随机变量的数值特征.ppt

在前几章 我们讨论了随机变量及其分布 如果知道了随机变量X的概率分布 那么X的全部概率特征也就知道了 然而 在实际问题中 概率分布一般是较难确定的 而在一些实际应用中 人们并不需要知道随机变量的一切概率性质 只要知道它的某些数字特征就够了 因此 在对随机变量的研究中 确定某些数字特征是重要的 在这些数字特征中 最常用的是期望和方差 第四章随机变量的数值特征 4 1数学期望1 数学期望的定义随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一 它的定义来自习惯上的平均概念 定义1 设X是离散型随机变量 它的概率分布律为P X xk pk k 1 2 如果有限 定义X的数学期望 也就是说 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和 定义2 设X是连续型随机变量 其密度函数为f x 如果有限 定义X的数学期望为 亦即 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分 2 随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布 需要计算的不是X的期望 而是X的函数g X 的期望 该如何计算呢 一种方法是 首先求随机变量函数g X 的分布 然后按数学期望的定义计算E g X 但是 求随机变量函数g X 的分布 一般比较复杂 可否不先求g X 的分布而只根据X的分布来求得E g X 呢 可以 定理 设X是一个随机变量 当X为离散型时 其分布律为P X xk pk 当X为连续型时 其密度函数为f x Y g X 则 该公式的重要性在于 求E g X 不必知道g X 的分布 而只需知道X的分布就可以了 这给求随机变量函数的期望带来很大方便 3 数学期望的性质1 设C是常数 则E C C 2 若k是常数 则E kX kE X 3 E X1 X2 E X1 E X2 推广 4 设X Y独立 则E XY E X E Y 推广 诸Xi相互独立 由E XY E X E Y 不一定能推出X Y独立 例 电视塔观光电梯每整点的第5分钟 25分钟和55分钟从底层起行 假设一游客在早8点至9点之间随机来到底层候梯处 求该游客等候时间的数学期望 解 设该游客到达时刻为8点的第X分钟 等候电梯的时间为Y 分钟 则X在 0 60 上均匀分布 而Y是X的函数 由题意 有 所以 4 2方差随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平 是随机变量的一个重要的数字特征 但是 仅仅知道平均值是不够的 还需要知道随机变量取值在其中心附近的离散程度 这个数字特征就是方差 1 方差的定义设X是一个随机变量 若E X E X 2 则称 采用平方是为了保证一切差值X E X 都起正面的作用 为X的方差 方差的算术平方根称为标准差 由于它与X具有相同的度量单位 在实际问题中经常使用 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 若X的取值比较集中 则方差较小 若X的取值比较分散 则方差较大 若方差D X 0 则随机变量X以概率1取常数值 X为离散型P X xk pk 由定义可知 方差是随机变量X的函数g X X E X 2的数学期望 故有 X为连续型X f x 计算方差的一个简化公式 2 方差的性质1 设C是常数 则D C 0 2 若C是常数 则D CX C2D X 3 若X1与X2独立 则 推广若X1 X2 Xn相互独立 则 4 D X 0 P X C 1 3 切比雪夫不等式设随机变量X有数学期望E X 和方差D X 2 则对于任意正数 0 下述不等式成立 或 这表明 方差越小 事件 X 的概率越小 即事件 X 的概率越大 亦即随机变量X集中在其数学期望附近的可能性越大 例 在每次试验中 事件A发生的概率为0 75 试利用切比雪夫不等式求 n需要多大时 才能使得在n次独立重复试验中A出现的频率在0 74 0 76之间的概率至少为0 9 解 设X为n次独立重复试验中A出现的次数 则 所求为满足P 0 74 X n 0 76 0 9的最小的n X b n 0 75 E X 0 75n D X 0 75 0 25n 所以 4 几种重要随机变量的期望和方差1 0 1 分布X E X p D X p 1 p 2 二项分布X b n p E X np D X np 1 p 3 泊松分布X E X D X 4 正态分布X N 2 E X D X 2 4 3协方差及相关系数前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差 对于多维随机变量 反映分量之间关系的数字特征中 最重要的 就是现在要讨论的协方差及相关系数 协方差任意两个随机变量X和Y的协方差记为Cov X Y 定义为 Cov X Y E X E X Y E Y 1 Cov X Y Cov Y X 2 Cov aX bY abCov X Y a b是常数3 Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y 协方差的性质 计算协方差的公式 由协方差的定义及期望的性质 可得Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y E Y E X E X E Y E XY E X E Y 可见 若X Y相互独立 则Cov X Y 0 反过来 Cov X Y 0 不能推断X Y相互独立 D X Y E X Y E X Y 2 E X E X Y E Y 2 E X E X 2 Y E Y 2 2 X E X Y E Y D X D Y 2Cov X Y 根据方差 协方差的定义 可以得到任意两个随机变量和的方差与协方差的关系 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系 但它还受X与Y本身度量单位的影响 例如 Cov kX kY k2Cov X Y 为了克服这一缺点 对协方差进行标准化 这就引入了相关系数 相关系数定义 设D X 0 D Y 0 称 为随机变量X和Y的相关系数 相关系数的性质 1 XY 12 X Y相互独立时 XY 0 但其逆不真 XY 1 存在常数a b b 0 使P Y a bX 1即X和Y以概率1线性相关 相关系数刻划了X和Y间 线性相关 的程度 若 XY 1 Y与X有严格线性关系 若 XY 0 Y与X无线性关系 也称Y X不相关 XY的值越接近于1 Y与X的线性相关程度越高 XY的值越接近于0 Y与X的线性相关程度越弱 注意 不相关 相互独立是两个概念 相互独立指两个随机变量之间没有任何关系 不相关指两个随机变量之间没有线性关系 若X Y相互独立 则 XY 0 X Y不相关 反过来 若X 不相关 它们却不一定相互独立 特例 若 X Y 服从二维正态分布 则X Y不相关 X Y相互独立 例 某葙装有100件产品 其中一 二和三等品分别为80 10和10件 现从中随机抽取一件 记 试求 1 X1和X2的联合分布率 2 X1和X2的相关系数 解 1 令事件Ai表示 抽到第i等品 i 1 2 3 由题意 A1 A2 A3两两互不相容 有 P X1 0 X2 0 P A3 0 1P X1 0 X2 1 P A2 0 1P X1 1 X2 0 P A1 0 8P X1 1 X2 1 P 0 0 2 Cov X1 X2 E X1X2 E X1 E X2 而 所以Cov X1 X2 0 08又D X1 E X12 E2 X1 0 16D X2 E X22 E2 X2 0 09所以 4 4矩协方差矩阵一 矩定义 设X和Y是随机变量X的k阶原点矩E Xk X的k阶中心矩E X E X k X和Y的k l阶混合原点矩E XkXl X和Y的k l阶混合中心矩E X E X k Y E Y l 可见 数学希望E X 是X的一阶原点矩 方差D X 是X的二阶中心矩 协方差Cov X Y 是X和Y的二阶混合中心矩 二 协方差矩阵将二维随机变量 X1 X2 的四个二阶中心矩 称为 X1 X2 的协方差矩阵 类似定义n维随机变量 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 为 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 都存在 称矩阵 i j 1 2 n 若 协方差矩阵的特点 1 对角元cii D Xi 2 cij cji 是对称矩阵 有C C