0058数学课件：平面向量的数量积

平面向量的数量积平面向量的数量积一、引入：一、引入：一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的作用下产生的位移的位移s，那么力，那么力F 所做的功所做的功应当怎样计算？应当怎样计算？SF力做的功：W = |F| |s|cos，是F与s的夹角向量的数量积1两个非零向量夹角的概念说明：（1）当0时，a与同向；（2）当时，a与反向；（3）当/2时，a与垂直， 记a；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点的.范围0180baOabO已知非零向量a与，作 a， ，则（0）叫a与的夹角.OB OA 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫a与的数量积，记作a b，即有 a b =|a|b|cos，（）.规定0与任何向量的数量积为0。探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由ab = b c 能否推出a = c ？(5)在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)c a(b c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。3“投影”的概念：定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|。4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1 ea = ae =|a|cos2 ab ab = 03 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时， ab = |a|b|。特例：特例：aa = |a|2或aaa |4 cos =|baba5 |ab| |a|b|例例1 判断正误，并简要说明理由.a00； 0a0；0 ； aa；若a0，则对任一非零有a0；a0，则a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有（a）a(）；a与是两个单位向量，则a.BAAB 例例2 已知a3，6，当a，a，a与的夹角是60时，分别求a.例例3 判断下列命题的真假：在ABC中，若 ，则ABC是锐角三角形；在ABC中，若 ,则ABC是钝角三角形；ABC为直角三角形的充要条件是0AB BC 0AB BC 0AB BC 例例3 判断下列命题的真假：在ABC中，若 ，则ABC是锐角三角形；在ABC中，若 ,则ABC是钝角三角形；ABC为直角三角形的充要条件是0AB BC 0AB BC 0AB BC 例例4 试证明：若四边形ABCD满足 则四边形ABCD为矩形.0,0,ABCDAB BC 且五、作业五、作业：习题5.6 16. 优化设计P81 强化训练 18.例例5 设正三角形ABC的边长为2,.ABc BCa CAba bb cc a 求