2011山东临清三中数学必修4教学案：121任意角的三角函数（教、学案）

金太阳新课标资源网 临清三中数学组 编写人：郭振宇 审稿人： 庞红玲 李怀奎1.2.1任意角的三角函数【教学目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.【教学重难点】重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.【教学过程】y P（a，b） r O M一、【创设情境】提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那a的终边P(x,y)Oxy么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则; .思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：; ; .思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题任意角的三角函数.二、【探究新知】1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦(sine),记做,即；（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；（3）叫做的正切(tangent),记做,即.注意:当是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: (其中)6.三角函数线设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有 我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.7.例题讲解例1已知角的终边经过点，求的三个函数制值。解： 变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.解：,. 例2求下列各角的三个三角函数值： （1）； （2）； （3） 解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0 （2） （3） 变式训练2：求的正弦、余弦和正切值. 例3已知角的终边过点，求的三个三角函数值. 解析：计算点到原点的距离时应该讨论a的正负. 变式训练3： 求函数的值域.解析：分四个象限讨论.答案：2，-2，0 例4.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1.与 2.tan与tan 三、【学习小结】(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?(5)三角函数线的做法.四、【作业布置】作业：习题1.2 A组第1,2题 五、【板书设计】 1.2.1任意角的三角函数（一）复习引入（二） 概念形成 1.三角函数定义 2.三角函数线（三）例题讲解 小结： 临清三中数学组 编写人：郭振宇 审稿人： 庞红玲 李怀奎1.21任意角的三角函数课前预习学案一、预习目标： 1.了解三角函数的两种定义方法； 2.知道三角函数线的基本做法.二、预习内容： 根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.二、重点、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学习过程（一）复习：1、初中锐角的三角函数_2、在RtABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为_（二）新课：1三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值_叫做的正弦，记作_，即_（2）比值_叫做的余弦，记作_，即_（3）比值_叫做的正切，记作_，即_；2三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域3三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为_（），对于第三、四象限为_（）；余弦值对于第一、四象限为_（），对于第二、三象限为_（）；正切值对于第一、三象限为_（同号），对于第二、四象限为_（异号）4诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：_即有：_ _ _5当角的终边上一点的坐标满足_时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。 设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有，_ ，_我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。（三）例题 例1已知角的终边经过点，求的三个函数制值。变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值. 例2求下列各角的三个三角函数值：（1）； （2）； （3） 变式训练2：求的正弦、余弦和正切值. 例3已知角的终边过点，求的三个三角函数值。 变式训练3： 求函数的值域 例4.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1. 与 2. tan与tan （四）、小结课后练习与提高一、选择题1. 是第二象限角，P（，）为其终边上一点，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 2. 是第二象限角，且，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角3、如果那么下列各式中正确的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题4. 已知的终边过（9，）且，则的取值范围是 。5. 函数的定义域为 。6. 的值为 （正数，负数，0，不存在）三、解答题7.已知角的终边上一点P的坐标为（）（），且，求参考答案一、选择题：1. A 2 . C 3 D二、填空题4. 5. 6. 负数三、解答题7. 解：由题意，得：解得：，所以第 10 页 共 10 页 金太阳新课标资源网