第20讲曲线轨迹的探求

数学高考综合能力题选讲20曲线轨迹的探求100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件， 求出表示平面曲线的方程； 二是通过方程，研究平面曲线的性质.从这个角度来说，轨迹问题成为解析几何高考命题的重点和 热点也就不足为奇了.探求动点的轨迹，主要有以下方法：(1 )定义法：若能结合题目条件分析出轨迹是什么曲线，则可利用曲线的定义得到结论.(2)直接法：直接建立动点所满足的关系式，然后通过化简方程得出结论.(3)间接法：又分为相关点法、参数法、交轨法等.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程.范例选讲例1 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为丄5，且双2曲线上动点P到点A (2, 0)的最近距离为1.(I)证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在 y轴上；(U)求此双曲线的方程；(rn)设此双曲线的左右焦点分别是 F1,F2, Q是双曲线右支上的动点，过F1作F1QF2的平分线的垂线，求垂足 M的轨迹.讲解：(I)可考虑反证法.证明:设双曲线的实半轴长为a ,虚半轴长为b，半焦距为c，则由- 丄5，a 22 2得T- 5，所以，1.a 4a 2假设存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线,则其渐近线方程为y 2x .在此条件之下，一方面，我们当然可以设双曲线方程为：y2 4x2 m m 0，然后把|PA用m表示，利用|PA的最小值为1,推出矛盾而另一方面，是否有 更简捷的办法呢？由于在前面的解答过程中已经求出了双曲线的渐近线，不妨作大胆的猜想：“点A到渐近线的距离大于1”.1 )所经过验证，猜想正确.（事实上，点A（2,0）到渐近线的距离为d 以双曲线上动点到点A的距离都超过1 所以，不存在满足条件且焦点在y轴上 的双曲线.2 2（U）解：由（I）可设双曲线的方程为：二爲1 b 04b b则这个双曲线上任一点P x,y到点A 2,0的距离为:PA x 2 2 y2.；：x2 4x 4 ： b2x 5: b2 x (, 2b2 b,),若2b -,则当x 8时，|PA有最小值，由PAmin J- b21，解得555b21 （舍去）；5若2b 8，则当x5值，由 PAmin 2b31b -或（舍去）；2 2双曲线的方程为：2b时，PA有最小21，解得（E）解:设点M的坐标为（x，y）， 延长QF2与RM交于点T,连接OM . QM 平分 FQF2，且 QM 丄 RM， QFj |QT，RM| |MT|又点Q是双曲线右支上的动点， qfJ |qf2| |qt| |qf2| 2aF2T2a,|0M a ,即点M在以0为圆心，a为半径的圆上.当点Q沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM趋近于双曲线的渐近线，点 M的轨迹是圆弧 CBD,除去点 C,点 D.方程为：65 x 35点评：挖掘图形的几何性质，运用定义求轨迹是求动点轨迹的常用方法.例2如图，过点A( 1, 0),斜率为k的直线I与抛物线C: y2=4x交于P,Q两点(I)若曲线C的焦点F与P, Q, R三点按如图顺序构成平行四边形 PFQR,求点R的轨迹方程;(II)设P, Q两点只在第一象限运动，(0,8)点与线段PQ中点的连线交x轴于 点N,当点N在A点右侧时，求k的取值范围.讲解:要求点R的轨迹方程，注意到点R的运动是由直线I的运动所引起的，因此可 以探求点R的横、纵坐标与直线l的斜率k的关 系.然而，点R与直线l并无直接联系与l有直接联系的是点P、Q,通过平行 四边形将P、Q、R这三点联系起来就成为解题的关键.由已知l: y k(x 1)，代入抛物线C:y2=4x的方程，消x得:k 2y y k 0 4直线l交抛物线C于两点P、Qk401 k20解得1k 0 或 0 k 1设P(,y1),Q(x2,y2), R(x, y), M是PQ的中点，则由韦达定理可知:yMXM将其代入直线I的方程，得yM四边形PFQR是平行四边形,RF中点也是PQ中点M 。2XMXF2yM 4k又 t k ( 1,0)(0,1)XM(1，)-(II)因为P、Q在第一象限，所以，y20且+y 0 , k 0 结合(I)得,k (0,1)点(0, 8)与PQ中点所在直线方程为y22k 8kk2 X 8令y=0,得N点横坐标为：xN4k28k 4k2点R的轨迹方程为y24(x 3),x 1.因为N在点A右侧，令xN11 .解之得0或-k 8.4综合，得k的取值范围是4 k 1,点评:选择合适的桥梁，促成已知和未知之间的转化是解决问题的关键. 本题 中的中点M就起到这样的作用.实际上，转移点法中的“转移 "参数法中的“参 数"都表达了同样的意思.咼考真题1.( 1995年全国高考题)已知椭圆24161 .是I上一点，射线0P交椭圆于点R,又点Q在0P上且满足|0Q I ?0P I = I 0R| 2当点P在直线I上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲 线。2. ( 1999年全国高考题)如图，给出定点Aa,0 a 0和直线I : x 1.B是直线I上的动点，BOA的角平分线交AB于点C 求点C的 轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的 关系.3. (2001年上海春季高考)已知椭圆C的方2程为X2七1，点P(a,b)的坐标满足b2a2 1 .过点P的直线I与椭圆交于A、2两点，点Q为线段AB的中点，求：(1) 点Q的轨迹方程；(2) 点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.答案与提示：1x 1 2y 1 21x, y0,0;55232.1 a x222ax 1 a y 00 x a ;3. (1)点Q的轨迹方程为