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第二章刚体静力分析基础 内容提要本章介绍力 力矩和力偶等基本概念以及静力学公理等基本定理与工具 分析工程中常见约束的特点和约束反力的性质以及结构计算简图的选取 重点介绍物体的受力分析 2 1力的概念及性质 2 2力对点之矩 2 3力偶的概念及性质 2 4约束与约束反力 本章内容 小结 2 5结构的计算简图 2 6受力分析与受力图 2 1力的概念及性质 2 1 1力的概念 1 力的定义 力是物体间的相互机械作用 这种作用使物体的运动状态或形状发生改变 2 力的效应 力对物体的作用结果称为力的效应 力使物体运动状态发生改变的效应称为运动效应或外效应 力的运动效应又分为移动效应和转动效应 力使物体的形状发生改变的效应称为变形效应或内效应 3 力的三要素力对物体的作用效应取决于力的大小 方向和作用点 称为力的三要素 4 力的分类集中力 当力作用的面积很小以至可以忽略时 就可近似地看成一个点 作用于一点上的力称为集中力 单位为N 牛顿 或kN 千牛顿 分布力 当力的作用面积较大而不可忽略时 这种力称为分布力 分布在狭长面积或体积上的力称为线分布力 其大小用集度表示 其单位为N m或kN m 5 力的表示 b a 6 等效力系如果两个力系对物体的运动效应完全相同 则这两个力系称为等效力系 合力 如果一个力与一个力系等效 则此力称为该力系的合力 分力 该力系中的各力称为合力的分力 2 1 2静力学公理 1 二力平衡公理作用于同一刚体上的两个力 使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等 方向相反 作用在同一直线上 受两个力作用处于平衡的构件称为二力构件 2 加减平衡力系公理在作用于刚体上的任意力系中 增加或减少任一平衡力系 并不改变原力系对刚体的作用效应 推论 作用于刚体上的力可以沿其作用线移动到任意位置 而不改变力对刚体的作用效应 这一推论称为力的可传性原理 强调 二力平衡公理 加减平衡力系公理及其推论只适用于刚体 不适用于变形体 绳索的两端若受到大小相等 方向相反 沿同一条直线的两个拉力的作用 则其保持平衡 图 a 如把两个拉力改为压力则其不会平衡 又如变形杆AB在平衡力系F1 F2作用下产生拉伸变形 图 b 若除去这一对平衡力 则杆就不会发生变形 若将力F1 F2分别沿作用线移到杆的另一端 则杆产生压缩变形 c 3 力的平行四边形法则作用于物体上同一点的两个力 可以合成一个合力 合力的作用点仍在该点 合力的大小和方向 由以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线确定 其矢量表达式为FR F1 F2 C 三角形法则 三力平衡汇交定理刚体在三个力作用下处于平衡状态 若其中两个力的作用线汇交于一点 则第三个力的作用线也通过该汇交点 且此三力的作用线在同一平面内 证明 设刚体在作用于A B C三点的三个力F1 F2 F3作用下处于平衡状态 且力F1 F2汇交于O点 根据力的可传性原理 可将力F1和F2移到汇交点O 然后根据力的平行四边形法则得合力F12 则力F3应与F12平衡 由于两个力平衡必须共线 所以力F3必通过力F1与F2的交点O 且与F1和F2共面 必须指出 三力平衡汇交定理给出的是不平行的三个力平衡的必要条件 而不是充分条件 即该定理的逆定理不一定成立 4 作用和反作用定律两物体之间的作用力和反作用力总是同时存在 而且两力的大小相等 方向相反 沿着同一直线分别作用于该两个物体上 强调 作用力与反作用力分别作用于两个物体上 它们不构成平衡力系 5 刚化原理如果把在某一力系作用下处于平衡的变形体刚化为刚体 则该物体的平衡状态不会改变 由此可知 作用于刚体上的力系所必须满足的平衡条件 在变形体平衡时也同样必须遵守 但刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件 而非充分条件 2 1 3汇交力系的合成 作用于物体上同一点的n个力F1 F2 Fn组成的力系 称为汇交力系 由力的平行四边形法则 采用两两合成的方法 最终可合成为一个合力FR 合力等于力系中各力的矢量和 即FR F1 F2 Fn F F1 FR FR2 FR1 F2 F3 Fn O 2 2力对点之矩 用扳手拧螺母时 作用于扳手上的力F使扳手绕螺母中心O转动 其转动效应不仅与力的大小和方向有关 而且与O点到力作用线的距离d有关 2 2 1力矩的概念 因此 把乘积Fd冠以适当正负号作为力F使物体绕O点转动效应的度量 称为力F对点O之矩 简称力矩 用MO F 表示 即 MO F Fd 或MO F 2A OAB O点称为矩心 d称为力臂 式中的正负号用来区别力F使物体绕O点转动的方向 并规定 力F使物体绕O点逆时针转动时为正 反之为负 力矩的单位为N m或kN m 设在同一平面内有n个力F1 F2 Fn 其合力为FR 则合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和 这个关系称为合力矩定理 即MO FR MO F1 MO F2 MO Fn MO Fi 2 2 2合力矩定理 在许多情况下应用合力矩定理计算力对点之矩较为简便 证明 就两个力的简单情况进行证明 设力F1 F2作用于物体上A点 其合力为FR 任取一点O为矩心 取过O点并与OA垂直的直线为x轴 过各力矢端B C D作x轴的垂线 设垂足分别为b c d 各力对点O之矩分别为 O D x FR MO F1 2A OAB OA ObMO F2 2A OAC OA OcMO FR 2A OAD OA Od因Od Ob Oc故MO FR MO F1 MO F2 O D x FR 例2 1 一齿轮受到与它啮合的另一齿轮的作用力F 1kN的作用 已知压力角 20 节圆直径D 0 16m 求力F对齿轮轴心O之矩 解 用两种方法计算力F对O点之矩 方法一 由力矩的定义 得MO F Fd F 75 2 m 负号表示力F使齿轮绕O点作顺时针转动 方法二 将力F分解为圆周力Ft Fcos 和径向力Fr Fsin 由合力矩定理 得MO F MO Ft MO Fr 因力Fr通过矩心O 故MO Fr 0 于是MO F MO Ft Ft Fcos 75 2 m 2 3力偶的概念及性质 2 3 1力偶的概念 两个大小相等 方向相反且不共线的平行力组成的力系称为力偶 记为 F F 力偶的作用面 力偶所在的平面 力偶臂 组成力偶的两力之间的距离 2 3 2力偶矩的计算 1 力偶的两个力对作用平面内任一点O之矩的和为MO F MO F Fx F x d Fd 这一结果与矩心的位置无关 2 把力偶的任一力的大小与力偶臂的乘积冠以适当的正负号 作为力偶使物体转动效应的度量 称为力偶矩 用M表示 即 M Fd 式中的正负号表示力偶的转向 规定力偶使物体逆时针方向转动时为正 反之为负 3 在同一平面内的两个力偶 只要其力偶矩相等 这两个力偶就彼此等效 2 3 3力偶的性质 1 力偶对物体不产生移动效应 因此力偶没有合力 一个力偶既不能与一个力等效 也不能与一个力平衡 力与力偶是表示物体间相互机械作用的两个基本元素 2 任一力偶可以在它的作用面内任意移动 而不改变它对刚体的效应 3 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变 可以任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短 而不改变力偶对刚体的效应 根据力偶的性质 可在力偶的作用面内用M或M表示力偶 其中箭头表示力偶的转向 M表示力偶矩的大小 2 3 4平面力偶系的合成 作用面都位于同一平面内的若干个力偶 称为平面力偶系 平面力偶系可合成为一个合力偶 合力偶的矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 即M M1 M2 Mn M 证明 就两个力偶的简单情况进行证明 设在某一平面内作用有两个力偶M1 M2 任取一线段AB d作为公共力偶臂 根据力偶的等效性质 将力偶M1 M2移动 并把力偶中的力分别改变为 于是 力偶M1与M2可合成为一个力偶 其矩为 M FRd F1 F2 d M1 M2 2 4约束与约束反力 2 4 1约束与约束反力的概念自由体 在空间可以任意运动 位移不受任何限制的物体 例如在空中飞行的飞机 炮弹和火箭等 非自由体 如果受到某种限制 在某些方向不能运动的物体 例如用绳子挂起的重物 行驶在铁轨上的机车等 约束 对于非自由体的某些位移起限制作用的条件 或周围物体 例如 绳子为重物的约束 铁轨为机车的约束 约束反力 约束力或反力 约束对被约束物体作用的力 约束反力的作用点是约束与物体的接触点 方向与该约束所能够限制物体运动的方向相反 主动力或 荷载 能主动地使物体运动或有运动趋势的力 例如重力 水压力 切削力等 约束反力由主动力的作用而引起 2 4 2工程中常见的约束与约束反力 1 柔索 绳索 链条 胶带等柔性物体都可以简化为柔索约束 这种约束的特点是只能限制物体沿柔索伸长方向的运动 因此 柔索的约束反力的方向只能沿柔索的中心线且背离物体 即为拉力 2 光滑接触面 当两物体的接触面之间的摩擦力很小 可忽略不计 就构成光滑接触面约束 光滑接触面只能限制被约束物体沿接触点处公法线朝接触面方向的运动 而不能限制沿其他方向的运动 因此 光滑接触面的约束反力只能沿接触面在接触点处的公法线 且指向被约束物体 即为压力 这种约束反力也称为法向反力 3 光滑铰链 在两个构件上各钻有同样大小的圆孔 并用圆柱形销钉连接起来 如果销钉和圆孔都是光滑的 那么销钉只限制两构件在垂直于销钉轴线的平面内相对移动 而不限制两构件绕销钉轴线的相对转动 这样的约束称为光滑铰链 简称铰链或铰 铰链约束反力作用在垂直于销钉轴线的平面内 通过圆孔中心 方向由系统的构造与受力状态确定 以下简称方向待定 通常用两个正交分力Fx和Fy来表示铰链约束反力 两分力的指向是假定的 4 固定铰支座 用铰链连接的两个构件中 如果其中一个是固定在基础或静止机架上的支座 则这种约束称为固定铰支座 简称铰支座 固定铰支座的约束反力与铰链的情形相同 图 b e 为固定铰支座的简化表示 5 活动铰支座 如果在支座与支承面之间装上几个滚子 使支座可以沿着支承面运动 就成为活动铰支座 也称为辊轴支座 这种支座只限制构件沿支承面法线方向的移动 不限制构件沿支承面的移动和绕销定轴线的转动 因此 活动铰支座的约束反力垂直于支承面 通过铰链中心 指向待定 图 b d 为活动铰支座的简化表示 6 定向支座 定向支座能限制构件的转动和垂直于支承面方向的移动 但允许构件沿平行于支承面的方向移动 定向支座的支座反力为垂直于支承面的反力FN和反力偶矩M 当支承面与构件轴线垂直时 定向支座的反力为水平方向 图 b 图 c 为定向支座的简化表示和约束反力表示 7 固定端 如果静止的物体与构件的一端紧密相连 使构件既不能移动 又不能转动 则构件所受的约束称为固定端约束 固定端约束反力为一个方向待定的力和一个转向待定的力偶 图 b 为固定端支座的简化表示 工程实际中的约束往往比较复杂 必须根据具体实际情况分析约束对物体运动的限制 然后确定其约束反力 2 5结构的计算简图 2 5 1结构计算简图的概念 工程中结构的实际构造比较复杂 其受力及变形情况也比较复杂 完全按照结构的实际工作状态进行分析往往是困难的 因此 在进行力学计算前 必须先将实际结构加以简化 分清结构受力 变形的主次 抓住主要因素 忽略一些次要因素 将实际结构抽象为既能反映结构的实际受力和变形特点又便于计算的理想模型 称为结构的计算简图 2 5 2杆件结构的简化 1 结构的简化结构的简化包括两方面的内容 一个是结构体系的简化 另一个是结构中杆件的简化 结构体系的简化是把有些实际空间整体的结构 简化或分解为若干平面结构 杆件则用其轴线表示 直杆简化为直线 曲杆简化为曲线 2 结点的简化结构中各杆件间的相互连接处称为结点 结点可简化为以下两种基本类型 1 铰结点铰结点的特征是所连各杆都可以绕结点自由转动 即在结点处各杆之间的夹角可以改变 2 刚结点刚结点的特征是所连各杆不能绕结点作相对转动 即各杆之间的夹角在变形前后保持不变 当一个结点同时具有以上两种结点的特征时 称为组合结点 即在结点处有些杆件为铰接 同时也有些杆件为刚性连接 3 支座的简化把结构与基础或支承部分连接起来的装置称为支座 平面结构的支座根据其支承情况的不同可简化为固定铰支座 活动铰支座 定向支座和固定端支座 4 荷载的简化作用于结构上的荷载通常简化为集中荷载和分布荷载 例2 2 试选取图示单层工业厂房的计算简图 该单层工业厂房是由许多横向平面单元 通过屋面板和吊车梁等纵向构件联系起来的空间结构 由于各个横向平面单元相同 且作用于结构上的荷载一般又是沿厂房纵向均匀分布的 因此作用于结构上的荷载可通过纵向构件分配到各个横向平面单元上 1 结构体系的简化 解 这样就可不考虑结构整体的空间作用 把一个空间结构简化为若干个彼此独立的平面结构来进行分析 计算 立柱因上下截面不同 可用粗细不同的两段轴线表示 屋架因其平面内刚度很大 可简化为一刚度为无限大的直杆 2 构件的简化 屋架与柱顶通常采用螺栓连接或焊接 可视为铰结点 立柱下端与基础连接牢固 嵌入较深 可简化为固定端支座 3 结点与支座的简化 由吊车梁传到柱子上的压力 因吊车梁与牛腿接触面积较小 可用集中力F1 F2表示 屋面上的风荷载简化为作用于柱顶的一水平集中力F3 而柱子所受水平风力 可按平面单元负荷宽度简化为均布线荷载 4 荷载的简化 选取较合理的结构计算简图 不仅需要有丰富的实践经验 还需要有较完备的力学知识 才能分析主 次要因素的相互关系 对于一些新型结构往往还需要借助模型试验和现场实测才能确定出较合理的计算简图 对于工程中一些常用的结构形式 其计算简图经实践证明都比较合理 因此可以直接采用 2 6受力分析与受力图 2 6 1 受力分析 在求解建筑工程力学问题时 一般首先需要根据问题的已知条件和待求量选择一个或几个物体作为研究对象 然后分析它受到哪些力的作用 其中哪些是已知的 哪些是未知的 此过程称为受力分析 2 6 2 对研究对象进行受力分析的步骤 1 取隔离体 将研究对象从与其联系的周围物体中分离出来 单独画出 这种分离出来的研究对象称为隔离体 2 画主动力和约束反力 画出作用于研究对象上的全部主动力和约束反力 这样得到的图称为受力图或隔离体图 例2 3 小车连同货物共重W 由绞车通过钢丝绳牵引沿斜面匀速上升 不计车轮与斜面间的摩擦 试画出小车的受力图 解 1 取隔离体 将小车从钢丝绳和斜面的约束中分离出来 单独画出 2 画主动力 作用于小车上的主动力为W 其作用点为重心C 铅垂向下 C W 3 画约束反力 作用于小车上的约束反力有 钢丝绳的约束反力FT 方向沿绳的方向且背离小车 斜面的约束反力FA FB 作用于车轮与斜面的接触点 垂直于斜面且指向小车 FB FT FA 例2 3 小结 例2 4 在图 a 所示简单承重结构中 悬挂的重物重W 横梁AB和斜杆CD的自重不计 试分别画出斜杆CD 横梁AB及整体的受力图 解 1 画斜杆CD的受力图 斜杆CD两端均为铰链约束 约束反力FC FD分别通过C点和D点 由于不计杆的自重 故斜杆CD为二力构件 FC与FD大小相等 方向相反 沿C D两点连线 本题可判定FC FD为拉力 不易判断时可假定指向 FC FD 2 画横梁AB的受力图 横梁AB的B处受到主动力W的作用 C处受到斜杆CD的作用力F C F C与FC互为作用力与反作用力 A处为固定铰支座 约束反力用两个正交分力FAx FAy表示 指向假定 FAy FAx F C W 3 画整体的受力图 作用于整体上的力有 主动力W 约束反力FD及FAx FAy FAy FAx W FD 4 讨论 1 内力与外力 本题的整体受力图中为什么不画出力FC与F C呢 这是因为FC与F C是承重结构整体内两物体之间的相互作用力 这种力称为内力 根据作用与反作用定律 内力总是成对出现的 并且大小相等 方向相反 沿同一直线 对承重结构整体来说 FC与F C这一对内力自成平衡 不必画出 因此 在画研究对象的受力图时 只需画出外部物体对研究对象的作用力 这种力称为外力 但应注意 外力与内力不是固定不变的 它们可以随研究对象的不同而变化 例如力FC与F C 若以整体为研究对象 则为内力 若以斜杆CD或横梁AB为研究对象 则为外力 2 本题若只需画出横梁或整体的受力图 则在画C处成D处的约束反力时 仍须先考虑斜杆的受力情况 由此可见 在画研究对象的约束反力时 一般应先观察有无与二力构件有关的约束反力 若有的话 将其先画出 然后再画其他的约束反力 3 横梁AB的受力图也可根据三力平衡汇交定理画出 横梁的A处为固定铰支座 其约束反力FA的方向未知 但由于横梁只受到三个力的作用 其中两个力W F C的作用线相交于O点 因此FA的作用线也通过O点 例2 4 小结 例2 5 组合梁AB的D E处分别受到力F和力偶M的作用 梁的自重不计 试分别画出整体 BC部分及AC部分的受力图 解 1 画整体的受力图 作用于整体上的力有 主动力F M 约束反力FAx FAy MA及FB 指向与转向均为假定 2 画BC部分的受力图 BC部分的E处受到主动力偶M的作用 B处为活动铰支座 约束反力FB垂直于支承面 C处为铰链约束 约束力FC通过铰链中心 由于力偶必须与力偶相平衡 故FB的指向向上 FC的方向铅垂向下 3 画AC部分的受力图 AC部分的D处受到主动力F的作用 C处的约束反力为F C F C与FC互为作用力与反作用力 A处为固定端 约束反力为FAx FAy MA 例2 5 小结 为保证受力图的正确性 不能多画力 少画力和错画力 为此 应着重注意以下几点 1 遵循约束的性质 凡研究对象与周围物体相连接处 都有约束反力 约束反力的个数与方向必须严格按照约束力的性质去画 当约束反力的指向不能预先确定时 可以假定 2 遵循力与力偶的性质 主要有二力平衡公理 三力平衡汇交定理 作用与反作用定律 作用力的方向一经确定 或假定 则反作用力的方向必与之相反 3 只画外力 不画内力 小结 1 力的概念力是物体间的相互机械作用 这种作用使物体的运动状态或形状发生改变 力对物体的作用结果称为力的效应 力使物体运动状态发生改变的效应称为运动效应或外效应 力的运动效应又分为移动效应和转动效应 力使物体的形状发生改变的效应称为变形效应或内效应 2 静力学公理 1 二力平衡公理 2 加减平衡力系公理 3 力的平行四边形法则 4 作用和反作用定律 5 刚化原理 力的大小 方向和作用点 称为力的三要素 3 汇交力系的合成汇交力系可合成为一个合力FR 合力等于力系中各力的矢量和 即FR F1 F2 Fn F 4 力矩的概念及计算 1 力矩的定义平面内力F对点O之矩是力F使物体绕O点转动效应的度量 它等于力的大小F与O点到力作用线的距离d的乘积Fd冠以适当正负号 即 MO F Fd 规定力F使物体绕O点逆时针转动时为正 反之为负 2 合力矩定理合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和 即MO FR MO F1 MO F2 MO Fn MO Fi 3 力矩的计算方法1 用定义计算2 用合力矩定理计算 5 力偶的概念及性质 1 力偶的概念两个大小相等 方向相反且不共线的平行力组成的力系称为力偶 2 力偶的性质1 力偶对物体只产生转动效应 不产生移动效应 2 任一力偶可以在它的作用面内任意移动 而不改变它对刚体的效应 3 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变 可以任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短 而不改变力偶对刚体的效应 6 平面力偶系的合成平面力偶系可合成为一个合力偶 合力偶的矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 即M M1 M2 Mn M 7 约束与约束反力 1 约束与约束反力的概念对于非自由体的某些位移起限制作用的条件 或周围物体 称为约束 约束对被约束物体作用的力称为约束反力 约束力或反力 约束反力的作用点是约束与物体的接触点 方向与该约束所能够限制物体运动的方向相反 2 工程中常见的约束与约束反力 1 柔索柔索的约束反力的方向沿柔索的中心线且背离物体 即为拉力 2 光滑接触面光滑接触面的约束反力沿接触面在接触点处的公法线 且指向被约束物体 即为压力 3 光滑铰链 铰链或铰 铰链约束反力作用在垂直于销钉轴线的平面内 通过圆孔中心 方向待定 通常用两个正交分力表示 4 固定铰支座 铰支座 固定铰支座的约束反力与铰链的情形相同 5 活动铰支座 辊轴支座 活动铰支座的约束反力垂直于支承面 通过铰链中心 指向待定 6 定向支座定向支座的约束反力为垂直于支承面的反力和反力偶矩 方向待定 7 固定端固定端的约束反力为一个方向待定的力和一个转向待定的力偶 8 结构的计算简图 1 结构计算简图的概念将实际结构抽象为既能反映结构的实际受力和变形特点又便于计算的理想模型 称为结构的计算简图 2 杆件结构的简化1 杆件的简化结构的简化包括两方面的内容 一个是结构体系的简化 另一个是结构中杆件的简化 结构体系的简化是把有些实际空间整体的结构简化或分解为若干平面结构 杆件则用其轴线表示 直杆简化为直线 曲杆简化为曲线 2 结点的简化结点简化为铰结点 刚结点或组合结点 3 支座的简化支座简化为固定铰支座 活动铰支座 定向支座或固定端支座 4 荷载的简化荷载简化为集中荷载和分布荷载 9 受力图的画法及注意点 1 画法1 取隔离体 2 画主动力和约束反力 2 注意点1 遵循约束的性质 2 遵循力与力偶的性质 3 只画外力 不画内力