2019年六年级奥数专题-分数基本运算-崔氏嫁接法.doc

2019年六年级奥数专题-分数基本运算-崔氏嫁接法本讲要点1. 分数1.1. 分数的定义1.1.1. 分数的来历：在进行测量，分东西或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时我们就需要用分数表示.(帅帅过生日，要把生日蛋糕平均分给5个小朋友，那么每个人得到多少蛋糕？)1.1.2. 单位1：把整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示.一个整体可以用自然数”1”来表示，通常把它叫做单位”1”.1.1.3. 分数与分数单位：把单位"1"平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示这样几份的数。表示其中一份的数叫分数单位.(如果我们把生日蛋糕平均分成了10块，那么每个人可以得到几块？每块占蛋糕的几分之几？ 的分数单位是多少？)1.1.4. 分数与除法： 帅帅过生日，要把生日蛋糕平均分给5个小朋友，那么每个人得到多少蛋糕？ 我们发现， ，在分数中，分子就相当于除法中的被除数，分母相当于除数.由于除数不为0，因此分母也不能为0.那么，上题中的，既可以当做一个计算结果，一个数值，也可以当做是一个除法运算.1.2. 真分数、假分数和带分数： 胖胖和气球平分1个苹果，那么每人分几个？ 这种分子比分母小的分数就叫做真分数.胖胖和气球平分3个苹果，那么每人分几个？ 这种分子比分母大的分数就叫做假分数.上面一例，我们也可以这么考虑：胖胖和气球先每人拿1个苹果，然后再平分剩下的1个苹果.那么每人得到： 个. 如此，可以把一个假分数化成一个整数和一个真分数加在一起.这样的分数叫做带分数.1.3. 分数的基本性质帅帅，胖胖和气球去必胜客吃披萨.如果把披萨分成3块，那么每人1块；如果分成6块，那么每人2块；分成15块，那么每人5块；如果分成99块呢？我们发现，因为披萨是平分的，那么实际上不管分成几块，每人得到的披萨是一样多的.也就是说： 观察规律： .分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变.1.4. 约分与通分1.4.1. 约分与最简分数分子分母互质(只有公因数1)的分数叫做最简分数.根据分数的基本性质，分子分母同时乘以或除以一个非零数，分数大小不变.我们把分子分母同时除以它们的一个不是1的公因数，那么会得到一个大小不变，但分子分母都比较小的分数.这就叫约分.如果我们把分子分母同时除以它们的最大公因数，那么新的分子分母一定互质.这样，我们就得到了这个分数的最简分数.1.4.2. 通分气球的体重是胖胖的，帅帅的体重是胖胖的，那么气球和帅帅谁重？分母相同，分子大的分数比较大，所以帅帅体重比较重.开心的体重是胖胖的，那么开心和气球谁重呢？分子相同，分母小的分数比较大.所以气球的体重比较重.开水的体重是胖胖的，那么帅帅和开水谁重呢？对于分母不同的分数，我们如何比较大小？根据分数的基本性质，我们可以把分数的分子分母同时乘以一个非零数，分数大小不变.通过这种方法，我们可以把这两个分数变成分母相同的数.这种，把异分母分数分别化为和原来分数相等的同分母分数的方法，就叫做通分.1.5. 分数的四则运算1.5.1. 分数的加减法同分母加减法：分母不变，分子相加减.结果要化成最简分数.异分母加减法：分母不同，分数单位不同，不能直接相加减.需要先通分，变为分母相同的分数，再分子相加减，同样，结果要化成最简分数.帅帅的体重是胖胖的，开水的体重是胖胖的，则帅帅和开水的体重之和，是胖胖的几分之几？我们要先通分： ，那么， .分数的运算法则和整数是一样的.同样可以使用加法的交换律和结合律.比如： 1.5.2. 分数的乘除法1.5.2.1. 分数乘以整数帅帅的生日上，胖胖有事没有来，大家为了把它的蛋糕也留出来，把蛋糕分成了10份，4个人每人拿了2块，那么4个人拿了全部蛋糕的几分之几？每人拿了，那么4个人拿了.从另一方面想，每人拿了2块，四个人拿了8块，总共有10块，所以.所以， .我们在计算时，可以先约分，在做乘法，那么.1.5.2.2. 分数乘以分数胖胖胃口比较小，给它的蛋糕，它只吃了，那么它吃了整个蛋糕的几分之几(共给了胖胖的蛋糕)？想一想，把蛋糕分成5份，涛涛拿了1份.再把这1份蛋糕分成5份，吃了2份.相当于把整个蛋糕分成了25份，吃了2份，那么吃了整个蛋糕的. 分数乘以分数，用分母乘以分母，分子乘以分子，能约分的可以先约分.1.5.2.3. 倒数观察下面几个算式： 你发现了什么特点？我们把一个数的分子和分母对调，得到的新的分数和原分数的乘积是1。乘积为1的两个数互为倒数.注意，因为0不能做分母，所以0没有倒数.1.5.2.4. 分数的除法观察下面算式： 除以一个数等于乘以它的倒数.1.5.3. 分数的四则混合运算分数的四则运算法则和整数的四则运算法则相同： 它们的运算顺序是先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内后算括号外，同一级运算顺序是从左到右.与整数四则运算相同，分数的四则运算也满足整数运算的计算律。如下：1.5.4. 连锁约分与整体约分分数的计算，有一些不同于整数计算的方法。主要是在做乘除法时，可以通过约分来简化计算过程。比如：我们发现，前一个分数的分母，恰好等于后一个分数的分子，那么我们可以把它们进行约分： ，这就是连锁约分.还有这样一类题： ，我们发现，分子分母都有公因数： 那么，我们可以把分子分母同时约掉： 这就是整体约分.例1计算下列各式：_； _； _； _例2计算下列各式：_； _；例3计算下列各式： _； _.例4（1）计算：_. （2）计算：_.例5计算：崔氏思考小题：你能把拆成3个分子为1，分母不同的分数之和吗？拆一个来看看(*_*) 家庭作业1. 计算：2. 计算：.3. 求 的值4. 计算： _.5. 计算6.7. 附送：2019年六年级奥数专题03：定义新运算 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.规定ab =,则2(53)之值为 .2.规定“”为一种运算,对任意两数a,b,有ab,若6x,则x= .3.设a,b,c,d是自然数,定义.则 3, 4, 1, 2 . 4.A表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成4=3.计算:= . 5.规定新运算:ab=3a-2b.若x(41)=7,则x= . 6.两个整数a和b,a除以b的余数记为ab.例如,135=3,513=5,124=0.根据这样定义的运算,(269) 4= .7.对于数a,b,c,d规定.如果,那么x= .8.规定:62=6+66=72,23=2+22+222=246, 14=1+11+111+1111=1234.75= . 9.规定:符号“”为选择两数中较大数,“”为选择两数中较小数.例如:35=5,35=3.那么,(73)55(37)= . 10.假设式子表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b=2,依次进行计算,则计算结束时,a与b的和是 .二、解答题 11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算如下: (a,b)(c,d)= (a+c,b+d);又定义运算如下: (a,b)(c,d)= (ac+bd,ad+bc).试计算(1,2) (3,6)(5,4)(1,3). 12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号表示羊羊=羊;羊狼=狼;狼羊=狼;狼狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了. 小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号表示为羊羊=羊;羊狼=羊;狼羊=羊;狼狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了. 对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果: 羊(狼羊)羊(狼狼). 13.表示成; 表示成. 试求下列的值: (1) ; (2); (3); (4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:. 14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为ab,比如52=1,725=4,68=2.(1)求1991xx,(519)19,(195)5;(2)已知11x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19x)19=5,而x小于50,求x.答 案1. .53=,2(53)=2.2. 8.依题意,6,因此,所以x=8.3. 280.原式.4. 5.因为有个约数,所以18=6,同样可知22=4,7=2.原式.5. 9.因为41=,所以x(41)= x10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.6. 0.,269=8,又,故(269)4=84=0.7. 6.因为,所以,故.8. 86415.75=7+77+777+7777+77777=86415.9. 25.原式=3557=55=25.10. 14. 第1次计算后,;第2次计算后,;第3次计算后,;第4次计算后,.此时.11. (1,2)(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7). 原式=(4,8)(6,7)=(46+87,47+86)=(80,76).12. 原式=羊羊羊狼=羊羊狼=羊狼=狼.13. (1); (2); (3)因为,所以; (4)令则. .14. (1)1991xx=9; 由519=4,得(519)19=419=3; 由195=4,得(195)5=45=1. (2)我们不知道11和x哪个大(注意,x11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论. 1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x3(因为x应大于余数2),所以x=3或9. 2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解为x=3,9,13. (3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解. 用y表示19x,不管19作除数还是被除数,19x都比19小,所以y应小于19. 方程y19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y6,所以y=7,14. 当y=7时,分两种情况解19x=7. 1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x8,所以x=12. 2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26或=45. 当y=14时,分两种情况解19x=14. 1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的. 2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33. 总之,方程(19x)19=5有四个解,x=12,26,33,45.三、定义新运算（二） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.规定:ab=(b+a)b,那么(23)5= .2.如果ab表示,例如34,那么,当a5=30时, a= .3.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab.例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,1812= . 4.已知a,b是任意有理数,我们规定: ab= a+b-1,那么 .5.x为正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4><1><8>>的值是 . 6.如果ab表示,例如45=34-25=2,那么,当x5比5x大5时, x= . 7.如果14=1234,23=234,72=78,那么45= .8.我们规定:符号表示选择两数中较大数的运算,例如:53=35=5,符号表示选择两数中较小数的运算,例如:53=35=3.请计算: . 9.规定一种新运算“”: ab=.如果(x3)4=421200,那么x= .10.对于任意有理数x, y,定义一种运算“”，规定:xy=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道12=3,23=4,xm=x(m0),则m的数值是 .二、解答题11.设a,b为自然数,定义ab. (1)计算(43)+(85)的值;(2)计算(23)4;(3)计算(25)(34).12.设a,b为自然数,定义ab如下:如果ab,定义ab=a-b,如果a<b,则定义ab= b- a.(1)计算:(34)9;(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说,下面两式是否成立?ab= ba;(ab)c= a(bc). 13.设a,b是两个非零的数,定义ab.(1)计算(23)4与2(34). (2)如果已知a是一个自然数,且a3=2,试求出a的值. 14.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则1014=70-2=68.(1)求1221,515;(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除ab;如果c整除a和ab,则c也整除b;(3)已知6x=27,求x的值.答 案1. 100.因为23=(3+2)3=15,所以(23)5=155=(5+15)5=100.2. 8.依题意,得,解得.3. 42.1812=(18,12)+18,12=6+36=42.4. 98. 原式 5. 11.<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.6. 6.x5-5x=(3 x-25)-(35-2 x)=5 x-25,由5 x-25=5,解得x=6.7. 45678.8. .因为,0.625,所以,原式.9. 2.令x3=y,则y4=421200,又421200,所以y=24,即x3=24.又24=,故x=2.10. 4. 由题设的等式xy=及xm=x(m0),得 , 所以bm=0,又m0,故b=0.因此xy=ax-cxy. 由12=3,23=4,得 解得a=5,c=1. 所以xy=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.11. (1)原式; (2)原式4=74=; (3)原式13 .12. (1)原式=(4-3)9=19=9-1=8; (2)因为表示ab表示较大数与较小数的差,显然ab= ba成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(34)9=8,而3(49)=3(9-4)=35=5-3=2.13. (1)按照定义有23,34. 于是(23)44=. 2(34)=2. (2)由已知得 若a6,则2,从而与矛盾.因此a5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入式中检查知,只有a=3符合要求.14. (1)为求1221,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此1221=84-3=81,同样道理515=15-5=10. (2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除ab. 如果c整除a和ab,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除ab推知, c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b. (3)由于运算“”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3. 由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到. 所以.