微积分定理

那么有什么好办法呢？那么有什么好办法呢？ 从前面的学习中可以发现，虽然从前面的学习中可以发现，虽然被积函数被积函数 非常简单，但直接用非常简单，但直接用定积分的定义计算定积分的定义计算 的值却比的值却比较麻烦较麻烦.而对于而对于 几乎不可能直接几乎不可能直接用定义计算用定义计算. 3f x =x130 x d x211d xx变速直线运动变速直线运动 如图，一个作变速直线运动的物如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的由导数的概念的可知，它在任意时刻可知，它在任意时刻t的速度的速度 .设这个物体在时间段设这个物体在时间段a,b内的位移为内的位移为s，你能分别用你能分别用y(t),v(t)表示表示s吗？吗？ v t = y tv t = y t 函数函数y=y(t)在在t=b处与处与t=a处的函处的函数值之差数值之差. s=y(b)-y(a)物体的位移物体的位移s 还可利用定积分，有还可利用定积分，有v(t)求位移，求位移，用分点用分点将区间将区间a,b等分成等分成n个小区间：个小区间：01i-1ia = t t t t = b 0112i-1in-1nt ,t , t ,t, t ,t , t,t,每个小区间的长度均为每个小区间的长度均为当当 很小时，在很小时，在 上，上，v(t)的变的变化很小，可以认为物体近似地以速化很小，可以认为物体近似地以速度作匀速运动，物体所作的位移度作匀速运动，物体所作的位移ii-1b-at=t -t =ntti i- -1 1i it t, ,t tiii-1i-1i-1sh = v tt = y ttb-a=y tn 从几何意义上看，设曲线从几何意义上看，设曲线y=y(t)上与上与 对应的点为对应的点为P，PD是是P点处点处的切线，由导数的几何意义知，切的切线，由导数的几何意义知，切线线PD的斜率等于的斜率等于 ，于是，于是i-1i-1t ti-1y tiii-1sh= tanDPCgt= y tt物体的总位移物体的总位移snnniii-1i=1i=1i=1ni-1i=1s =sh =v tt=y tt n越大，即越大，即 越小，区间越小，区间a,b划划分就越细，分就越细， 的近似程度的近似程度就越好就越好.ttn ni i- -1 1i i= =1 1s sy yt tt t和和 ni-1ni=1nni=1bbaab-as = limv tnb-a= limy tn=v t dt =y dt 由定积分的定义得：由定积分的定义得： 结合结合s=y(b)-y(a)得：得： babas =v t dt=y t dt= y b -y a 如果做变速直线运动的物体的运如果做变速直线运动的物体的运动规律是动规律是y=y(t),那么那么v(t)= 在区间在区间a,b上的定积分就是物体的位移上的定积分就是物体的位移y(b)-y(a). y t babas =v t dt=yt dt= y b - y a 如果如果f(x)是区间是区间a,b上的连续函数，上的连续函数，并且并且 ，那么，那么F = f(x)F = f(x) b ba af x dx = F b -F af x dx = F b -F a 这个结论叫做这个结论叫做微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theoren of calculus）,又叫做牛顿又叫做牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式(Newton-Leibniz Formula)微积分基本定理微积分基本定理 定积分的基本公式定积分的基本公式,又称牛顿又称牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式.常表示为常表示为 bbaaf(x)dx = F(x)= F b -F a .例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 2 21 11 1(1)dx(1)dxx x解解（）（）1 1(lnx) =(lnx) =x xlnlnbab bb ba aa a1 1公公式式1: dx =lnx|1: dx =lnx|x x3 31 1(2) 2xdx(2) 2xdx3221|3183 32 21 1(2) 2xdx = x(2) 2xdx = x2 21 1=lnx| =ln2-ln1=ln2=lnx| =ln2-ln1=ln22 21 11 1dxdxx x接下来让我们练一练吧接下来让我们练一练吧 练习：练习： 1 10 01 10 01 13 30 02 23 3-1-1(1) 1dx = _(1) 1dx = _(2) xdx = _(2) xdx = _(3) x dx = _(3) x dx = _(4)x dx = _(4)x dx = _nxn+1n+1b bb ba aa ax x公公式式2: dx =|2: dx =|n+1n+111/21/415/4例例 计算下列定积分计算下列定积分 原式原式33221111()dxdxdxdxxx333322221111=3x3x=3x3x解解:3 32 22 21 11 1(3x -)dx(3x -)dxx x211)xx 3232(x ) = 3x , (x ) = 3x , (3311176(31 )()313x3 333 331111= x |= x |( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a 练习：练习： _(1)xe1 12 20 02 22 21 12 22 2-1-12 21 1(1) (-3t +2)dt(1) (-3t +2)dt1 1(2) (x+) dx = _(2) (x+) dx = _x x(3) (3x +2x-1) dx = _(3) (3x +2x-1) dx = _(4)dx = _(4)dx = _23/619e2-e+1( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a例例 计算下列定积分计算下列定积分 20 0(2)cosxdx(2)cosxdx0 0(1)sinxdx(1)sinxdx解解（1）(s )sinco xx 00sin(s )|cos( cos0)1 12xdxco x 思考思考:( )a的几何意义是什么0 0sinxdx?sinxdx?22( )( )bc0 00 0sinxdx = _sinxdx = _sinxdx = _sinxdx = _01