角的平分线性质的正确应用

角的平分线性质的正确应用 角的平分线的性质是解决与角平分线有关问题的重要依据,利用角平分线的性质解决的问题主要有两类.一、 “角平分线上的点到角两边的距离相等”的应用例1 如图，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD，CEAB于E，CFAD于F.求证:CBA+ADC=180°.分析:要证明ADC+CBA=180°，因为ADC+FDC=180°，所以只要证明FDC=CBA即可.为此可证明CFDCEB.因为AC是BAD的平分线,根据角平分线的性质可知CF=CB，再根据已知条件CD=CB，可根据“HL”证明CFDCEB. 证明: 因为AC平分BAD,CEAB，CFAD，垂足分别是E，F.所以CE=CF（角平分线上点到角的两边的距离相等）在RtCBE和RtCDF中,因为CE=CF,CB=CD,所以RtCBERtCDF,所以CBA=FDC,因为FDC+ADC=180°,所以CBA+ADC=180°. 小结:涉及到角平分线有关的问题,要想到角平分线性质的应用,应用注意步骤的完整性.不要漏点关键的步骤:如CEAB，CFAD，垂足分别是E，F不能漏掉.例2 如图,在ABC,C=90°,AD是ABC的角平分线,DEAB.垂足为E.DE=EB.求证:AC+CD=AB.分析:要证明AC+CD=AB,观察图形可知AE+BE=AB,而DE=BD,根据角平分线的性质可证明CD=ED,根据ACDAED可证明AC=AE.这样AB就等于AC+CD了.证明:因为AD是CAB的平分线,DCAC,DEAB,所以DE=CD(角平分线上点到这个角的两边的距离相等)因为AD=AD,所以RtACDRtAED(HL).所以AC=AE,因为CD=DE=BE,所以AB=AE+BE=AC+CD.小结:本题主要通过利用角平分线的性质以及直角三角形全等的有关知识进行证明的.解决问题时应灵活应用角平分线的性质.二、“到角的两边的距离相等的点在角平分线上”的应用 例3 如图，ABC外角MAC与NCA的平分线相交于点P，PDBM于D，PFBN于F.求证：BP为ABC的平分线.分析：要证明BP为ABC的平分线，根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上，只要证明点P在ABC的平分线上即可.为此需要过P点作PEAC，根据角平分线的性质证明PD=PE，PF=PE，然后由PD=PF得出点P在ABC的平分线上.证明：如图，过P作PEAC于E.因为PA平分MAC，PDBM于D，PEAC于E.所以PD=PE（角平分线上点到这个角的两边的距离相等），同理可得PE=PF，所以PD=PF. 又因为PDBM于D，PFBC于F， 所以点P在ABC的平分线上.( 到角的两边的距离相等的点在角平分线上)即BP为ABC的平分线. 小结:本题角平分线性质和判定的综合应用,应注意辅助线的添加的方法.