应用复变与积分习题附答案

习题四4.1 求以为周期的函数的复指数形式的傅里叶级数，并画出其频谱图解 令，当时， ，当时， 故的傅里叶级数的复指数形式为其振幅谱为相位谱为其图形如图4.1所示注 频谱4.2 求下列函数的傅氏变换(1) 解.解二 考虑,从而利用傅氏变换的线性性质以及位移性质.由证明单位阶跃函数得(2) 解.注 在本章中的广义积都是主值积分,因此在几分过程中只要判断出积分区间是对称区间,被积函数是奇函数,积分值即可得出为零,被积函数是偶函数,则积分区间可以对折.(3) 解 所给函数有三个间断点-1，0，1,除间断点满足是奇函数.解二 .4.3 求下列函数的傅氏变换，并证明下列积分结果(1) 证明 ；分析 函数满足傅氏积分定理的条件,可以先求出的傅氏变换,再根据傅里叶积分公式,求出的积分表达式,这样能够得到某些含参变量广义积分这是积分变换的一个重要应用.解一 .再由Fourier傅氏逆变换得 即 .解二 本题也可以利用欧拉公式和分部积分法,即函数为连续的偶函数，其Fourier变换为.再由Fourier傅氏逆变换得 即 .注:用到奇偶函数的积分性质:,.解二 设 ,则所以.由及相似性质,所以 .余略.(2) 证明 解 函数是偶函数, .由傅里叶积分定理,在的连续点处,即时,有当时,有整理即得 (3) 证明 解 利用欧拉公式,将指数函数化为三角函数,再利用积化和差公式,有函数是连续的奇函数, .由傅里叶积分定理,有整理即得 注:本小题也可以利用欧拉公式,将正弦函数化成指数函数求解.可自行练习.4.4 求下列函数的傅氏变换(1) 解一 利用傅里叶变换的定义. 因为.故.解二 因为及位移性质, 由得.解三 利用卷积定理 以及和有 .注 上式利用了. (2) 解一 利用傅氏变换的定义解二 的性质叠加过程为.因为和位移性质，. 故,.解三 的性质叠加过程为.因为,位移性质，.有,上述等式两边同时乘以,得. (3) 解 已知,由即得解二 由,及 ,得.(4) 解 由于,.有 .解二 ,位移性质,像函数的位移性质.有 .注 这里两个函数相等是在弱意义下相等:若对于任意的在上连续的函数,恒有,则称两个函数与在弱意义下是相等的.注 这里用到结论: 设函数在上连续,则 .证明 利用筛选性质.对任意的在上连续的函数,则根据两个函数在弱意义下相等的定义,知 在弱意义下成立.注 这里也用到结论: 设函数在上连续,则.解三 ,.注 这里用到,位移性质, 相似性质 若,则4.5 求下列函数的傅氏逆变换(1) 解 由以及.所以.即 (2) 解 由 .以及.所以.即 4.6 若 证明（对称性质）：证明 (1) 因为,有将上式中的变量换成,积分结果不变,即再将上式中的变量换成,上式关系依然成立,即最后再将用代替,得.(2) 因为,将上式中的变量换成,积分结果不变,即再将上式中的变量换成,上式关系依然成立,即最后再将用代替,得.4.7 若 证明（翻转性质）：证明 (令 (令.4.8 若 证明：证明 .证明证法二 利用卷积定理 以及有 .注 上式利用了.4.9 若 求下列函数的傅氏变换(1) ； (2) ；(3) ； (4) 本题重点要求掌握傅氏变换的性质,所以必须在熟记傅氏变换性质的基础上,再去尝试.解 (1) 由相似性质.故 .由像函数的微分性质,有.(2) .由相似性质.有 .所以 .由像函数的微分性质,有 ,故. (3) 分析 本题需要考虑的复合过程, 或者,所以由此有两种方法.解一 先利用平移性质,再利用相似性质.所以.解二 先利用平移性质,再利用相似性质 令,则由相似性质得.所以 .解三 利用傅氏变换的定义 (令.余略.解四 翻转性质和平移性质因为,所以. (4) .解二,则4.10 设下列函数的卷积 解 当或时,或.故=0.当且,即时.即 4.11 证明：证明 因为, 所以.即有4.12设为单位阶跃函数, 利用卷积定理求下列函数的傅氏变换(1) ；解一 利用卷积定理 以及,有 .注 上式利用了.解二 (2) 解一 因为和像函数的微分性质.因为,所以.利用卷积定理 以及.有 .解二 因为以及像函数的位移性质.故.又像函数的微分性质,有.解三 由于 根据微分性质 再根据位移性质 .4.13 设， ，求解 解二 .注 这里用到的筛选性质 18 / 18