续型随机变量 X与Y相互独立的充要条件为 随机变量独立性的重要结论 1 X Y 离散 使对应的 X Y 的那些可能值 其概率之和 5两个随机变量的函数的分布 2 X Y 连续型 方法 分布函数法 特别地 当X和Y相互独立时 上述两式变为 称为卷积公式 特别地 当X和Y相互独立时 有 2 Z X Y 类似与Z X Y的情形 可知 3 X Y相互独立时 M max X Y 的分布函数为 4 X Y相互独立时 N min X Y 的分布函数为