综合法求二面角(解析)

精选优质文档-倾情为你奉上综合法求二面角方法：1在边长为1的菱形ABCD中，ABC60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD，则二面角BACD的余弦值为()A. B. C. D.2. 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60°，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA.(1)证明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且BCD60°知，BCD是等边三角形因为E是CD的中点，所以BECD. 又ABCD，所以BEAB.又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE.而PAABA，因此BE平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.(2)解由(1)知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中，tanPBA，则PBA60°.故二面角ABEP的大小是60°.3.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60°，BCA90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由(1)证明PA底面ABC，PABC.又BCA90°，ACBC.又ACPAA，BC平面PAC.(2)解DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90°.在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时AEP90°，故存在点E，使得二面角ADEP为直二面角4.如图所示，三棱锥PABC中，D是AC的中点，PAPBPC，AC2，AB，BC.(1)求证：PD平面ABC；(2)求二面角PABC的正切值(1)证明连接BD，D是AC的中点，PAPC，PDAC.AC2，AB，BC，AB2BC2AC2.ABC90°，即ABBC.BDACAD.PD2PA2AD23，PB，PD2BD2PB2.PDBD.ACBDD，PD平面ABC.(2)解取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点知DEBC，ABBC，ABDE.PD平面ABC，PDAB.又ABDE，DEPDD，AB平面PDE，PEAB.PED是二面角PABC的平面角在PED中，DEBC，PD，PDE90°，tanPED.二面角PABC的正切值为.5.如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面 ABCD，底面边长为a，E是PC的中点(1)求证：PA面BDE；(2)求证：平面PAC平面BDE；(3)若二面角EBDC为30°，求四棱锥PABCD的体积(1)证明连接OE，如图所示O、E分别为AC、PC的中点，OEPA.OE面BDE，PA面BDE，PA面BDE.(2)证明PO面ABCD，POBD.在正方形ABCD中，BDAC，又POACO，BD面PAC.又BD面BDE，面PAC面BDE.(3)解取OC中点F，连接EF.E为PC中点，EF为POC的中位线，EFPO.又PO面ABCD，EF面ABCD.OFBD，OEBD.EOF为二面角EBDC的平面角，EOF30°.在RtOEF中，OFOCACa，EFOF·tan 30°a，OP2EFa.VPABCD×a2×aa3.6.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD，CDBDD，所以DC1平面BCD.因为BC平面BCD，所以DC1BC. (2)解DC1BC，CC1BCBC平面ACC1A1BCAC，取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O，C1H，A1C1B1C1C1OA1B1，面A1B1C1面A1BDC1O面A1BD，又DB面A1DB，C1OBD，又OHBD，BD面C1OH，C1H面C1OH，BDC1H，得点H与点D重合，且C1DO是二面角A1BDC的平面角，设ACa，则C1Oa，C1Da2C1OC1DO30°，故二面角A1BDC1的大小为30°.7.（2010江西理数）如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。（1） 求点A到平面MBC的距离；（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面平面,则MO平面，所以MOAB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MOAB，MO/面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得：。（2）CE是平面与平面的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BFEC于F，连AF，则AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为BCE=120°，所以BCF=60°. ，所以，所求二面角的正弦值是.8.（广东10）18.（本小题满分14分）如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点平面AEC外一点F满足，FE=a （1）证明：EBFD；（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值 （2）设平面与平面RQD的交线为.由BQ=FE,FR=FB知, .而平面，平面，而平面平面= ，.由（1）知，平面，平面，而平面， 平面，是平面与平面所成二面角的平面角在中，故平面与平面所成二面角的正弦值是9.（11新课标）18. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，=，=,底面.()证明：;（）若=，求二面角的余弦值. 【命题意图】本题考查了线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法,是容易题目.【解析】() =,=,由余弦定理得=,=, ,又面， ， 面， （）如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴正半轴建立空间直角坐标系，则（1,0，0），（0，0），（0,0,1），=（1，0），=（0，1），=（1,0，0）.设平面的法向量为=（，），则,即，取=1，则=，=，=(,1, ),设平面的法向量为=(,),则，即，取=1，则=0，=，=(0,1,)，=，故二面角的余弦值为.注意：本题可以把二面角转化为两个二面角的和即二面角与直二面角的和，而二面角用综合法易求。专心-专注-专业