第五讲集合的概念5

第五讲一集合的概念5第五讲集合元素的数量(2012-7-12)例1若A,A2,Am为集合A(1,2,n(n2且nN*)的子集，且满足两个条件：AUAULMA；对任意的x,y a)i (1,2,3, ,m)使 A x,y X或y.则称集合组A,A2, ,Am具有 性质P.如图，作n行m列数表，定 义数表中的第k行第l列的数至少存在一个a11a12a1ma21a22a2m an1an2anm为a""(I)当n 4时，判断下列两个集合组是否具有性质P,如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1:A1,3,A22,3,A4；集合组2：A2,3,4,A2,3,A1,4.(II)当n7时，若集合组AA人具有性质P,请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A,A,A；(田)当n100时，集合组A,A是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及IAIAl|A|的最小值.(其中IAI表示集合A所含元素的个数)20.(本小题满分13分)(I)解：集合组1具有性质P1分所对应的数表为000013分集合组2不具有性质p4分因为存在2,31,2,3,4)有2,3PA2,3,2,32,3,2,3AA3)与对任意的x,yA)都至少存在一个i1,2,3)有Ax,yX或y矛盾，所以集合组A2,3,4,A2,3,A1,4不具有性质p.5分)°01010100110101011111(nA3,4,5,7,A22,4,6,7,A1,5,6,78分（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同）（田）设A,A2,a所对应的数表为数表M,因为集合组A,A为具有性质P的集合组，所以集合组A,A满足条件和，由条件：AU&UUAa,可得对任意xA）者B存在i1,2,3，,t有x所以axi1,即第x行不全为0,所以由条件可知数表M中任意一行不全为0.9分由条件知，对任意的x,ya,都至少存在一个i1,2,3，,t）使Ax,yx或y,所以a"一定是一个1一个0,即第x行与第y行的第i列的两个数一定不同.所以由条件可得数表M中任意两行不完全相同.10分因为由0,1所构成的t元有序数组共有2t个，去掉全是0的t元看用数组）共有2t1个）攵因数走M中任意两行都不完全相同，所以1002t1,所以t7.又t7时）由0,1所构成的7元有序数组共有128个）去弹全是0的数组）共127个）述择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件，即具有性质P.所以t7.12分因为IAIA|AI等于表格中数字1的个数）所以，要使IAIA|AI取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而t7时，在数表M中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多C221行；1的个数为3的行最多C335行；1的个数为4的行最多C435行；因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1,所以此时表格中最少宥722133543552304个1.所以|A|A|A|的最小值为304.14分例2已知集合Aa1，a2,，ak(k>2)?其中aZ12,k)，由A中的元素构成两个相应的集合：S(a,b)aA,bA,abA)T(a,b)aA,bA,abA.其中(a,b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的aA,总有aA,则称集合A具有性质P.(I)检验集合。1,2,3与123是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；(II)对任何具有性质P的集合A,证明：nW?；(III)判断m和n的大小关系，并证明你的结论.20.(共13分)(I)解：集合01,2,3不具有性质P.集合12,3具有性质p,其相应的集合S和T是S(13),(3I)T(2,1),23.(II)证明：首先，由A中元素构成的有序数对(a,aj)共有k2个.因为0A,所以(d,ai)T(i1,2,，k)；又因为当aA时，aA时，aA,所以当缸a,)T时,(a,，a)T(i,j1,2,，k).从而，集合T中元素的个数最多为k2k)修，即n，g.2(III)解：mn,证明如下：(1)对于(a,b)S)根据定义)aA)bA,且abA,从而(ab,b)T.如果(a,b)与(c,d)是S的不同元素)那么ac与bd中至少有一个不成立，从而abcd与bd中也至少有一个不成立.故(ab,b)与(cd,d)也是T的不同元素.可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m<n(2)对于(a,b)T)根据定义)aA)bA)且abA,从而(ab,b)S.如果(a,b)与(c,d)是T的不同元素)那么ac与bd中至少有一个不成立)从而abcd与bd中也不至少有一个不成立)故(ab,b)与(cd,d)也是S的不同元素.可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n<m由(1)(2)可知,