新编北师大版高三数学理复习章末检测：第七章 不等式、推理与证明含答案

第七章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(20xx·山东)设集合Mx|x2x6<0，Nx|1x3，则MN等于()A1,2) B1,2C(2,3 D2,32(20xx·商丘月考)下列命题中为真命题的是()A若a>b，c>d，则ac>bdB若|a|>b，则a2>b2C若a>b，则a2>b2D若a>|b|，则a2>b23若实数a、b满足ab2，则3a3b的最小值是()A18 B6 C2 D24不等式y|x|表示的平面区域是()5(20xx·北京)如果x<y<0，那么()Ay<x<1 Bx<y<1C1<x<y D1<y<x6若实数x，y满足不等式组则xy的最大值为()A9 B. C1 D.7点P(a,3)到直线4x3y10的距离等于4，且在2xy3<0表示的平面区域内，则a的值为()A3 B7 C3 D78(20xx·黄冈月考)设an，则对任意正整数m，n (m>n)都成立的是()A|anam|<B|anam|>C|anam|<D|anam|>9今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a、b.设物体的真实重量为G，则()A.G B.G C.>G D.<G10设M，且abc1 (其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是()A. B. C1,8) D8，)11(20xx·许昌月考)对一切实数x，不等式x2a|x|10恒成立，则实数a的取值范围是()A2，) B(，2)C2,2 D0，)12若实数x、y满足1，则x22y2有()A最大值32 B最小值32C最大值6 D最小值6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13关于x的不等式x2(a1)xab>0的解集是x|x<1或x>4，则实数a、b的值分别为_14(20xx·陕西)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2xy的最小值为_15(20xx·汤阴模拟)已知正数a、b满足abab3，则ab的取值范围为_，ab的取值范围是_16(20xx·山东)设函数f(x)(x>0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)解关于x的不等式(其中a>0且a1)18(12分)(20xx·惠州月考)函数f(x)对一切实数x，y均有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0.(1)求f(0)；(2)求f(x)；(3)当0<x<2时不等式f(x)>ax5恒成立，求a的取值范围19(12分)(20xx·汕头月考)设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？20(12分)(20xx·嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？21(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2R，a1a21，求证：aa.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2，f(x)2x22(a1a2)xaa2x22xaa.因为对一切xR，恒有f(x)0，所以48(aa)0，从而得aa.(1)若a1，a2，anR，a1a2an1，请写出上述问题的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的问题加以证明22(12分)(20xx·山东)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式···>成立第七章章末检测1Ax2x6<0，3<x<2，Mx|3<x<2又Nx|1x3，MNx|1x<22D3B由基本不等式，得3a3b226，当且仅当ab1时取等号，所以3a3b的最小值是6.4A5D不等式转化为1<y<x.6A画出可行域如图：令zxy，可变为yxz，作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大由得A(4,5)，zmax459.7C由题意解得a3.8C|anam|<<.9C设左、右臂长分别为l1、l2，则l1·Gl2·a，l2·Gl1·b.×，得G2ab，G.l1l2，故ab，>G.10DM(1)(1)(1)····8，当且仅当abc时，等号成立M8.11A当x0时，对任意实数a，不等式都成立；当x0时，af(x)，问题等价于af(x)max，f(x)max2，故a2.综上可知，a的取值范围是2，)12Bx22y2(x22y2)·1(x22y2)·123232，当且仅当时等号成立134,1解析由题意知，1、4为方程x2(a1)xab0的两根，a13，ab4.a4，b1.141解析令b2xy，则y2xb，如图所示，作斜率为2的平行线y2xb，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为b，此时b2xy取得最小值，为b2×111.159，)6，)解析ab2，ab32.解得，3或1(舍)，ab9，abab36.16.解析依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项公式为bn2n.所以当n2时，fn(x)f(fn1(x).17解当a>1时，有x11，x20，0.0，x3或0<x1.(6分)当0<a<1时，有x11，0.3x<0或x1.(8分)综上，当a>1时，x(，3(0,1；当0<a<1时，x3,0)1，)(10分)18解(1)令x1，y0，得f(10)f(0)(12×01)×12，f(0)f(1)22.(3分)(2)令y0，f(x0)f(0)(x2×01)·xx2x，f(x)x2x2.(6分)(3)f(x)>ax5化为x2x2>ax5，ax<x2x3，x(0,2)，a<1x.(8分)当x(0,2)时，1x12，当且仅当x，即x时取等号，由(0,2)，得(1x)min12.a<12.(12分)19(1)证明方法一(反证法)若Sn是等比数列则SS1S3，即a(1q)2a1·a1(1qq2)，(3分)a10，(1q)21qq2，q0.这与q0矛盾Sn不是等比数列(6分)方法二Sn1a1qSn，Sn2a1qSn1，SnSn2SSn(a1qSn1)(a1qSn)Sn1a1(SnSn1)a1an10.故SnSn2S，数列Sn不是等比数列(6分)(2)解当q1时，Sn是等差数列当q1时，Sn不是等差数列，否则S1，S2，S3成等差数列，即2S2S1S3.2a1(1q)a1a1(1qq2)(10分)由于a10，2(1q)2qq2，qq2，q1，q0.这与q0矛盾，故当q1时，Sn不是等差数列(12分)20解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数zx0.5y.(5分)上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域作直线l0：x0.5y0，并作平行于直线l0的一组直线x0.5yz，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x0.5y0的距离最大，这里M点是直线xy10和0.3x0.1y1.8的交点(9分)解方程组，得x4，y6，此时zmax1×40.5×67(万元)当x4，y6时，z取得最大值答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大(12分)21(1)解若a1，a2，anR，a1a2an1.求证：aaa.(4分)(2)证明构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)xaaanx22xaaa.(8分)因为对一切xR，都有f(x)0，所以44n(aaa)0，从而证得aaa.(12分)22(1)解由题意：Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)，(3分)由于b>0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，所以b，所以r1.(5分)(2)证明由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为···>.(6分)当n1时，左式，右式.左式>右式，所以结论成立，(7分)假设nk(kN*)时结论成立，即···>，则当nk1时，···>·要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由均值不等式成立，所以，当nk1时，结论成立(11分)由可知，nN*时，不等式···>成立(12分)