高数极限习题

机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 第一章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.填空题填空题(1)lim 2xx(填“存在”或“不存在”)(2)lim 2xx10(3)lim 2xx10(4)lim 2xx10(5)lim2xxxoy2xy 1解函数y=2x的图形如图所示.00不存在从而可以填出答案.其中题(5)的右极限由题(3)知不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.判断题判断题01(1)lim cosxxx212(2)limnnn0( )lim( )xxf xg x原因(3) 若(1)001limlimcosxxxx0;( )22212limlimlimnnnnnnn0;( )存在,且0lim( )0,xxg x则0lim( )0.xxf x( )因为正解的极限不存在.01limcosxx因为当x0时, x为无穷小,1cosx是有界函数,所以1cosxx仍是无穷小, 从而01lim cos0.xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.判断题判断题01(1)lim cosxxx212(2)limnnn0( )lim( )xxf xg x原因(3) 若(2)001limlimcosxxxx0;( )22212limlimlimnnnnnnn0;( )存在,且0lim( )0,xxg x则0lim( )0.xxf x( )分开求和的极限只对有限项成立.正解21(1)2limnn nn11lim12nn1.2212limnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.判断题判断题01(1)lim cosxxx212(2)limnnn0( )lim( )xxf xg x原因(3) 若(3)001limlimcosxxxx0;( )22212limlimlimnnnnnnn0;( )存在,且0lim( )0,xxg x则0lim( )0.xxf x( )0lim( )xxf x0( )lim( )( )xxf xg xg x00( )limlim( )( )xxxxf xg xg x0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.设设1,0,( )1,0.xf xxxx解(1) 求单侧极限(1)0lim( )xf x(3)0lim( )xf x和0lim( );xf x(2)0lim( )xf x是否存在?1lim( )xf x是否存在?01lim1xx11 01,0lim( )xf x0limxx0.(2) 由(1)知0lim( )xf x0lim( ),xf x故0lim( )xf x不存在.(3)存在. 因为1lim( )xf x1limxx1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.设设1230.9,0.99,0.999,xxx解(1) 用10的方幂表示xn ;(1)10.9x (2)lim.nnx求11,10 20.99x 11100 211,10 11.10n (2)limnnx1lim 110nn1 0 1.0.9999,0.9999nx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 124lim21xxx11lim21xxx112lim221xxxx2363lim44xxxxx1) 1sin(lim331xxxxxxxsin2cos1lim0 xxx3)21 (limxxxx2)1(lim1.2.3.4.6.7.8.9.求下列极限：求下列极限：3311lim0 xxx5.10.30sintanlimxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.设下列极限：设下列极限：解(1)2272137(1)lim;49xxxx(2)(2)lim(1);nnnn 230sin(3)lim ln(1);xxxxx011(4)limsinsin;xxxxx212(5)lim;1xxxx0sin ln(14 )(6)lim.(1tan )(1 cos2 )xxxxx2272137lim49xxxx7(7)(21)lim(7)(7)xxxxx721lim7xxx15.14lim(1)nnnn lim1nnnn 1lim111nn1.2机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)(4)230sinlim ln(1)xxxxx2300sinlimln(1)limxxxxxx230sinln(01)limxxxxxx200sin1limlim1xxxxx011limsinsinxxxxx001sinlim sinlimxxxxxx0 11.1.注意到当x0时,x为无穷小,1sinx为有界函数,230sin(3)lim ln(1);xxxxx011(4)limsinsin;xxxxx所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5)(6)212(5)lim;1xxxx0sin ln(14 )(6)lim.(1tan )(1 cos2 )xxxxx212lim1xxxx21(1)11lim 11xxxxx 0sin ln(14 )lim(1tan )(1 cos2 )xxxxx001sin ln(14 )limlim1tan1 cos2xxxxxx2014lim102xxxx2.2.e注意到当x0时,sinxx, ln(1+4x)4x,2211 cos2(2 )2,2xxx所以11lim 1,1xxex21lim1xxx12lim11xxx2, 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.判断下列函数是否有间断点判断下列函数是否有间断点,若有若有,指出其间断点指出其间断点,并并解(1)21(1)( );253xf xxx(2)( );sinxf xx21cos,0,(3)( );1,0 xf xxx21( )253xf xxx1,(1)(23)xxx判断其类型判断其类型.2,3,(4)( )6,3.xxf xxx当x=1,32x 时, f (x)无定义,所以31,2xx是f (x)的间断点.因为1lim( )1,xf x 所以x=1为f (x)的第一类间断点,且是可去间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 21(1)( );253xf xxx(2)( );sinxf xx因为32lim( ),xf x 所以且是无穷间断点.为f (x)的第二类间断点,32x (2) 当sinx=0,即()xkkZ时, f (x)无定义, 所以()xkkZ是 f (x)的间断点.因为0lim1,sinxxx所以x=0(k取0)为f (x)的第一类间断点,且是可去间断点.因为当k0时,lim,sinxkxx 所以且是无穷间断点.为f (x)的(0)xkk第二类间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 因为2001lim( )limcosxxf xx所以x =0为f (x)的第二类间断点, 且是振荡间断点.21cos,0,(3)( );1,0 xf xxx不存在 (因为当0 x 时,21cosx的值在0与1之间无限次振荡),机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4)因为当x3时, f (x)= x2,所以当x3时, f (x)= x+6也是连续函数,无间因为3lim( )xf x23limxx9,3lim( )xf x3lim(6)xx9,所以3lim( )9xf x(3)f故 f (x)在x =3处连续.综上所述, 函数 f (x)无间断点, 在(,)内连续.无间断点.断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.设a0,且解cos,0,2( ),0.xxxf xaaxxx0lim( )xf x0limxaaxx01limxaax1,2 a要使f (x)在x =0处连续, 则即故当a=1时, f (x)在x =0处连续.当a取何值时, f (x)在x =0处连续.0lim( )xf x0coslim2xxxcos0021,20lim( )xf x0lim( )xf x11,22 a1,a 得(0),f机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.设函数f (x)在x =2处连续,且f (2)=3,求解2214lim( ).24xf xxx2lim( )xf x所以2214lim24xxx222lim4xxx21lim2xx1,42214lim( )24xf xxx22214lim( ) lim24xxf xxx134 3.4(2)3,f又因为因为f (x)在x =2处连续,且f (2)=3, 所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 9. 32xx至少有一个小于1 的正根 .证证：证明方程令( )32,xf xx且(0)f00 322 (1)f11 32100根据介值定理的推论(也称为零点定理) ,(0,1),( )0,f内至少存在一点在开区间(0, 1)显然f (x)在闭区间0, 1上连续,使即320,亦即32,所以方程32xx至少有一个小于1 的正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 21sinxxxy一、选择题 A.偶函数； B.奇函数； C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数1.函数 是（ ） xxx20sinlim（ ） nnnx2sin2lim下列极限计算正确的是（ ） e)11 (lim.0 xxxAe)1 (lim.1xxxB11sinlim.xxCx1sinlim.xxDx2. A.2； B.1； C.0 ；D.33. A.x； B.1； C.0 ；D.34.机动 目录 上页 下页 返回 结束 124lim21xxx11lim21xxx112lim221xxxx2363lim44xxxxx1) 1sin(lim331xxxxxxxsin2cos1lim0 xxx3)21 (limxxxx2)1(lim1.2.3.4.6.7.8.9.3311lim0 xxx5.10.30sintanlimxxxx二、求极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、判断下列函数是否有间断点判断下列函数是否有间断点,若有若有,指出其间断点指出其间断点,并并21(1)( );253xf xxx(2)( );sinxf xx21cos,0,(3)( );1,0 xf xxx判断其类型判断其类型.2,3,(4)( )6,3.xxf xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、设a0,且cos,0,2( ),0.xxxf xaaxxx当a取何值时, f (x)在x =0处连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、五、设函数f (x)在x =2处连续,且f (2)=3,求2214lim( ).24xf xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 32xx至少有一个小于1 的正根 .六、证明方程