高考数学解题方法探讨_数学破题36计

第1计 芝麻开门 点到成功计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 阿里巴巴用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了. 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示范例题 （2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出，其中 . 令，则 . 分析 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意. 解 将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有 对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案. 插语 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1. 第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项. 解 在三角形中先找到了数列首项，并将和数列 中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0. 因此得到 这就是本题第2空的答案. 点评 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案. 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是这个数的左上角的那个数. 用等式表示就是 链接 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下. 法1 由知，可用合项的办法，将的和式逐步合项. 法2 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而法3 （2）将代入条件式，并变形得取令得 ， 以上诸式两边分别相加，得 说明 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义. 对应训练1如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P7F|=_.2如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1A1PQC1的体积与多面体ABCPB1Q的体积比值为 . 参考解答1找“点”椭圆的另一个焦点F2. 连接P1F2 、P2F2 、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.2找“点”动点P、Q的极限点. 如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合.则多面体蜕变为四棱锥CAA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥CA1B1C1 .显然V棱柱.=于是奇兵天降答案为.点评 “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.第2计 西瓜开门 滚到成功计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：函数方程思想，数形结合思想，划分讨论思想，等价交换思想，特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.典例示范题1 （2006年赣卷第5题）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f ¢（x）³0，则必有A. f（0）f（2）< 2f（1） B. f（0）f（2）2 f（1）C. f（0）f（2） 2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）分析用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是：分类讨论思想.这点在已条件（x-1）f(x)0中暗示得极为显目.其一，对f(x)有大于、等于和小于0三种情况；其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.解一 （i）若f(x) 0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.（ii）若f(x)不恒为0时. 则f(x)0时有x1，f（x）在上为增函数；f(x)0时x 1. 即f（x）在上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.综合（i），（ii），本题的正确答案为C.插语 考场上多见的错误是选D. 忽略了f(x) 0的可能. 以为（x-1）f(x) 0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f(x) 0.再析 本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）.因此容易使人联想到数学：一般特殊思想.解二 （i）若f(x)=0，可设f（x）=.选项、符合条件.（ii）f(x)0. 可设f(x) =（x-1）2 又f(x)=2（x-1）.满足(x-1) f(x) =2 (x-1)20，而对 f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0选项C，D符合条件. 综合（i），（ii）答案为C.插语 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.再析 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f ¢（x）= 0找最值点x =0，由f ¢（x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.解三 （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (x) = 1符合条件. （右图水平直线）（ii）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1) f ¢（x）0若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f ¢（x）0.探索 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f ¢（x）0，并由此可以判定f (0)+ f (2) f (1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.变题 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f ¢（x）0从而有f (0)+ f (2) 2 f (1)的函数是A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) C. f（x）= (x-1) D. f（x）= (x-1)解析 对A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义； 对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是D. 对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f ¢（x）=(x-1) 使得 (x-1) f(x) =(x-1)(x-1) 0.说明 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f¢（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整数，且nm.点评 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.题2 已知实数x，y满足等式 ，试求分式的最值。分析 “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.解一 （函数方程思想运用）令 y = k (x-5) 与方程联立消y，得： 根据x的范围应用根的分布得不等式组：解得 即 即所求的最小值为，最大值为.插语 解出，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.解二 （数形结合思想运用）由得椭圆方程 ，0看成是过椭圆上的点（x，y），(5，0)的直线斜率（图右）.联立 得 令得，故 的最小值为，最大值为.插语 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.点评 “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.对应训练1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的 ( )2.函数y=1- (-1x<0)的反函数是 ( )A.y=-(0<x1) B.y= (0<x1)C. y=- (-1x<0) D. y= (-1x<0)3.设a,b,cR,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是 ( )A.b2ac B.b2>ac C.b2>ac且a>0 D.b2>ac且a<0参考答案1.【思考】 利用题设的隐含条件.由条件知x0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像，选项D中无x>0的图像，均应否定；当x=yR+时，lg无意义，否定A,选C【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当x0且y>x时，由lgy+lg=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.y=-x或y=2x(x0,y>0).2.【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.原函数定义域为-1x<0，其反函数值域为-1y<0，排除B、D.原函数中f(-1)=1,反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,选A3.解析一 分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假.取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.解析二 由选择支,联想到二次函数的判别式.令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0,故=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:4b<4a+c, 2b<-a-c, ×不等号的方向无法确定,思维受阻.用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.第3计 诸葛开门 扇到成功计名释义诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量.数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用.典例示范题1 已知f (x)= 试求 f (-5 )+ f (-4 )+ f (0 )+ f (6 )的值.分析若分别求f (x)在x= -5，-4，0，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x)+f (1-x)的结果.解析 因为 f (x)+ f (1-x) = = =所以 f (-5 )+ f (-4 )+ f (0 )+ f (6 ) =（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+（f (6 )+ f (-5 )）=f (1-x )+ f (x )×6 =点评 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法倒序相加法.对应训练1.已知sin2+sin2+sin2=1(、均为锐角)，那么coscoscos的最大值等于 .2.求已知离心率e=,过点(1,0)且与直线l:2x-y+3=0相切于点P(-),长轴平行于y轴的椭圆方程.3.若椭圆 (a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.参考答案1. 命sin2=sin2=sin2=,则cos2=cos2=cos2=.、为锐角时，cos=cos=cos=.coscoscos=.(注：根据解题常识，最大值应在cos=cos=cos时取得).2.解析 按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程.若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.已知e=,则a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e=的椭圆系为(x+，把点P(-看做当k0时的极限情形(点椭圆),则与直线l:2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:(x+又所求的椭圆过（1，0）点,代入求得=-.因此所求椭圆方程为x2+=1.点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.3.解析 若按常规,需分两种情况考虑:A,B两点都在椭圆外;A,B两点都在椭圆内.若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.设a的允许值的集合为全集I=a|aR,a>0,先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围.易得线段AB的方程为y=x+1,x1,3,由方程组,x1,3,a2的值在1,3内递增,且x=1和x=3时分别得a2=或a2=,故a2.a>0,a.故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为0<a<或a>.第4计 关羽开门 刀举成功计名释义关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀. 数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！典例示范例1 （2006年四川卷第19题）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（）求证：MN面ADD1A1；（）求二面角PAED的大小；（）求三棱锥PDEN的体积.分析 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.解 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里.易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MNBCC1B1MN面ADD1A1（证毕）.插语 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（）和（），都可转化到正方体里进行（从略）.【例2】 (04·重庆卷题21)设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.（）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；（）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.【分析】 （）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|=|AB|.(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2（3）证AOB=90°,即OAOB，等.显然，利用向量知识证=0,当为明智之举.【解答】 （）当ABx轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,|AB|=|y1-y2|=4p.显然，满足|OQ|=|AB|,此时Q、H重合,点Q在H上.如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tan(x-2p),x=,代入：y=tan·-2ptan.即tan·y2-2py-4p2tan=0.此方程有不同二实根y1y2,y1+y2=,y1y2=-4p2. =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.,故点O仍在以AB为直径的圆上.【分析】 ()为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当ABx轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.【解答】（）直线AB的倾角为,当=90°时，H的半径为2p,SH=4p2.当90°时，不妨设0,)，则综上，|AB|min=4p,当且仅当=90°时，（SH）min=4p2,相应的直线AB的方程为：x=2p.别解：由（1）知恒有AOB=90°.|2=| =2x1x2+2p(x1+x2)2x1x2+4p.y1y2=-4p2,x1x2=于是|216p2,| |min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，SH=4p2.【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.对应训练1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,nN+,且a1,a2,，an构成一个数列an,满足f(1)=n2.(1)求数列an的通项公式，并求之值.(2)证明0<f<1.2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿对角线BD将ABD向上折起，使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示).(1)求证:PDPC;(2)求二面角PDBC的大小.参考答案1.分析： (1)an的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).(2)可以预见:f展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这种数列的求和方法是“错项相减”.(3)f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.解答： (1)f(1)=a1+a2+an=n2,即Sn=n2,an=Sn-Sn-1=2n-1,=；(2)由(1)知an=2n-1.f=1× -:f = = =1-设g(x)=,g(x)=3-x+(x+1)·3-xln3· (-1)=.g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，g(n)max=g(1)=,又当n时,g(n)0,从而f.2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.(1)为证PDPC,须先证PD平面PBC,已有PDPB(翻折前为ADAB),还须PDBC.(2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO平面BCD于O,且OCD,只须作OMBD即可.解答: (1)由条件知PO平面BCD于O,且OCD,BCCD,BCPD(三垂线定理),但PDPB,PD面PBC,从而PDPC.(2)作OMBD于M，连接PM,则BDPM(三垂线定理),PMO是二面角PBDC的平面角,PB=6,PD=2,BD=4,PM=3,已证PDPC,PC=,PO=.sinPMO=,PMO=arcsin,即所求二面角PDBC的大小为arcsin.第5计 才子开门 风情万种计名释义所谓才子，就是才思繁捷的弟子. 数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画. 这里，人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后. 别人肩上的重负，移到他的掌上，都成了玩意儿.典例示范引例 试比较以下三数的大小：，解一 建构函数法设f (x) = f(x)=ln0 f (x)为减函数 >>旁白 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语. 评语 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.解二作差比较法-=<0-=>0旁白 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.评语解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.旁白 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.奇解 ×=<1 ×=>1 >>旁白 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.自评 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.旁白 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解正解 f (x) = f(x)=ln<0 (x3)>> >>旁白 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.评语 因为数3比e大，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.【例1】 已知向量a=(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=，则b= ( )A(，) B(,) C.() D（1，0）【特解】 由|b|=1，排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为B.【评说】 本解看似简单，但想时不易，要看出向量b与A()是平行向量，一般考生不能做到.【别解】 因为b是不平行于x轴的单位向量，可排除C、D两项. 又a·b=,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！【另解】 设b=(cos,sin),则a·b=(,1)·(cos,sin)= cos+sin= sin(60°+)=在区间（0，）上解得：=60°.故b=().【评说】 本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.【错解】 选A者,误在(a，选C者,误在|（）·a|=1.选D者，没有考虑到（1，0）与x轴平行.【评说】 本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.对应训练1.若奇函数f(x)在(0,+)上是增函数,又f(-3)=0,则x|x·f(x)<0等于 （ ）A.x|x>3或-3<x<0 B.x|0<x<3或x<-3C.x|x>3或x<-3 D.x|0<x<3或-3<x<02.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 .(用数字作答)参考答案1.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手，结合其草图即可写出所求答案.解析一 由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图（1）),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x·f(x)<0的解集为x|0<x<3或-3<x<0,选D. (1) (2)解析二 由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+)上为增函数,作出y=f(x)(x>0)的草图(如图（2）),x、f(x)均为R上的奇函数,x·f(x)为偶函数,不等式x·f(x)<0的解集关于原点对称,故先解借助图象得0<x<3,由对称性得x·f(x)<0的解集为x|0<x<3或-3<x<0,故选D.解析三 借助图（1）或图（2）,取特殊值x=2,知适合不等式x·f(x)<0,排除A、C;又奇·奇=偶,x·f(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除B,故选D.【点评】 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二.奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)·奇(偶)=偶.数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可.2.【分析】 排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并且C，D捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.【通解】 考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定：据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它的限制条件，使其与其他四人进行排列共有A种排法，在所有的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A种，故满足条件的排法种数共有=20.【正解】 5个元素设作A,B,（C,D）,x,y.将排列种数分两类:第一类,x,y相连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C=8种方法.第二类,x,y不连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C=12种方法.【评说】 先分类:“相连”与“不连”为完全划分；后分步：第1步组合，第2步排列，也是完全划分.【另解】 5个元素设作A，B，（C，D），x,y.五个时位设作a,b,(c,d),e,f.第1步考虑元素x到位，有5种可能；第2步考虑元素y到位，有4种可能；第3步，A，B，（C，D）按顺序到位，只1种可能.由乘法原理，方法总数为5×4=20种.【评说】 “另解”比“正解”简便，但思维要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3个位置上，A，B，（C，D）按序到位情况只1种.这点，一般学生不易想通.【别解】 设所求的排法总数为x种，在每1个排好的队列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，则有xP3=P5x=5×4=20.【评说】 别解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.第6计 勇士开门 手脚咚咚计名释义一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.”勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！”说完，勇士扑向大鼓，拳打脚踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！”考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯分是图，雅的，俗的，一并上阵.典例示范【例1】 已知x,y, aR，且,则cos (x+2y)的值为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【思考】 代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形似之处，能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢？解：由条件得：x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根.【插语】 这是勇士之举，采用手脚并用，谁会想到用方程根来解决它呢?设f (t)=t3+sint-2a. 当t时，均为增函数，而-2a为常数.上的单调增函数.f (x)= f (-2y)=0.只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 选B.【点评】 想到方程根使所给2个式子合二为一，是本题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个难点.【例2】 已知向量a= (cos,sin),向量b=(,-1) ， 则 |2a - b| 的最大值、最小值分别是( )A.4,0 B.4,2 C.16,0 D.4,0【解答】 如图，点A(cos,sin)在圆上运动时，延OA到C，使=2a, 求的最值，显然.当与反向时有最大值4,与同向时有最小值0. 选D.【点评】 本例选自04·湖南卷6（文），解题思想很简单，谁不知道“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”呢， 例2题解图为求极值，我们的勇士勇敢地到极地当BOC不复存在时，才有可能取得.【例3】 设f (x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f(x)g(x)+f (x)g(x)>0，且g(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( )A.(-3,0)(3,+) B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+) D.(-,-3)(0,3)【解答】 设F(x)= f (x)g(x), 当x<0时，F(x)= f(x)g(x)+f (x)g(x)>0.F(x)在R上为增函数.F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)·g (x).=-F(x).故F(x)为(-,0)(0,+)上的奇函数.F(x)在R上亦为增函数.已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.构造如图的F（x）的图象，可知 例3题解图F(x)<0的解集为x(-,-3)(0,3).【点评】 本例选自04·湖南卷12题,是小题中的压轴题，显然，不懂得导数基本知识对待本例是无能为力的，高中 代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形，使问题更有说服力.对应训练1.下列命题正确的是 ( )A.若an和bn的极限都不存在，则an+bn的极值一定不存在B.若an和bn的极限都存在，则an+bn的极限一定存在C.若an+bn的极限不存在，则an和bn的极限都一定不存在D.若an+bn的极限存在，则an和bn的极限要么都存在，要么都不存在2.过定点M (-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是 （ ）A.0<k< B.-<k<0 C.0<k< D.0<k<53.若(1-2x )9展开式的第3项为288，则的值是 ( )A.2 B.1 C. D.参考答案1.D (正反推证）若an+bn:1,1,1,1,的极限存在而推出an:0,1,0,1,0,1,bn:1,0,1,0,1,0,极限都不存在，但若an:1,1,1,1,bn:0,0,0,0,极限又都存在，故D正确，同理可排除A、B、C.2.A （数形并用）如图，以C (-2,0)为圆心，r=3为半径的C交x、y正半轴于A（1,0）,B (0,), 而M (-1, 0)在C内部，当N时，显然，kMN>kMA=0;kMN<kMB=.故知, k(0,), 选A. 第2题解图3.A T3=C(-2x)2=36 (2x)2=288， 2 2x=8， x=, =(0,1).数列是首项与公比均为的无穷递缩等比数列.原式=2. 选A.第7计 模特开门 见一知众计名释义一时装模特，在表演时，自己笑了，台下一片喝彩声. 她自感成功，下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的.模特表演是不能笑的. 试想，模特一笑，只能显示模特本人的特色，谁还去看她身上的服装呢？所以，模特一笑，特在模掉！数学的特殊性（特值）解题，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），这样，才能做到“一点动众”. 特值一旦确定，要研究的是特值的共性.选择题中的“特值否定”，填空题中的“特值肯定”，解答题中的“特值检验”，都是“一点动众”的例子.典例示范【例1】 如果0<a<1,那么下列不等式中正确的是 （ ）A.(1-a)>(1-a) B.log(1-a)(1+a)>0C.(1-a)3>(1+a)2 D.(1-a)1+a>1【思考】 本题关键点在a,我们一个特殊数值，作为本题的模特.令a=,各选项依次化为： （ ）A B. C D. 显然，有且仅有A是正确的，选A.【点评】 本题是一个选择题，因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众.你还需要讲“道理”吗？为减函数，log0,B不对；也是减函数，,D不对；直接计算，C也不对；只有A是对的.【例2】 已知定义在实数集R上的函数y=f (x)恒不为零，同时满足:f (x+y)=f (x)·f (y),且当x>0时，f (x)>1,那么当x<0时，一定有 （ ）Af (x)<-1 B.-1<f (x)<0 C.f (x)>1 D.0<f (x)<1【思考1】 本题是一个抽象函数,破题之处在于取特殊函数,一点动众.设f (x)=2x, 显然满足f (x+y)=f (x)·f (y) (即2x+y =2x·2y), 且满足x>0时，f (x)>1,根据指数函数的性质，当x<0时，0<2x<1.即0< f (x)<1. 选D.【点评】 题干中的函数抽象，先选定特殊的指数函数使之具体，而指数函数无穷无尽地多，索性再特殊到底，选定最简单且又符合题意的函数y=2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案.在考场上分分秒秒值千金，你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗？【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = f (0)2 ( f (x)0), 则f (0)=1, f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即, 当x<0时，-x>0.由条件：f (-x)>1, 故x<0时, 0< f (x)<1.【例3】 若A, B, C是ABC的三个内角，且A<B<C （C), 则下列结论中正确的是（ ）A.sinA<sinC B.cosA<cosC C.tanA<tanC D.cotA<cotC【思考】 本题的模特是取特殊角. 令A=30°, B= 45°,C=105°, 则cosC<0,tanC<0,cotC<0.B、C、D都不能成立.故选A.【点评】 此题用常法论证也不难，但是谁能断言：本解比之常法不具有更大的优越性呢？对应训练1.设f (x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5, 则f (x)的反函数的解析式是 （ ）A B. C D. 2.下列命题中，命题M是命题N的充要条件的一组是 （ ）A B.C. D.3.已知两函数y= f (x)与y=g(x)的图像如图（1）所示，则y= f (x)·g(x)的大致图像为（ ） 第3题图（1） 第3题图（2） 参考答案1.B 取特殊的对称点. f (0)=1, (0,1)在f (x)的图像上，（1，0）在f (x)的图像上，将（1，0）代入各选项，仅B适合， 选B.点评 题干和选项都那么复杂，解法却如此简明.你能发现（0，1）.就能找出（1，0），解题就需要这种悟性，说到底，还是能力.2.D 取特殊值. 令c=0, 否定A；B、C都不能倒推，条件不必要.3.B 取特殊的区间. 由图像知f (x)为偶函数（图（1）中图像关于y轴对称），g(x)为奇函数（图（2）中图像关于原点对称）. y= f (x)·g(x)为奇函数，其图像应关于原点对称，排除A、C，取x(-2,-1), 由图(1)知f (x)>0,由图（2）知g(x)<0,故当x(-2, -1)时，应有y= f (x)·g(x)<0. 选B.点评 无须弄清图（1）、图（2）到底表示什么函数，不必要也不可能仅凭已有的图像信息去“精确描绘”y=f (x)·g(x)的图像.只须鉴别四类图像哪一个符合题意，选定特殊区间（-2，-1）一次检验即解决问题.第8计 小姐开门 何等轻松计名释义有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗.后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推，请向后拉！”大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问：“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？”小姐答：“因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！”数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.典例示范【例1】 求证：抛物线没有渐近线.【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？【证明】 不妨设抛物线方程为y2=2px. 假定此抛物线有渐近线y=kx+b, x=, 代入直线方程，化简得：ky2-2py+2pb=0. 可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程有实根y0, 那么，y0,或, 方程化为：2pby2-2py+k=0. 方程应有唯一的零根, y=0代入得：k=0.于是抛物线的渐近线应为y=b. 这是不可能的，因为任意一条与x轴平行的直线y=b, 都和抛物线有唯一公共点(), 因而y=b不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.【例2】 设A、B、C是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：ABC不是正三角形.【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！【解答】 假定ABC为正三角形，且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均为整点，不妨设x2x1, kAB=, 直线AB的方程为：即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0. 点C (x3, y3)到AB的距离.但是|AB|=SABC = (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).即SABC为有理数.另一方面，SABC = |AB|0, SABC为无理数. 与矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.【例3】 设f (x)=x2+a1x+a2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于【分析】 三数中至少有一个不小于的情况有七种，而三数中“都小于”的情况只有一种，可见“正面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路.【解答】 假定同时有：| f (1)|<、| f (2)|<、| f (3)|<, 那么：+: -11<4a1+2a2<-9 ×2: -9<4a1+2a2<-7 与矛盾，从而结论成立.【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境；二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手.遇到以上这两种情况，考生即应懂得“迷途知返”，走“正难反收”的道路.一般地说，与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立.对应训练1.k为何值时，直线y-1=k (x-1)不能垂直平分抛物线y2=x的某弦.2.