刚体的平移与绕定轴转动.ppt

第12章刚体的平移与绕定轴转动 在许多工程实际问题中 有些情况下不能把运动物体看作为一个点 而是需要考虑其本身的几何形状和尺寸 例如 汽缸中的活塞 摆式送料机的送料槽以及传动机械中的带轮 齿轮等 此时应把物体抽象为刚体 刚体运动的形式是多种多样的 本章研究刚体的两种最简单 也是最基本的运动形式 平行移动 简称平移 和绕定轴转动 这两种运动一方面在工程上有着广泛的应用 另一方面 其它一些较复杂的刚体运动都可看作这两种运动的复合 因此 本章也是研究刚体其它运动的基础 12 1刚体的平动12 2质心运动定理12 3刚体绕定轴转动12 4刚体定轴转动微分方程 12 1刚体的平移 1 刚体平移的概念 刚体在运动过程中 若其上任意直线始终保持与初始位置平行 则这种运动称为刚体的平行移动 简称平移 例如 在直线轨道上行驶的列车车厢的运动 摆式振动筛中筛子ABCD的运动 都具有上述特征 都属平动 车厢作平动时 其上各点的运动轨迹为直线 称为直线平动 筛子平动时 各点的运动轨迹为曲线 称为曲线平动 由此可见 平动刚体上各点运动的轨迹并非都是直线 你能否再举出些实例来说明刚体平移的概念呢 12 1刚体的平移 2 平移刚体上各点的轨迹 速度 加速度特征 在平移刚体上任取两点 作矢量 如图12 2所示 根据刚体不变形的性质和刚体平移的特征 矢量的长度和方向始终不变 故是常矢量 动点位置的变化可用矢径的变化表示 即 对时间求导得 由于BA是常矢量 因此 于是 12 1 12 1刚体的平移 再对时间求一次导得 12 2 因为是刚体上任意两点 因此上述结论对刚体上所有点都成立 即刚体平移时 其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行 每一瞬时 各点具有相同的速度和相同的加速度 上述结论表明 刚体的平移可以用其上任一点的运动来代替 即刚体平移可以归结为点的运动来研究 例12 1曲柄导杆机构如图所示 柄绕固定轴 转动 通过滑块带动导杆在水平导槽内作直线往复运动 已知 为常量 求导杆在任一瞬时的速度和加速度 12 1刚体的平移 解1 分析 由于导杆在水平直线导槽内运动 其上任一直线始终与它的最初位置相平行 且其上各点的轨迹均为直线 故导杆作直线平移 导杆的运动可以用其上任一点的运动来表示 2 计算 选取导杆上的 点研究 点沿轴作直线运动 其运动方程为 点的速度 加速度分别为 12 2质心运动定理 12 2 1质心的概念 由个质点组成的质点系中 设任一质点的质量为 它在空间的位置以矢径表示 则由式 12 3 所确定的点C称为质点系的质量中心 简称质心 式中为质点系的总质量 质心位置的直角坐标形式为 12 4 12 2质心运动定理 说明 1 质心与重心是两个不同的概念 质心反映了构成质点系的各质点质量的大小及质点的分布情况 而重心是各质点所受的重力组成的平行力系的中心 只有当质点系处于重力场时重心才有意义 而质心则与该质点系是否在重力场中无关 2 若将式 12 4 中的分子 分母同乘以重力加速度g即得重心的坐标公式 可见 在地球表面 均匀重力场 质点系的质心和重心的位置相重合 12 2 2质心运动定理设刚体在外力作用下作加速平移 某瞬时刚体上各质点的加速度均相同 且等于质心的加速度为 按照质点的动静法 在刚体内每个质点上虚加质点的惯性力 它和刚体内每个质点上作用的主动力和约束力组成形式上的平衡力系 12 2质心运动定理 平移刚体上惯性力系组成空间平行力系 与重心计算相类似 该惯性力系的简化结果为一个通过质心C的合力 即 12 5 式中 m为刚体总质量 于是 平移刚体上的外力 包括主动力和约束力 与该惯性力系合力共同构成一个形式上的平衡力系 12 2质心运动定理 即将代入得 12 6 将式 12 6 与质点动力学基本方程式 11 13 相比较 就可发现 刚体作平移时 它的质心运动的情况与单个质点的运动情况相同 只要该质点的质量等于刚体的质量 则作用在该质点上的力等于作用于刚体上所有外力的合力 可以证明 以上结论也适用于质点系 即质点系的质量与质心加速度的乘积 等于作用于质点系上所有外力的矢量和 或外力的主矢 这就是质心运动定理 实际应用中常将质心运动定理写成投影式 即 12 2质心运动定理 例12 2设电动机外壳和定子的质量为 转子质量为 而转子的质心因制造和安装误差不在轴线上 如图所示 设偏心距 转子以匀角速度转动 如电动机固定在机座上 求机座对电动机的约束力 解 1 取整个电动机为研究对象 设机座对电动机的约束力为 取图示坐标系 则外壳与定子的质心坐标在原点处 转子质心的坐标为 12 2质心运动定理 整个电动机的质心坐标为 由此可求得质心C的加速度为 12 2质心运动定理 利用质心运动定理的投影式 有 将代入 解得机座对电动机的约束力为 说明 1 在的表达式中 由重力引起的约束力称为静反力 而式中和是因为转子偏心在转动时引起的约束力 称为附加动反力 2 附加动反力随时间周期性变化 将导致机座振动 12 3刚体绕定轴转动 刚体在运动过程中 若其上 或其扩展部分 有一条直线始终固定不动 其他各点则分别在与固定直线垂直的不同平面内作不同半径的圆周运动 刚体的这种运动称为刚体绕定轴转动 其中固定不动的直线称为转轴 转轴上各点的速度恒为零 例如 电机转子的转动 齿轮传动 门的开启等的运动 12 3刚体绕定轴转动 对于转动的刚体 我们既要从整体上研究它的转动规律 又要从局部上研究 先研究绕定轴转动刚体整体的转动规律 12 3 1转动方程设坐标轴Oz与刚体的转轴相重合 为了描述刚体绕转轴整体转动的情况 设想有一通过Oz轴的固定平面I 作为观察刚体转动的参考面 另外设想有一通过Oz轴与转动刚体固连并随之一同转动的平面II 这样 就可以通过这两个平面间的夹角 来确定刚体转动时在任意瞬时的空间位置和转动的快慢方向及其变化 角称为刚体的转角 以弧度计 点击观看动画 12 3刚体绕定轴转动 转动方程 当刚体转动时 角随时间连续发生变化 即角是时间t的单值连续函数 12 7 上式称为刚体绕定轴转动的转动方程 简称刚体的转动方程 它表示刚体绕定轴转动的规律 说明 1 角是代数量 单位为弧度 2 规定从轴的正方向看 逆时针转动角为正 反之为负 点击观看动画 12 3刚体绕定轴转动 12 3 2角速度角速度是描述刚体转动快慢和转动方向的物理量 角速度用符号来表示 在时间间隙中刚体的角位移 即转角的增量 为 则刚体的角速度定义为 12 8 即刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数 说明 12 3刚体绕定轴转动 1 角速度是代数量 角速度的单位是 2 角速度的正负表示刚体的转动方向 当 0时 刚体逆时针转动 反之则顺时针转动 3 工程上常用每分钟转过的圈数表示刚体转动的快慢 称为转速 用符号表示 单位是 转速与角速度的关系为 12 9 12 3 3角加速度角加速度是表示角速度变化的快慢和方向的物理量 角加速度用符号来表示 在时间间隙 t内刚体角速度的改变量为 则刚体的角加速度定义为 12 3刚体绕定轴转动 12 10 即刚体的角加速度等于角速度对时间的一阶导数 也等于其转角对时间的二阶导数 说明 1 角加速度是代数量 角加速度的单位是 2 角加速度的大小 表示角速度变化的快慢 角加速度的正负号 表示角速度变化的方向 若 0 表示角加速度与转角的正方向一致 若 0 表示角加速度与转角的正方向相反 12 3刚体绕定轴转动 3 当 与 同号时 表示角速度的绝对值随时间增加而增大 刚体作加速转动 反之 则作减速转动 虽然刚体绕定轴转动与点的曲线运动的运动形式不同 但它们相对应的变量之间的关系却是相似的 其相似关系如表12 1所示 例12 3某发动机转子在起动过程中的转动方程为 其中以计 以rad计 试计算转子在2内转过的圈数和时的角速度 角加速度 解由转动方程可知时 转子在内转过的角度为 转子转过的圈数为 12 3刚体绕定轴转动 由式 12 9 和式 12 11 得转子的角速度和角加速度为 当时 12 3刚体绕定轴转动 表12 1刚体绕定轴转动与点的曲线运动 12 3刚体绕定轴转动 12 3 4定轴转动刚体上各点的速度 加速度 前面研究了刚体整体转动的规律 但在工程实际中 有时往往不仅要知道刚体整体运动情况 而且还需要知道其上某些点的运动情况 如滚轮传送器传送钢板时 若滚轮的尺寸 转速一定 且滚轮与钢板在接触点无相对滑动 则计算传送钢板的速度和加速度 即为计算滚轮边缘上与钢板接触点的速度和切向加速度 当刚体整体转动的规律可以用角量来描述时 则刚体上任一点的运动可用线量来描述 分析 刚体作定轴转动时 转轴以外的各点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动 圆心是该平面与转轴的交点 半径等于点到转轴的垂直距离 称为转动半径 因此 各点的运动可用自然坐标法描述 12 3刚体绕定轴转动 如图所示在转动刚体的平面II内任取一点来考察 设点的转动半径为r 其轨迹是半径为的一个圆 确定点的运动时 可选当刚体转角为零时点所在的位置为弧坐标原点 以转角的正向为弧坐标的正向 则有 12 11 此为用自然坐标法表示的转动刚体上任一点M的运动方程 于是可用此法求M点的速度和加速度 M点的速度 即 12 12 M点速度的方向垂直于转动半径 指向与角速度的转向一致 12 3刚体绕定轴转动 M点的加速度 即 切向加速度为 12 13 法向加速度为 12 14 M点全加速度的大小和方向为 12 15 12 16 12 3刚体绕定轴转动 由以上分析可得如下结论 2 转动刚体上各点的速度方向垂直与转动半径 其指向与角速度的转向一致 3 转动刚体上各点的切向加速度垂直与转动半径 其指向与角加速度的转向一致 4 转动刚体上各点的法向加速度方向 沿半径指向转轴 5 任一瞬时各点的全加速度与转动半径的夹角相同 1 转动刚体上各点的速度 切向加速度 法向加速度 全加速度的大小分别与其转动半径成正比 同一瞬时转动半径上各个点的速度 加速度分布规律如图所示 呈线性分布 s B A O M v R 半径R 20cm的滑轮可绕水平轴O转动 轮缘上绕有不能伸长的细绳 绳的另一端与滑轮固连 另一端则系有物块A 设物块A从位置B出发 以匀加速度a 4 9m s 2向下降落 初速v0 4m s 1 求当物块落下距离s 2m时轮缘上一点M的速度和加速度 例题 根据v2 v02 2as 得M点的速度 M点的法向加速度 M点的切向加速度 M点的总加速度 解 s B A O M v R 例题 滑轮的半径r 0 2m 可绕水平轴O转动 轮缘上缠有不可伸长的细绳 绳的一端挂有物体A 如图 已知滑轮绕轴O的转动规律j 0 15t3 其中t以s计 j以rad计 试求t 2s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度 A O M 例题 首先根据滑轮的转动规律 求得它的角速度和角加速度 代入t 2s 得 轮缘上M点上在t 2s时的速度为 A O M 解 例题 A O M 加速度的两个分量 总加速度aM的大小和方向 例题 因为物体A与轮缘上M点的运动不同 前者作直线平移 而后者随滑轮作圆周运动 因此 两者的速度和加速度都不完全相同 由于细绳不能伸长 物体A与M点的速度大小相等 A的加速度与M点切向加速度的大小也相等 于是有 它们的方向铅直向下 O 例题 12 4刚体定轴转动微分方程 刚体运动时的转速是经常变化的 如电动机在起动时 转速逐渐升高 制动时 转速又逐渐减少 直到停止转动 显然 转速的变化与作用在电动机上的力有关 因为力对刚体转动的效应取决于力对转轴的力矩 所以 转速的变化与力矩有关 下面研究刚体转速的变化与力矩之间的关系 12 4 1刚体定轴转动微分方程 设刚体在外力 作用下 绕轴转动 某瞬时它的角速度为 角加速度 设刚体由个质点组成 任取其中一个质点来研究 此质点的质量为 该点到转轴的距离为 其切向加速度为法向加速度为 按质点的动静法 在此质点上虚加切向惯性力 法向惯性力则质点处于假想的平衡状态 12 4刚体定轴转动微分方程 对刚体上的各质点都虚加相应的切向惯性力和法向惯性力 整个定轴转动刚体处于假想的平衡状态 按空间任意力系的平衡条件 作用于转动刚体上的全部外力和惯性力 应满足即 由于个质点的法向惯性力的作用线都通过轴线 对转轴的力矩为零 故有 如将表示为 则有 12 17 12 4刚体定轴转动微分方程 式中称为刚体对转轴的转动惯量 即刚体的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体上的外力对转轴之矩的代数和 上式称为刚体绕定轴转动的动力学基本方程 它将刚体转动时力与运动的关系联系起来 是解决转动刚体动力学问题的理论基础 又因 故有 12 18 上式称为刚体定轴转动微分方程 12 18 式说明 1 刚体绕定轴转动时 刚体对于转轴的转动惯量与角加速度的乘积 等于作用于刚体上的外力对于转轴之矩的代数和 12 4刚体定轴转动微分方程 12 4 2转动惯量 上节在推导刚体绕定轴转动的动力学方程时 出现了一个表征刚体绕定轴转动惯性大小的物理量 即转动惯量 其定义式为 式中表示转动刚体某个质点的质量 为该质点至转轴的垂直距离 的单位为 如转动刚体的质量是连续分布的 则转动惯量公式又可改写成如下形式 12 19 利用式 12 19 可将形状规则且质量均匀刚体的转动惯量计算出来 1 均质等截面细直杆对质心轴的转动惯量 设有等截面细直杆 其单位长度的质量为 长为 求它对过质心C的轴的转动惯量 12 4刚体定轴转动微分方程 分析 杆为均质 故有 可得 12 20 2 回转半径 工程中有时也把转动惯量写成刚体的总质量与当量长度的平方乘积形式 即 12 21 12 4刚体定轴转动微分方程 式中 称为刚体对于轴的回转半径 它是假想把刚体的质量集中于距转轴为的质点上 则此质点对于轴的转动惯量等于原来刚体对于轴的转动惯量 3 平行轴定理 在工程中 有时需要确定刚体对不通过质心轴的转动惯量 例如 求等截面直杆对通过杆端点的轴的转动惯量 需要应用如下转动惯量的平行轴定理 刚体对于任一轴的转动惯量 等于对与此轴平行的质心轴的转动惯量 加上刚体的质量与两轴间的距离平方的乘积 即 12 22 12 4刚体定轴转动微分方程 例12 7 求如图中等截面直杆对轴的转动惯量及对轴之回转半径 解设等截面直杆的质量为 按式 12 20 根据转动惯量的平行轴定理 直杆对轴的转动惯量为 解 其中 由 得 作业 12 112 212 612 11 这里以后是动画 汽缸中活塞的运动 摆式送料机 带轮 齿轮 车厢平移运动 筛子平移运动 刚体的平动 齿轮的传动 刚体绕定轴转动 转角 的正负规定 滚动运送钢板 刚体绕定轴转动 带传动 齿轮传动 曲柄导杆机构 一 刚体平移 刚体在运动过程中 若其上任意直线始终保持与初始位置平行 则这种运动称为刚体的平行移动 简称平移 二 刚体平移时 其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行 每一瞬时 各点具有相同的速度和相同的加速度 三 刚体绕定轴转动的微分方程应用中要注意 1 刚体所受的力对转轴之矩的计算 常应用合力矩定理 2 刚体所受的力对转轴之矩的 号要与角加速度一致 四 体操 跳水运动员利用直体 曲体 团体等不同的动作 改变自身的转动惯量来获得高质量的转体翻腾动作 第12章刚体的平移与绕定轴转动小结