核心素养测评五十四

温馨提示：此套题为 Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭 Word文档返回原板块。核心素养测评五十四圆锥曲线的最值问题(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 已知弟分别为椭圆C的两个焦点，p为椭圆上任意一点.若的最大值为3,则椭圆C的离心率为()D.-2【解析】选B.P点到椭圆C的焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c,又二的I p比I1最大值为3,所以=3,所以arc22. 直线I是抛物线x2=2y在点(-2,2)处的切线，点P是圆x2-4x+y 2=0上的动点,则点P到直线I的距离的最小值等于 ()6 虧fi V56A.0B. 丁 C. -2D.【解析】选C.抛物线x2=2y,即y ,y ' =x,在点(-2,2)处的切线斜率为-2,则切线I的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0,所一 、.& 右才互以圆心(2,0)到I的距离是一=，圆的半径为2,则点P到直线的距离的最小值是-2.3. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二 次变轨进入仍然以F为一个焦点的椭圆轨道H绕月飞行，最终卫星在P点第三次 变轨进入以F为圆心的圆形轨道皿绕月飞行，若用2ci和2C2分别表示椭圆轨道I和H的焦距，用2ai和2a2分别表示椭圆轨道I和H的长轴的长，给出下列式子：ai+Ci=a2+C2；i-c i=a2-c 2；c ia2>aiC2；其中正确式子的序号是()D.A.B.C.【解析】选B.对于，因为椭圆中的a+c是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以 ai+Ci>G+C2,所以错误；对于，因为椭圆中的a-c是椭圆上的点到焦点的最小 距离，所以ai-ci=a2-C2,所以正确；对于，因为由图可以看出椭圆I比H的 离心率大,所以是错误的,正确.4. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,ab且/ AFB=X ( a为常数),线段AB中点为M,过点M乍l的垂线，垂足为N,若 的 最小值为1,则a=()【解析】选C.如图，过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.设 |AF|=a,|BF|=b,由抛物线定义得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPC中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.在厶AFB中，由余弦定理得|AB| 2=a2+b2-2abcos a .所以i,| AW |42 (1+匚占 cr)-2 (1+COS£T)1a b> 41D Cla4 (a" +b-2atcosc<)a2 ¥b2ab=4丨-2a£)(l+coser)+ b* +2£Eh=2-2cos=4a b当且仅当：即a=b时等号成立.因为I 的最小值为1,所以2-2COS a =1,解得cos a所以a =.I MN |23二、填空题（每小题5分,共10分）5. 如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（3,6）,圆C2:x2+y2-6x+8=0,过圆心C2的直线I与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则|PN|+3|QM|的最小值为.O/【解析】由题意，抛物线过点(3,6),得抛物线方程y2=12x,设焦点为F(3,0),圆的标准方程为(x-3) 2+y2=1,所以圆心为(3,0),与抛物线焦点重合.半径r=1.由于直线过焦点，所以有1 2 1 + =- |QF| P 3又 |PN|+3|QM|=(|PF|+1)+(3|QF|+3)=|PF|+3|QF|+4=3(|PF|+3|QF|)=3 +4> 16+6 -.当且仅当 |PF|=|QF| 时取等号.答案：16+6、x2 26. 已知直线l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B，点P在椭圆，+y =1上运动，则 PAB面积的最大值为.【解析】因为l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B,所以A(3,0),B(0,3),因此 |AB|=3，二,好:2 一又点P在椭圆 +y =1上运动，-亍(其中tan所以可设P( - cos 0 ,sin 0),所以点P到直线I的距离为d=所以 Sa PAh|AB|d宀.答案:2三、解答题（每小题10分,共20分）7. 已知椭圆r的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2,且长轴长是短轴长的 轟倍.（1）求椭圆r的标准方程. 设p（2,o）,过椭圆r左焦点F的直线I交r于a B两点，若对满足条件的 任意直线I,不等式I忑 w入（入 R）恒成立，求入的最小值.【解析】（1）依题意,a= b,c=1,a 2-b 2=c2,解得a2=2,b2=1,所以椭圆r的标准方程亠 2为 +y =1.(2)设 A(X1,y1),B(x 2,y 2),则凤 75=(x1-2,y 1) (x 2-2,y 2)=(x 1-2)(x 2-2)+y 1y2.当直线I垂直于x轴时,x 1=X2=-1,y 1=-y2且绥f h,此时1 =(-3,y 1),=(-3,y 2)=(-3,-y 1),所以 =(-3) 当直线I不垂直于x轴时,fy = fc (z + 1) 3 lx2 + 2yz = 2P由题意设直线l:y=k（x+1）,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,所以4k22kZ2X1+%=-1+2x 1x2=l+2k所以冠而=XiX2-2(x i+X2)+4+k2(Xi+1)(x 2+1)2 2 2=(1+k )x iX2+(k -2)(x i+X2)+4+k=(1+k2)(k 2-2)+4+k217fc2+2 1712117= <2+122(2ic2+l) 2要使不等式TA NsW入(入 R)恒成立，只需入(TA 河)ma=,即入的最小, 17值为一.2r2 v28. 已知0为坐标原点,F为椭圆C/ + =1的上焦点,C上一点A在x轴上方,且49|0A|=就 (1)求直线AF的方程.B为直线AF与C异于A的交点,C的弦MN,AB勺中点分别为P,Q,若O,P,Q在同一条直线上，求AOMI面积的最大值.【解析】(1)设 A(x°,y o)(y。0),因为|OA|=机;,所以加；I= 7,又因为点A在椭圆上，所所以A的坐标为又因为F的坐标为（0八"）,所以直线AF的方程为y=-x+s :或y=x+，, 7 .2 2当A在第一象限时，直线AF:y二-x+, 二设 M(xi,y i),N(x 2,y 2),两式相减得（晶覽十芒* （井广» +（珂厂賢=049因为MN不过原点， 所以99即 kMrkoF=-,同理:kABkoQ=- ,441又因为O,P,Q在同一条直线上，所以ko=koq所以kM=kAB=-,设直线 MN:y=-x+m,由得 5x2-2mx+2r2-18=0,由 A >0,得八 11 vm<：L芻.2由根与系数的关系得Xi+X2：,X 1x2=-所以 |MN|=.丄 :|xi-x2|J (Xi + x2)2-4xlx2又因为0到直线MN的距离d= 一|m|,13所以 Sa°ML|MN|d=-|m|-；,y- 一=3,啊'+ 102当且仅当m=io-m即m=±. 一时等号成立， 所以 OMN勺面积的最大值为3,当A在第二象限时，由对称性知， OM面积的最大值也为3.综上, OMr面积的最大值为3.关闭Word文档返回原板块