中考数学真题分类汇编第二期专题26图形的相似与位似试题含解析.doc

图形的相似与位似一.选择题1. （xx湖北随州3分）如图，平行于BC的直线DE把ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A1BC1D【分析】由DEBC可得出ADEABC，利用相似三角形的性质结合SADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=ABAD即可求出的值，此题得解【解答】解：DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC，（）2=SADE=S四边形BCED，=，=1故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键2.（xx江苏宿迁3分）如图，菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，BAD60,则OCE的面积是（ ）A. B. 2 C. D. 4【答案】A【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，ACBD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得ABD是等边三角形；在RtAOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得SACD=ODAC=4，根据中位线定理得OEAD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出OCE的面积.【详解】菱形ABCD的周长为16，菱形ABCD的边长为4，BAD60，ABD是等边三角形，又O是菱形对角线AC.BD的交点，ACBD，在RtAOD中，AO=，AC=2AO=4，SACD=ODAC= 24=4，又O、E分别是中点，OEAD，COECAD，SCOE=SCAD=4=，故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.3.（xx江苏无锡3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tanAFE的值（）A等于B等于C等于D随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EFAD，由该平行线的性质推知AEHACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答【解答】解：EFAD，AFE=FAG，AEHACD，=设EH=3x，AH=4x，HG=GF=3x，tanAFE=tanFAG=故选：A【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求AFE的正切值转化为求FAG的正切值来解答的5.xx内蒙古包头市3分）如图，在四边形ABCD中，BD平分ABC，BAD=BDC=90，E为BC的中点，AE与BD相交于点F若BC=4，CBD=30，则DF的长为（）ABCD【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：BDE=ABD，进而判断出DEAB，再求出AB=3，即可得出结论【解答】解：如图，在RtBDC中，BC=4，DBC=30，BD=2，连接DE，BDC=90，点D是BC中点，DE=BE=CEBC=2，DCB=30，BDE=DBC=30，BD平分ABC，ABD=DBC，ABD=BDE，DEAB，DEFBAF，在RtABD中，ABD=30，BD=2，AB=3，DF=BD=2=，故选：D【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE是解本题的关键6. （xx达州3分）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）ABCD1【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GHBC，推出BGHBAC，可得=（）2=（）2=，=，由此即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是平行四边形AD=BC，DC=AB，AC=CA，ADCCBA，SADC=SABC，AE=CF=AC，AGCD，CHAD，AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，AG：AB=CH：BC=1：3，GHBC，BGHBAC，=（）2=（）2=，=，=，故选：C【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题7. （xx乌鲁木齐4分）如图，在ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则BEF与DCB的面积比为（）ABCD【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，ABCD，根据相似三角形的判定得出BEFDCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，AB=DC=2BE，ABCD，BEFDCF，=，DF=2BF，=（）2=，=，SBEF=SDCF，SDCB=SDCF，=，故选：D【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键8. （xx杭州3分）如图，在ABC中，点D在AB边上，DEBC，与边AC交于点E，连结BE，记ADE，BCE的面积分别为S1 ， S2 ， （ ）A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 【答案】D 【考点】三角形的面积，平行线分线段成比例 【解析】【解答】解:如图，过点D作DFAC于点F，过点B作BMAC于点MDFBM，设DF=h1 ， BM=h2 DEBC 若 设 =k0.5（0k0.5）AE=ACk，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2kS1= AEh1= ACkh1 ， S2= CEh2= AC（1-k）h23S1= k2ACh2 ， 2S2=（1-K）ACh20k0.5 k2（1-K）3S12S2故答案为：D【分析】过点D作DFAC于点F，过点B作BMAC于点M，可得出DFBM，设DF=h1 ， BM=h2 ， 再根据DEBC，可证得 ，若 ，设 =k0.5（0k0.5），再分别求出3S1和2S2 ， 根据k的取值范围，即可得出答案。9（xx临安3分.）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD【分析】根据正方形的性质求出ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可【解答】解：由正方形的性质可知，ACB=18045=135，A.C.D图形中的钝角都不等于135，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，=，图B中的三角形（阴影部分）与ABC相似，故选：B【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键10（xx临安3分.）如图，在ABC中，DEBC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）ABCD【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可【解答】解：DEBC，ADEABC，=故选：A【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错11. （xx广西玉林3分）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A ： B2：3C4：9D8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可【解答】解：两三角形的相似比是2：3，其面积之比是4：9，故选：C12. （xx黑龙江哈尔滨3分）如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GEBD，且交AB于点E，GFAC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A=B=C=D=【分析】由GEBD.GFAC可得出AEGABD.DFGDCA，根据相似三角形的性质即可找出=，此题得解【解答】解：GEBD，GFAC，AEGABD，DFGDCA，=，=，=故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出=是解题的关键13.（xx广东3分）在ABC中，点D.E分别为边AB.AC的中点，则ADE与ABC的面积之比为（）ABCD【分析】由点D.E分别为边AB.AC的中点，可得出DE为ABC的中位线，进而可得出DEBC及ADEABC，再利用相似三角形的性质即可求出ADE与ABC的面积之比【解答】解：点D.E分别为边AB.AC的中点，DE为ABC的中位线，DEBC，ADEABC，=（）2=故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DEBC是解题的关键14.（xx广西贵港3分）如图，在ABC中，EFBC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则SABC=（）A16B18C20D24【分析】由EFBC，可证明AEFABC，利用相似三角形的性质即可求出则SABC的值【解答】解：EFBC，AEFABC，AB=3AE，AE：AB=1：3，SAEF：SABC=1：9，设SAEF=x，S四边形BCFE=16，=，解得：x=2，SABC=18，故选：B【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目15.（xx贵州铜仁4分）已知ABCDEF，相似比为2，且ABC的面积为16，则DEF的面积为（）A32B8C4D16【分析】由ABCDEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得ABC与DEF的面积比为4，又由ABC的面积为16，即可求得DEF的面积【解答】解：ABCDEF，相似比为2，ABC与DEF的面积比为4，ABC的面积为16，DEF的面积为：16=4故选：C16(xx湖南省邵阳市)（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作ABx轴于点B将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到COD，则CD的长度是（）A2B1C4D2【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点C的坐标，即可得出答案【解答】解：点A（2，4），过点A作ABx轴于点B将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到COD，C（1，2），则CD的长度是：2故选：A【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键17. （xx达州3分）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）ABCD1【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GHBC，推出BGHBAC，可得=（）2=（）2=，=，由此即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是平行四边形AD=BC，DC=AB，AC=CA，ADCCBA，SADC=SABC，AE=CF=AC，AGCD，CHAD，AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，AG：AB=CH：BC=1：3，GHBC，BGHBAC，=（）2=（）2=，=，=，故选：C【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题18. （xx乌鲁木齐4分）如图，在ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则BEF与DCB的面积比为（）ABCD【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，ABCD，根据相似三角形的判定得出BEFDCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，AB=DC=2BE，ABCD，BEFDCF，=，DF=2BF，=（）2=，=，SBEF=SDCF，SDCB=SDCF，=，故选：D【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键二.填空题1.（xx内蒙古包头市3分）如图，在ABCD中，AC是一条对角线，EFBC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF若SAEF=1，则SADF的值为【分析】由3AE=2EB可设AE=2A.BE=3a，根据EFBC得=（）2=，结合SAEF=1知SADC=SABC=，再由=知=，继而根据SADF=SADC可得答案【解答】解：3AE=2EB，可设AE=2A.BE=3a，EFBC，AEFABC，=（）2=（）2=，SAEF=1，SABC=，四边形ABCD是平行四边形，SADC=SABC=，EFBC，=，=，SADF=SADC=，故答案为：【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质2. （xx上海4分）如图，已知正方形DEFG的顶点D.E在ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB.AC上如果BC=4，ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 【分析】作AHBC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3x，再证明AGFABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可【解答】解：作AHBC于H，交GF于M，如图，ABC的面积是6，BCAH=6，AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3x，GFBC，AGFABC，=，即=，解得x=，即正方形DEFG的边长为故答案为【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长也考查了正方形的性质3. （xx资阳3分）已知：如图，ABC的面积为12，点D.E分别是边AB.AC的中点，则四边形BCED的面积为 【分析】设四边形BCED的面积为x，则SADE=12x，由题意知DEBC且DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于x的方程，解之可得【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则SADE=12x，点D.E分别是边AB.AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，且DE=BC，ADEABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质4. （xx嘉兴4分.）如图.直线.直线交于点;直线交于点，已知,_. 【答案】2【解析】【分析】根据，可以知道， 即可求得.【解答】, 根据，故答案为：2.【点评】考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键.5. 如图，点，均在坐标轴上，且，若点，的坐标分别为，则点的坐标为_【答案】【解析】分析：根据相似三角形的性质求出P3D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案详解：点P1，P2的坐标分别为（0，-1），（-2，0），OP1=1，OP2=2，RtP1OP2RtP2OP3，即，解得，OP3=4，RtP2OP3RtP3OP4，即，解得，OP4=8，则点P4的坐标为（8，0），故答案为：（8，0）点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键6. （xx贵州安顺4分）正方形、按如图所示的方式放置.点、和点、分别在直线和轴上，则点的坐标是_（为正整数）【答案】【解析】分析：由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），B1（1，1），B2（3，2），Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为（2n-1），然后就可以求出Bn的坐标为A（n+1）的横坐标，An的纵坐标详解：由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），B1（1，1），B2（3，2），Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为2n-1，Bn的坐标为A（n+1）的横坐标，An的纵坐标=（2n-1，2n-1）故答案为：（2n-1，2n-1）点睛：本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论7.（xx贵州黔西南州3分）如图，已知在ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且BAC=45，BD=6，CD=4，则ABC的面积为60【分析】首先证明AEFBEC，推出AF=BC=10，设DF=x由ADCBDF，推出=，构建方程求出x即可解决问题；【解答】解：ADBC，BEAC，AEF=BEC=BDF=90，BAC=45，AE=EB，EAF+C=90，CBE+C=90，EAF=CBE，AEFBEC，AF=BC=10，设DF=xADCBDF，=，=，整理得x2+10x24=0，解得x=2或12（舍弃），AD=AF+DF=12，SABC=BCAD=1012=60故答案为60【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型8.（xx贵州贵阳4分）如图，在 DABC 中， BC = 6 ， BC 边上的高为 4，在 DABC 的内部作一个矩形EFGH ，使 EF 在 BC 边上，另外两个顶点分别在 AB.AC 边上，则对角线 EG 长12 13的最小值为 .13【解】作 AM BC 于点 M ，交 DG 于点 N ，设 DE = x ，由题意知： AM = 4，BC = 6如图：四边形 DEFG 是矩形 DG EF DADG DABC AN = DG 即AMBC4 - x = DG DG = 12 - 3x462EG =DE 2 + DG 2 =x 2 + (12 - 3x )2 =在 RtDEDG 中13 ( x - 24 )2 + 144291313当 x =24时， EGmin =13 ( 24 -24 )2+ 144 =144= 12 13139 13131313139（xx年湖南省娄底市）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD.AB.BC都相切，切点分别为D.E.C，半径OC=1，则AEBE=1【分析】想办法证明AEOOEB，可得=，推出AEBE=OE2=1【解答】解：如图连接OE半圆O与四边形ABCD的边AD.AB.BC都相切，切点分别为D.E.C，OEAB，ADCD，BCCD，OAD=OAE，OBC=OBE，ADBC，DAB+ABC=180，OAB+OBA=90，AOB=90，OAE+AOE=90，AOE+BOE=90，EAO=EOB，AEO=OEB=90，AEOOEB，=，AEBE=OE2=1，故答案为1【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题10(xx湖南省邵阳市)（3分）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF写出图中任意一对相似三角形：ADFECF【分析】利用平行四边形的性质得到ADCE，则根据相似三角形的判定方法可判断ADFECF【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ADCE，ADFECF故答案为ADFECF【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了平行四边形的性质11. （xx上海4分）如图，已知正方形DEFG的顶点D.E在ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB.AC上如果BC=4，ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 【分析】作AHBC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3x，再证明AGFABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可【解答】解：作AHBC于H，交GF于M，如图，ABC的面积是6，BCAH=6，AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3x，GFBC，AGFABC，=，即=，解得x=，即正方形DEFG的边长为故答案为【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长也考查了正方形的性质12. （xx资阳3分）已知：如图，ABC的面积为12，点D.E分别是边AB.AC的中点，则四边形BCED的面积为 【分析】设四边形BCED的面积为x，则SADE=12x，由题意知DEBC且DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于x的方程，解之可得【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则SADE=12x，点D.E分别是边AB.AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，且DE=BC，ADEABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质三.解答题1.（xx江苏无锡10分）已知：如图，一次函数y=kx1的图象经过点A（3，m）（m0），与y轴交于点B点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D若AC=CD（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（，0），求这条抛物线的函数表达式【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求AC和m（2）由APQ=90，构造PQDAPE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式【解答】解：（1）过点A作AFx轴，过点B作BFCD于H，交AF于点F，过点C作CEAF于点E设AC=n，则CD=n点B坐标为（0，1），CD=n+1，AF=m+1CHAF，BC=2AC，即：整理得：n=RtAEC中，CE2+AE2=AC2，5+（mn）2=n2把n=代入5+（m）2=（）2解得m1=2，m2=3（舍去），n=1把A（3，2）代入y=kx1得k=y=x1（2）如图，过点A作AECD于点E设点P坐标为（2，n），由已知n0由已知，PDx轴PQDAPE，解得n1=5，n2=3（舍去）设抛物线解析式为y=a（xh）2+k，y=a（x2）2+5把A（3，2）代入y=a（x2）2+5，解得a=抛物线解析式为：y=【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质在解答过程中，应注意利用三角形相似和勾股定理构造方程，求出未知量2.（xx江苏淮安12分）如果三角形的两个内角与满足2+=90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”（1）若ABC是“准互余三角形”，C90，A=60，则B=15；（2）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=5若AD是BAC的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由（3）如图，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BDCD，ABD=2BCD，且ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明CAECBA，可得CA2=CECB，由此即可解决问题；（3）如图中，将BCD沿BC翻折得到BCF只要证明FCBFAC，可得CF2=FBFA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；【解答】解：（1）ABC是“准互余三角形”，C90，A=60，2B+A=60，解得，B=15，故答案为：15；（2）如图中，在RtABC中，B+BAC=90，BAC=2BAD，B+2BAD=90，ABD是“准互余三角形”，ABE也是“准互余三角形”，只有2A+BAE=90，A+BAE+EAC=90，CAE=B，C=C=90，CAECBA，可得CA2=CECB，CE=，BE=5=（3）如图中，将BCD沿BC翻折得到BCFCF=CD=12，BCF=BCD，CBF=CBD，ABD=2BCD，BCD+CBD=90，ABD+DBC+CBF=180，A.B.F共线，A+ACF=902ACB+CAB90，只有2BAC+ACB=90，FCB=FAC，F=F，FCBFAC，CF2=FBFA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，x=9或16（舍弃），AF=7+9=16，在RtACF中，AC=20【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题3.（xx江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A.B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CPx轴，垂足为点P，连接AD.BC.（1）求点A.B.D的坐标；（2）若AOD与BPC相似，求a的值；（3）点D.O、C.B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.【答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值为.（3）当a=时，D.O、C.B四点共圆. 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴相交，则y=0，得出A（a，0），B（3，0），与y轴相交，则x=0，得出D（0，3a）.（2）根据（1）中A.B.D的坐标，得出抛物线对称轴x=，AO=a，OD=3a，代入求得顶点C（，-），从而得PB=3- =，PC=；再分情况讨论：当AODBPC时，根据相似三角形性质得，解得：a= 3（舍去）；AODCPB，根据相似三角形性质得 ，解得：a1=3（舍），a2=；（3）能；连接BD，取BD中点M，根据已知得D.B.O在以BD为直径，M（，a）为圆心的圆上，若点C也在此圆上，则MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.【详解】（1）y=（x-a）（x-3）（0<a<3）与x轴交于点A.B（点A在点B的左侧），A（a，0），B（3，0），当x=0时，y=3a，D（0，3a）；（2）A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.对称轴x=，AO=a，OD=3a，当x= 时，y=- ，C（，-），PB=3-=，PC=，当AODBPC时，即 ，解得：a= 3（舍去）；AODCPB，即 ，解得：a1=3（舍），a2= .综上所述：a的值为；（3）能；连接BD，取BD中点M，D.B.O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（，a），若点C也在此圆上，MC=MB， ，化简得：a4-14a2+45=0，（a2-5）（a2-9）=0，a2=5或a2=9，a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍），0<a<3，a=，当a=时，D.O、C.B四点共圆.【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.4.（xx江苏徐州10分）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90，EDF=30操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，其中m的取值范围是0m2+（直接写出结论，不必证明）探究二：若且AC=30cm，连接PQ，设EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由（2）随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围【分析】探究一：（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE，PBE=C根据等角的余角相等可以证明BEP=CEQ即可得到全等三角形，从而证明结论；（2）作EMAB，ENBC于M、N，根据两个角对应相等证明MEPNWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析探究二：（1）设EQ=x，结合上述结论，用x表示出三角形的面积，根据x的最值求得面积的最值；（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论【解答】解：探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得BE=CE，PBE=C，又BEP=CEQ，则BEPCEQ，得EP=EQ；（2）作EMAB，ENBC于M，N，EMP=ENC，MEP+PEN=PEN+NEF=90，MEP=NEF，MEPNEQ，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过E点作EMAB于点M，作ENBC于点N，在四边形PEQB中，B=PEQ=90，EPB+EQB=180（四边形的内角和是360），又EPB+MPE=180（平角是180），MPE=EQN（等量代换），RtMEPRtNEQ（AA），（两个相似三角形的对应边成比例）；在RtAMERtENC=m=，=1：m=，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，0m2+；（当m2+时，EF与BC不会相交）探究二：若AC=30cm，（1）设EQ=x，则S=x2，所以当x=10时，面积最小，是50cm2；当x=10时，面积最大，是75cm2（2）当x=EB=5时，S=62.5cm2，故当50S62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5S75时，这样的三角形有一个【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解5.（xx江苏无锡10分）如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转（090）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若=1，求的值【分析】（1）作A1HAB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形解直角三角形，求出ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由BCEBA2D2，推出=，可得CE=由=1推出=，推出AC=，推出BH=AC=，可得m2n2=6，可得1=6，由此解方程即可解决问题；【解答】解：（1）作A1HAB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形AD=HA1=n=1，在RtA1HB中，BA1=BA=m=2，BA1=2HA1，ABA1=30，旋转角为30，BD=，D到点D1所经过路径的长度=（2）BCEBA2D2，=，CE=1，=，AC=，BH=AC=，m2n2=6，m4m2n2=6n4，1=6，=（负根已经舍弃）【点评】本题考查轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型6.（xx江苏苏州10分）问题1：如图，在ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DEBC，交AC于点E，连接CD设ABC的面积为S，DEC的面积为S（1）当AD=3时，=；（2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示问题2：如图，在四边形ABCD中，AB=4，ADBC，AD=BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EFBC，交CD于点F，连接CE设AE=n，四边形ABCD的面积为S，EFC的面积为S请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示【分析】问题1：（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，则=，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：=，可得结论；（2）解法一：同理根据（1）可得结论；解法二：作高线DF、BH，根据三角形面积公式可得：=，分别表示和的值，代入可得结论；问题2：解法一：如图2，作辅助线，构建OBC，证明OADOBC，得OB=8，由问题1的解法可知：=，根据相似三角形的性质得：=，可得结论；解法二：如图3，连接AC交EF于M，根据AD=BC，可得=，得：SADC=S，SABC=，由问题1的结论可知：=，证明CFMCDA，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论【解答】解：问题1：（1）AB=4，AD=3，BD=43=1，DEBC，=，DEBC，ADEABC，=，=，即，故答案为：；（2）解法一：AB=4，AD=m，BD=4m，DEBC，=，=，DEBC，ADEABC，=，=，即=；解法二：如图1，过点B作BHAC于H，过D作DFAC于F，则DFBH，ADFABH，=，=，即=；问题2：如图，解法一：如图2，分别延长BD.CE交于点O，ADBC，OADOBC，OA=AB=4，OB=8，AE=n，OE=4+n，EFBC，由问题1的解法可知：=，=，=，=，即=；解法二：如图3，连接AC交EF于M，ADBC，且AD=BC，=，SADC=，SADC=S，SABC=，由问题1的结论可知：=，MFAD，CFMCDA，=，SCFM=S，SEFC=SEMC+SCFM=+S=，= 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度7.（xx江苏苏州10分）如图，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上，小明从点A出发，沿公路l向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处设AE=x米（其中x0），GA=y米，已知y与x之间的函数关系如图所示，（1）求图中线段MN所在直线的函数表达式；（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由【分析】（1）根据点M、N的坐标，利用待定系数法即可求出图中线段MN所在直线的函数表达式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况考虑：考虑FE=FG是否成立，连接EC，通过计算可得出ED=GD，结合CDEG，可得出CE=CG，根据等腰三角形的性质可得出CGE=CEG、FEGCGE，进而可得出FEFG；考虑FG=EG是否成立，由正方形的性质可得出BCEG，进而可得出FBCFEG，根据相似三角形的性质可得出若FG=EG则FC=BC，进而可得出CG、DG的长度，在RtCDG中，利用勾股定理即可求出x的值；考虑EF=EG是否成立，同理可得出若EF=EG则FB=BC，进而可得出BE的长度，在RtABE中，利用勾股定理即可求出x的值综上即可得出结论【解答】解：（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b，将M（30，230）、N（100，300）代入y=kx+b，解得：，线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200（2）分三种情况考虑：考虑FE=FG是否成立，连接EC，如图所示AE=x，AD=100，GA=x+200，ED=GD=x+100又CDEG，CE=CG，CGE=CEG，FEGCGE，FEFG；考虑FG=EG是否成立四边形ABCD是正方形，BCEG，FBCFEG假设FG=EG成立，则FC=BC成立，FC=BC=100AE=x，GA=x+200，FG=EG=AE+GA=2x+200，CG=FGFC=2x+200100=2x+100在RtCDG中，CD=100，GD=x+100，CG=2x+100，1002+（x+100）2=（2x+100）2，解得：x1=100（不合题意，舍去），x2=；考虑EF=EG是否成立同理，假设EF=EG成立，则FB=BC成立，BE=EFFB=2x+200100=2x+100在RtABE中，AE=x，AB=100，BE=2x+100，1002+x2=（2x+100）2，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=（不合题意，舍去）综上所述：当x=时，EFG是一个等腰三角形【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况求出x的值8.（xx内蒙古包头市10分）如图，在RtACB中，ACB=90，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交A于点E，连接CE，CD，F是A上一点，点F与点C位于BE两侧，且FAB=ABC，连接BF（1）求证：BCD=BEC；（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sinABF的值【分析】（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先判断出BDCBCE得出比例式求出BE=4，DE=3，利用勾股定理求出CD，CE，再判断出AFMBAC，进而判断出四边形FNCA是矩形，求出FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出BF，即可得出结论【解答】解：（1）ACB=90，BCD+ACD=90，DE是A的直径，DCE=90，BEC+CDE=90，AD=AC，CDE=ACD，BCD=BEC，（2）BCD=BEC，EBC=EBC，BDCBCE，BC=2，BD=1，BE=4，EC=2CD，DE=BEBD=3，在RtDCE中，DE2=CD2+CE2=9，CD=，CE=，过点F作FMAB于M，FAB=ABC，FMA=ACB=90，AFMBAC，DE=3，AD=AF=AC=，AB=，FM=，过点F作FNBC于N，FNC=90，FAB=ABC，FABC，FAC=ACB=90，四边形FNCA是矩形，FN=AC=，NC=AF=，BN=，在RtFBN中，BF=，在RtFBM中，sinABF=【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键9. （xx上海12分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点E.F（1）求证：EF=AEBE；（2）联结BF，如课=求证：EF=EP【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，BAD=90，根据等角的余角相等得到1=3，则可判断ABEDAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定RtBEFRtDFA，所以4=3，再证明4=5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形，AB=AD，BAD=90，BEAP，DFAP，BEA=AFD=90，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABE和DAF中，ABEDAF，BE=AF，EF=AEAF=AEBE；（2）如图，=，而AF=BE，=，=，RtBEFRtDFA，4=3，而1=3，4=1，5=1，4=5，即BE平分FBP，而BEEP，EF=EP【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质10. （xx资阳11分）已