类比推理在数列教学中的作用

类比推理在数列教学中的作用【摘要】在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径.学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力，使他们的思维更具创造力.【关键词】类比推理；数列教学在高中数列教学中如果采用类比教学的方法，那么效果将会非常显著.类比推理是根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，从而猜测它们在其他方面也可能相似或相同的一种猜想.在中学数学教学中，用类比猜想，可由两个命题中条件的相似，去猜想结论的相似；也可由两个命题条件结论的相似，去猜想推理方法的相似；还可由两个概念的相似，去猜想解题思路的相似.利用类比来启发学生进行思维活动，就是启发学生把要研究的新问题和与之类似的原有知识、方法进行比较，使学生通过联想，获得解决问题的思路和方法，或建立新的数学结构.我们先来比较一下等差数列与等比数列：数列an为等差数列，d为公差；数列bn为等比数列，q为公比.1.定 义等差数列：an+1-an=d(nn+).等比数列：bn+1bn=q(nn+).2.通项公式等差数列：an=a1+(n-1)d(nn+).等比数列：bn=b1qn-1(nn+).3.中项定理等差数列：an-1+an+1=2an(n2，nn+).等比数列：bn-1bn+1=b2n(n2，nn+).4.性 质等差数列：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m,n,p,q均为正整数）.等比数列：若m+n=p+q，则bmbn=bpbq(m,n,p,q均为正整数）.上面内容中等比数列的相关内容都可以由等差数列相对应的内容类比得到.从上面的比较不难看出，只要把等差数列中的公差d换成等比数列中的公比q，并将“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”运算就可以相应地产生等比数列的定义、通项公式.等差数列中的公差d=0通常类比成等比数列中的公比q=1.下面介绍数列教学中几种常见的类比类型：一、类比概念数学概念是整个数学知识结构的基础.数学概念的教学是进行能力训练，实施素质教育的重要渠道.在引入新概念的教学中，首先就要使学生“感知”新材料，为了把能力训练和素质教育有意识地融入课堂教学中，教师可以根据教学内容精心设计这种感知的过程，因为这种“感知”过程也正好是对学生能力的一种有益训练.如在上面提到的由等差数列的定义类比得到等比数列的定义，效果非常好.下面再看个例子：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18=，这个数列的前n项和sn的计算公式为.分析 解决本题的关键是理解即时定义“等和数列”.解 由等和数列的定义，知a1a2a2a3a3a4即有a1a3a5且a2a4a6又a12，公和为5，得a18a2523.即有an2,n为奇数，3,n为偶数.故当n为偶数时，sn=52n.当n为奇数时，sn=52n-12.评注 类比某些熟悉的概念产生的类比推理型试题，在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路.二、类比性质近几年各地高考、模考试卷中多次出现数列性质类比问题，如：1.在等差数列an中，前n项和sn=a1+a2+an=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d，类比上述性质，相应地，在等比数列bn中前n项和tn=.tn=b1b2bn=(b1bn)n2=bn1qn(n-1)2.2.若数列an是等差数列，则有数列bn=a1+a2+ann也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列cn是等比数列，且cn>0，则有dn=，也是等比数列.dn=nc1c2cn.证明 dn=nc1c2cn，dnn=c1c2cn=c1(c1q)(c1q2)(c1qn-1)=cn1q1+2+(n-1)=cn1qn(n-1)2.cn>0，dn>0.dn=c1qn-12，dn+1=c1qn2，dn+1dn=q12.dn为等比数列.评注 从一个特殊式子的性质入手产生类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键.通过上面的几种情况可以看出在数列教学中如果运用类比，那么效果将更加显著.在整个数学中有不少重大发现乃至有关解题方法是由类比推理提供线索的，它具有发现的功能，是获取新知识的工具.总之，在我们平时的学习与生活中处处充满着类比，类比也是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径.学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力，使他们的思维更具创造力.