2019届高三数学12月月考试题 理(含解析).doc

2019届高三数学12月月考试题 理(含解析)说明：本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填在机读卡上第卷可在各题后直接作答。全卷共150分，考试时间120分钟.一选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分)1.设全集为R，函数的定义域为M，则为 （ ）A. (，1) B. (1，) C. (，1 D. 1，)【答案】A【解析】【分析】求出函数f（x）的定义域M，再写出它的补集即可【详解】全集为R，函数的定义域为Mx|0x|x1，则RMx|x<1(，1)故选：A【点睛】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目2.已知复数 ，则的值为 （ ）A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C【解析】【分析】由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解【详解】由z，得z（2i）（2+i）4i25故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题3.已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】展开式的各个二项式系数的和为，则，即.设的通项公式为.令，则.的展开式中的系数为.故选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.4.已知,则值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意结合诱导公式求得的值，然后求解其平方即可.详解：由诱导公式可得：，则.本题选择D选项.点睛：本题主要考查诱导公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.函数的图象大致是（ ）【答案】A【解析】试题分析：因为,所以函数为奇函数，图像关于原点对称,故排除BC,当时，,故排除D故A正确考点：函数图像6.已知为两个平面，l为直线，若，则下面结论正确的是（ ）A. 垂直于平面的平面一定平行于平面 B. 垂直于平面的平面一定平行于平面C. 垂直于平面的平面一定平行于直线 D. 垂直于直线l的平面一定与平面都垂直【答案】D【解析】因为相交不一定垂直，所以垂直于的平面可能与平面相交，A不正确；垂直于直线的直线可能在平面内，B不正确；如图可知，垂直于的平面与垂直，C不正确；设，而，由面面垂直判定可得，D正确，故选D7.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由表示的平面区域为，为一个边长为1的正方形，而在内随机取一个点，则此点到点的距离大于1，可转而找出到点的距离小于等于1的点为；以为圆心，半径为1的圆，落在内的面积为，而距离大于1的面积为：，由几何概型，化为面积比得：考点：几何概型的算法8.已知，（），则数列的通项公式是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，得：，为常数列，即，故故选：C9.若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数在上是减函数可知，在上是减函数可知，即可求出的取值范围.【详解】由二次函数的对称轴为，且在区间上是减函数，则，又在区间上是减函数，所以，综上，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.10.已知、是球的球面上三点，且棱锥的体积为，则球的表面积为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 A，B，C是球O的球面上三点 截面圆的圆心为AC中点，半径为2棱锥OABC的体积为 ， ，球O的表面积为： ，本题选择D选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11.已知函数只有一个零点，则实数的取值范围为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数若函数只有一个零点，则是唯一的零点，故无零点，等价于与无交点.画出函数的图象，如图所示：由图象可得.设与的切点坐标为.，则，即.时，图象无交点，即函数只有一个零点.故选D.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解12.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线 的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中 分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点， ，整理得，即，解方程得，（舍） 故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出. 根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.第卷（非选择题90分）二填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知函数f（x）=的图象在点（1，f（1）处的切线过点（-1,1），则a=_【答案】-5【解析】【分析】求出函数的导数f（x）=3x2+a，f（1）=3+a，而f（1）=a+2,根据点斜式得到程，利用切线的方程经过的点求解即可【详解】函数f（x）=x3+ax+1的导数为：f（x）=3x2+a，f（1）=3+a，而f（1）=a+2，切线方程为：ya2=（3+a）（x1），因为切线方程经过（-1，1），所以1a2=（3+a）（-11），解得a=-5故答案为：-5.【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.14.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则_(用M表示)【答案】【解析】分析：由“斐波那契”数列定义找与的关系。由定义可得，依次迭代可得 。进而可得。可求得。详解：由“斐波那契”数列可知 。 所以 ， 所以 点睛：有关数列求和问题，若是等差、等比数列，应根据等差、等比数列的前项和公式求解；若不是等差、等比数列，看能否构造等差、等比数列，再用等差、等比数列的前项和公式求解；其它特殊数列，应根据特殊数列的定义求解，如“斐波那契”数列，应根据其定义，依次迭代寻找前项和与的关系，进而求解。15.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”丙说：“两项作品未获得一等奖” 丁说：“是或作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_【答案】C.【解析】若获得一等奖,则甲、丙、丁的话是对的,与已知矛盾;若获得一等奖,则四人的话是错误的,与已知矛盾;若获得一等奖,则乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是.16.已知直线交抛物线于E和F两点，以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为，则k=_ .【答案】【解析】由消去y整理得，设，则，由抛物线的定义可得，以为直径的圆的半径为，圆心到x轴的距离为由题意得，解得答案：三解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知，为的反函数，不等式的解集为(I)求集合； (II)当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意得不等式，解不等式即可得到集合M；（2）先求反函数，进而得到的解析式，再求函数的值域。试题解析：（1） ，即，解得。故。（2）， ，即。，函数的值域为。18.中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，cosA=,B=A+，(I)求b的值； (II)求的面积.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用正弦定理及同角三角函数之间的关系求解；（2）借助题设运用诱导公式及三角变换公式求解.试题解析：（1）因，故1分因，故.3分由正弦定理，得.6分（2）8分10分的面积为.12分考点：诱导公式、三角变换公式及正弦定理等有关知识的综合运用.19.如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，面面，点为棱的中点.（）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；（）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取的中点，连结、，可证，四边形为平行四边形.则，又平面，平面，所以，平面.故在棱上存在点，使得面，点为棱的中点.（2）可证面，故以为坐标原点建立如图空间坐标系，求出相应点及相应向量的坐标可求直线与平面所成的角.（1）在棱上存在点，使得面，点为棱的中点.理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形.所以，又平面，平面，所以，平面.（2）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且面面，面面，所以面，故以为坐标原点建立如图空间坐标系，设，则由题意知，设平面的法向量为，则由得，令，则，所以取，显然可取平面的法向量，由题意： ，所以.由于面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，从而，所以直线与平面所成的角为.20.已知数列前项和为，满足，(I)求证：存在实数数使得列是等比数列；(II)设，求数列的前项和【答案】（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：(1)由得到数列 的递推关系，利用等比数列的定义加以证明；(2)由（1）问明确数列的通项，进而利用错位相减法求和.试题解析：(1）（1）当时，（2）当时，设，则是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1）得， 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.21.已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数.（）求实数的取值范围；（）求的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】分析：（）由题设有，因为有两个极值点且，所以有两个不同解为，故，结合题设有，从而得到.（）由（）可知，所以，又，从而，其中，利用导数可以求出该函数的值域.详解：（），由题意知即为方程的两个根.由韦达定理：，所以且.令， 则由可得，解得.（） ， ，由（）知，代入得 ，令，于是可得，故 在上单调递减，.点睛：（1）因为函数在上导数是存在的，所以函数的极值点即为导数的零点，也是对应的一元二次方程的根，利用根分布就可以求出参数的取值范围.（2）复杂的多元函数的最值问题可以先消元处理，再利用导数分析函数的单调性从而求出函数的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知某圆的极坐标方程为：(I)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(II)若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值【答案】（1）；（2）最大值为6，最小值为2【解析】试题分析：（1）极坐标与直角坐标之间的关系是，以及，应用此公式可相互转化；（2）圆的标准方程为，因此可设的坐标为，即则有，最大（小）值即得.这实质是圆的参数方程的应用.试题解析：（1）；（2）圆的参数方程为所以，那么xy最大值为6，最小值为2考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，圆的参数方程，三角函数的最值.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数，P为不等式f（x）>4的解集(I)求P；(II)证明：当m，时，【答案】（）;（）见解析;【解析】试题分析：（）利用绝对值的代数意义和零点分段讨论法去掉绝对值符号，得到分段函数，再利用函数的单调性得到不等式的解集；（）通过平方、作差、分解因式进行证明即可试题解析：（）由的单调性及得，或所以不等式的解集为. （）由（）可知，所以，所以，从而有