2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题限时训练 理.doc

第3讲圆锥曲线的综合问题 (限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号圆与圆锥曲线综合问题1定点、定值问题2,3探索性问题4取值范围问题51.(2018广西柳州市一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,F1,F2为椭圆的左右焦点,P为椭圆短轴的端点,PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解:(1)由题意,ca=22,122cb=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=c=2,所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00.因为OAOB,所以OAOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.当x0=t时,y0=-t22,代入椭圆C的方程,得t=2,故直线AB的方程为x=2.圆心O到直线AB的距离d=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0t时,直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t(x-t).即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.d=|2x0-ty0|(y0-2)2+(x0-t)2,又x02+2y02=4,t=-2y0x0,故d=|2x0+2y02x0|x02+y02+4y02x02+4=4+x02x0x04+8x02+162x02=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.综上,AB与圆x2+y2=2相切.2.(2018岳麓区校级二模)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线C于点A,B和点C,D,线段AB,CD的中点分别为M,N.(1)求线段AB的中点M的轨迹方程;(2)过M,N的直线l是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.解:(1)由题设条件得焦点坐标为F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1),k0,联立y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-2(2+k2)x+k2=0,=-2(2+k2)2-4k2k2=16(1+k2)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则xM=12(x1+x2)=1+2k2,yM=k(xM-1)=2k,所以2(xM-1)=yM2,所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2=2(x-1)(x>1).(2)过定点,理由:由(1)知,xM=x1+x22=2+k2k2,yM=2k,同理,设N(xN,yN),则xN=2k2+1,yN=-2k,当k1时,可知直线l的斜率为k=yM-yNxM-xN=k1-k2,所以直线l的方程为y+2k=k1-k2(x-2k2-1),即yk2+(x-3)k-y=0,当x=3,y=0时方程对任意的k(k1)均成立,即直线l过定点(3,0).当k=1时,直线l的方程为x=3.综上所述,过M,N的直线l必过定点(3,0).3.(2018广东省海珠区一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为26,且过点A(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点A的直线l:y=kx+m与C交于P,Q两点,且直线AP与直线AQ的斜率之和为0,证明:直线PQ的斜率为定值.(1)解:因为椭圆C的焦距为26,且过点A(2,1),所以4a2+1b2=1,2c=26.因为a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为x28+y22=1.(2)证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m,由y=kx+m,x28+y22=1,消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0,(*)则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-84k2+1,因为kPA+kAQ=0,即y1-1x1-2=-y2-1x2-2,化简得x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0.代入得2k(4m2-8)4k2+1-8km(m-1-2k)4k2+1-4m+4=0,整理得(2k-1)(m+2k-1)=0,所以k=12或m=1-2k.若m=1-2k,可得方程(*)的一个根为2,不合题意,所以直线PQ的斜率为定值,该值为12.4.(2018临沂二模)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线y=kx+4(k>0)交抛物线于A,B两点,且OAOB(O为坐标原点).(1)求抛物线方程;(2)若AF,BF的延长线与抛物线交于C,D两点,设直线CD的斜率为k,证明kk为定值,并求出该定值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=2py,y=kx+4可得x2=2p(kx+4),即x2-2pkx-8p=0,显然=4p2k2+32p>0且x1+x2=2pk,x1x2=-8p,所以y1y2=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=16,因为OAOB,所以x1x2+y1y2=0,所以-8p+16=0,解得p=2,所以抛物线方程为x2=4y.(2)由(1)可知F(0,1),设C(x3,y3),D(x4,y4),所以kAF=y1-1x1,kCF=y3-1x3,所以y1-1x1=y3-1x3,因为x12=4y1,x32=4y3,所以x12x3-4x3=x32x1-4x1,即(x1x3+4)(x1-x3)=0,因为x1x3,所以x1x3=-4,同理可得x2x4=-4,所以kCD=y4-y3x4-x3=x424-x324x4-x3=x4+x34=14(-4x1-4x2)=-x1+x2x1x2=-2pk-8p=k4,所以kk=kCDk=14.5.(2018南昌市一模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),连接椭圆的两个焦点和短轴的两个端点得到的四边形为正方形,正方形的边长为2.(1)求椭圆的方程;(2)设C(m,0),过焦点F(c,0)(c>0)且斜率为k(k0)的直线l与椭圆交于A,B两点,使得(CA+CB)BA,求实数m的取值范围.解:(1)由椭圆的定义及题意得a=2,b=c=1,所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)由(1)得F(1,0),直线l的方程为y=k(x-1),代入x22+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则x1+x2=4k22k2+1,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k2k2+1,x0=2k22k2+1,y0=-k2k2+1.因为CA+CB=2CM,所以CMBA,所以kCMk=y0x0-mk=-1,所以2k22k2+1-m+-k2k2+1k=0,m=k22k2+1=12+1k2(0,12),所以实数m的取值范围是(0,12).