2019-2020年高一数学上学期期末试卷（含解析） (IV).doc

2019-2020年高一数学上学期期末试卷（含解析） (IV)一、选择题（每小题5分，共35分）1（5分）已知直线l经过点A（4，1），B（6，3），则直线l的倾斜角是（）A0B30C45D602（5分）若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A球B三棱锥C正方体D圆柱3（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x2）2+（y1）2=9的位置关系为（）A内切B相交C外切D相离4（5分）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若l，m，则lmB若l，m，则lmC若l，lm，则mD若lm，m，则l5（5分）直线x+y1=0与直线x+y+1=0的距离为（）A2BCD16（5分）将圆x2+y22x4y+1=0平分的直线是（）Ax+y1=0Bx+y+3=0Cxy+1=0Dxy+3=07（5分）如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC二、填空题（每小题5分，共15分）8（5分）空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为9（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为10（5分）过点P（3，1）且与直线2x+3y5=0垂直的直线方程为三、解答题11（12分）如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCBD，AB=3，BC=BD=4，点E，F分别是AC，AD的中点（1）判断直线EF与平面BCD的位置关系，并说明理由（2）求三棱锥ABCD的体积12（12分）三角形ABC的三个顶点A（3，0），B（2，1），C（2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程13（13分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段DD1的中点（1）求证：AC平面BDD1（2）求EA与平面BDD1所成角的正弦值14（13分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x12y+24=0（1）写出圆C的圆心坐标及半径；（2）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（3）过点P的圆C的弦的中点D的轨迹方程四、选择题（每小题5分，共15分）15（5分）设直线l过点（2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A1BCD16（5分）已知0a1，则方程ax|logax|=0的实根个数为（）A1个B2个C3个D4个17（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角ACDB的余弦值是（）ABCD五、填空题（每小题5分，共10分）18（5分）圆C：x2+y2=4关于直线x+2y5=0对称的圆的方程为19（5分）一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后水面宽为米六、解答题20（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（）求圆的方程；（）设直线axy+5=0（a0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由21（13分）已知函数f（x）=2|xm|和函数g（x）=x|xm|+2m8，其中m为参数，且满足m5（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；（2）若方程f（x）=2|m|在x，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围湖南师大附中xx高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共35分）1（5分）已知直线l经过点A（4，1），B（6，3），则直线l的倾斜角是（）A0B30C45D60考点：直线的倾斜角 专题：直线与圆分析：根据直线过点A、B，求出它的斜率，由斜率得出对应的倾斜角解答：解：直线l经过点A（4，1），B（6，3），直线l的斜率是k=1，直线l的倾斜角是45故选：C点评：本题考查了利用两点的坐标求直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题目2（5分）若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A球B三棱锥C正方体D圆柱考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为等腰直角三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x2）2+（y1）2=9的位置关系为（）A内切B相交C外切D相离考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：直线与圆分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（2，0），半径r=2圆（x2）2+（y1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d=，R+r=5，Rr=1，R+rdRr，所以两圆相交，故选B点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径4（5分）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若l，m，则lmB若l，m，则lmC若l，lm，则mD若lm，m，则l考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可解答：解：A根据线面平行的性质可知，若l，m，则lm或者l与m是异面直线，所以A错误B平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，可能是异面直线，所以B错误C根据线面垂直和直线平行的性质可知，若l，lm，则m，所以C正确D根据线面垂直的判定定理可知，要使直线l，则必须有l垂直平面内的两条直线，所以D错误故选C点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的位置关系的判断和应用，要求熟练掌握相应的定义和判断定理5（5分）直线x+y1=0与直线x+y+1=0的距离为（）A2BCD1考点：两条平行直线间的距离 专题：计算题分析：由已知中直线x+y1=0与直线x+y+1=0的方程，代入两条平行直线距离公式d=，即可得到答案解答：解：直线x+y1=0与直线x+y+1=0中a=1，b=1，c1=1，c2=1两条平行直线距离公式d=故选B点评：本题考查的知识点是两条平行直线间的距离，其中熟练掌握两条平行直线距离公式d=，是解答本题的关键6（5分）将圆x2+y22x4y+1=0平分的直线是（）Ax+y1=0Bx+y+3=0Cxy+1=0Dxy+3=0考点：直线与圆相交的性质 专题：计算题分析：将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x1）2+（y2）2=4，可得出圆心坐标为（1，2），将x=1，y=2代入A选项得：x+y1=1+21=20，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=60，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入C选项得：xy+1=12+1=0，故圆心在此直线上；将x=1，y=2代入D选项得：xy+3=12+3=20，故圆心不在此直线上，则直线xy+1=0将圆平分故选C点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆x2+y22x4y+1=0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键7（5分）如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC考点：平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：由题意推出CDAB，ADAB，从而得到AB平面ADC，又AB平面ABC，可得平面ABC平面ADC解答：解：在四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90BDCD又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD故CD平面ABD，则CDAB，又ADABAB平面ADC，又AB平面ABC，平面ABC平面ADC故选D点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题二、填空题（每小题5分，共15分）8（5分）空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为考点：空间两点间的距离公式 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据空间两点之间的距离公式，将A、B两点坐标直接代入，可得本题答案解答：解：点A（0，0，1），点B（0，1，0），根据空间两点之间的距离公式，可得线段AB长|AB|=故答案为：点评：本题给出空间两个定点，求它们之间的距离，着重考查了空间两点之间距离求法的知识，属于基础题9（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为12考点：球的体积和表面积 专题：计算题分析：有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可解答：解：由得，所以S=4R2=12点评：本题考查学生对公式的利用，是基础题10（5分）过点P（3，1）且与直线2x+3y5=0垂直的直线方程为3x2y+11=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：计算题分析：由方程可得已知直线的斜率，进而由垂直关系可得所求直线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可解答：解：可得直线2x+3y5=0的斜率为，由垂直关系可得所求直线的斜率为，故可得所求方程为y1=（x+3），化为一般式可得3x2y+11=0故答案为：3x2y+11=0点评：本题考查直线的一般式方程，以及直线的垂直关系，属基础题三、解答题11（12分）如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCBD，AB=3，BC=BD=4，点E，F分别是AC，AD的中点（1）判断直线EF与平面BCD的位置关系，并说明理由（2）求三棱锥ABCD的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离分析：（1）在ACD中，点E，F分别是AC，AD的中点，由三角形中位线定理可得EFCD，然后利用线面平行的判定得答案；（2）直接由三棱锥的体积公式结合已知条件求得三棱锥ABCD的体积解答：解：（1）EF平面BCD事实上，在ACD中，点E，F分别是AC，AD的中点，EFCD，又EF平面BCD，CD平面BCD，EF平面BCD；（2）AB平面BCD，AB为三棱锥ABCD的高，又BCBD，BC=BD=4，又AB=3，点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题12（12分）三角形ABC的三个顶点A（3，0），B（2，1），C（2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程考点：直线的一般式方程 专题：直线与圆分析：（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可；（2）先由中点坐标求出点D的坐标，再根据两点式公式写出直线方程即可解答：解：（1）BC边所在直线的方程为：即x+2y4=0（2）BC边上的中点D的坐标为（0，2）BC边上中线AD所在直线的方程为：即2x3y+6=0点评：此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题13（13分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段DD1的中点（1）求证：AC平面BDD1（2）求EA与平面BDD1所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）由正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，可证DD1AC，又ACBD，即可证明AC平面BDD1（2）设ACBD=O，连接EO，由AC平面DD1B，可得AEO为EA与平面BDD1所成角不妨设正方形的边长为2，AO=，AE=，即可由sinAEO=求值解答：本题满分为12分解：（1）证明：正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，DD1AC又在正方向ABCD中，ACBDAC平面BDD16分（2）设ACBD=O，连接EO，AC平面DD1B，AEO为EA与平面BDD1所成角不妨设正方形的边长为2，AO=，AE=，可得：sinAEO=12分点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于中档题14（13分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x12y+24=0（1）写出圆C的圆心坐标及半径；（2）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（3）过点P的圆C的弦的中点D的轨迹方程考点：圆的一般方程；轨迹方程 专题：综合题分析：（1）整理出圆C的标准方程，确定圆的圆心与半径；（2）分类讨论，利用直线被圆C截得的线段长为4，可得直线与圆心的距离为2，由此可得结论；（23）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），利用CDPD，可得方程解答：解：（1）整理圆的方程得（x+2）2+（y6）2=16，圆心（2，6），半径r=4；（3分）（2）由圆C：x2+y2+4x12y+24=0得圆心坐标为（2，6），半径为4又直线被圆C截得的线段长为4，直线与圆心的距离为2，当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线：y=kx+5，即kxy+5=0；直线与圆C的圆心相距为2，d=2，解得k=，此时直线的方程为3x4y+20=0；当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意故所求直线的方程为3x4y+20=0或x=0（8分）（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则CDPD，（x+2）x+（y6）（y5）=0化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x11y+30=0（14分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题四、选择题（每小题5分，共15分）15（5分）设直线l过点（2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A1BCD考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率 专题：计算题；压轴题分析：首先根据已知圆判断其圆心与半径，然后解构成的直角三角形，求出夹角，继而求出倾斜角，解出斜率即可解答：解：直线l过点（2，0），且与圆x2+y2=1相切由圆得：圆心为（0，0），半径为1构成的三角形的三边为：，解得直线与x轴夹角为30的角x的倾斜角为30或150k=故选C点评：本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，通过解直角三角形完成求直线l的斜率，属于基础题16（5分）已知0a1，则方程ax|logax|=0的实根个数为（）A1个B2个C3个D4个考点：根的存在性及根的个数判断；函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由ax|logax|=0得ax=|logax|，作出两个函数y=ax与y=|logax|的图象，利用数形结合即可得到结论解答：解：由ax|logax|=0得ax=|logax|，0a1，作出两个函数y=ax与y=|logax|的图象如图：由图象知，两个图象的交点个数为2个，即方程ax|logax|=0的实根个数为2个，故选：B点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数和方程之间的关系转化为两个函数交点问题是解决本题的关键17（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角ACDB的余弦值是（）ABCD考点：二面角的平面角及求法 专题：计算题；空间角分析：先作出二面角ACDB的平面角，再利用余弦定理求解即可解答：解：由已知可得ADDC又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BECD在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则BEF为二面角ACDB的平面角EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）cosBEF=故选C点评：本题考查二面角的平面角，考查余弦定理，正确作出二面角的平面角是关键五、填空题（每小题5分，共10分）18（5分）圆C：x2+y2=4关于直线x+2y5=0对称的圆的方程为（x2）2+（y4）2=4考点：圆的标准方程 专题：计算题；直线与圆分析：求出已知圆的圆心关于直线x+2y5=00对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果解答：解：圆C：x2+y2=4的圆心C（0，0），半径为2，设圆心C关于直线l：x+2y5=0对称的圆的圆心的坐标为（a，b），则，解得a=2，b=4，圆C：x2+y2=4关于直线x+2y5=0对称的圆的方程为（x2）2+（y4）2=4故答案为：（x2）2+（y4）2=4点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，注意垂直、平分的应用是解决对称问题的基本方法19（5分）一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后水面宽为2米考点：直线与圆相交的性质 专题：计算题；直线与圆分析：先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降1米后可设A的坐标为（x0，3）（x00）根据点在圆上，可求得x0的值，从而得到问题的结果解答：解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，2），设圆的半径为r，则C（0，r），即圆的方程为x2+（y+r）2=r2，将A的坐标代入圆的方程可得r=10，所以圆的方程是：x2+（y+10）2=100则当水面下降1米后可设A的坐标为（x0，3）（x00）代入圆的方程可得x0=，所以当水面下降1米后，水面宽为2米故答案为：2点评：本题考查了圆的方程的综合应用，以及点在圆上的条件的转化，圆的对称性的体现，是个基础题六、解答题20（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（）求圆的方程；（）设直线axy+5=0（a0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由考点：直线和圆的方程的应用；圆的标准方程 专题：综合题；直线与圆分析：（）设圆心为M（m，0）（mZ）由于圆与直线4x+3y29=0相切，且半径为5，所以 ，由此能求了圆的方程（）把直线axy+5=0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a1）x+1=0，由于直线axy+5=0交圆于A，B两点，故=4（5a1）24（a2+1）0，由此能求出实数a的取值范围（）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数使得过点P（2，4）的直线l垂直平分弦AB解答：（本小题满分14分）解：（）设圆心为M（m，0）（mZ）由于圆与直线4x+3y29=0相切，且半径为5，所以 ，即|4m29|=25因为m为整数，故m=1故所求圆的方程为（x1）2+y2=25 （4分）（）把直线axy+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a1）x+1=0，由于直线axy+5=0交圆于A，B两点，故=4（5a1）24（a2+1）0，即12a25a0，由于a0，解得a，所以实数a的取值范围是（）（）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+24a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+24a=0，解得由于，故存在实数使得过点P（2，4）的直线l垂直平分弦AB（14分）点评：本题考查圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数是否存在对数学思维要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化21（13分）已知函数f（x）=2|xm|和函数g（x）=x|xm|+2m8，其中m为参数，且满足m5（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；（2）若方程f（x）=2|m|在x，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）由二次函数性质可知函数g（x）的单调增区间为（，1），（2，+），单调减区间为（1，2）；（2）方程f（x）=2|m|可化为（xm）2=m2，解得x=0或x=2m，根据题意可得2m=0或2m2，从而可知实数m的取值范围；（3）由题意可知g（x）的值域应是f（x）的值域的子集分情况讨论f（x）和g（x）的值域，即可确定实数m的取值范围解答：解：（1）m=2时，函数g（x）的单调增区间为（，1），（2，+），单调减区间为（1，2）（2）由f（x）=2|m|在x上单调递增，f（x）f（m）=1g（x）在上单调递减，故f（x）f（4）=2m4，g（x）在上单调递减，综上，m的取值范围是点评：本题考查导数在函数单调性中的应用，方程根的存在定理，以及存在性问题的转化，属于难题