正弦定理和余弦定理教学设计

第七节正弦定理和余弦定理(见学生用书第63页)考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bc·cos_A，b2c2a22ca·cos_B，c2a2b22ab·cos C.变形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；abcsin_Asin_Bsin_C；.cos A；cos B；cos C.解决问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.三角形常用面积公式(1)Sa·ha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin_Bbcsin_A(3)Sr(abc)(r为内切圆半径),1在ABC中，“AB”是“sin Asin B”的什么条件？“AB”是“cos Acos B”的什么条件？【提示】在ABC中，ABabsin Asin B，AB是sin Asin B的充要条件，易知AB是cos Acos B的充要条件2如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直角、钝角？【提示】应判断b2c2a2与0的关系；当b2c2a20时，A为锐角；当b2c2a20时，A为直角；当b2c2a20时，A为钝角1(人教A版教材习题改编)已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若ac，且A75°，则b()A2 B42C42 D.【解析】在ABC中，易知B30°，由余弦定理b2a2c22accos 30°4.b2.【答案】A2在ABC中，a15，b10，A60°，则cos B()A. B. C D【解析】由正弦定理，得sin B.ab，A60°，B60°，cos B.【答案】A3在ABC中，若a18，b24，A45°，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定【解析】bsin A24sin 45°1218，bsin Aab，故此三角形有两解【答案】B4(2012·福建高考)在ABC中，已知BAC60°，ABC45°，BC，则AC_【解析】根据正弦定理，得，故AC.【答案】5ABC中，B120°，AC7，AB5，则ABC的面积为_【解析】由余弦定理知AC2AB2BC22AB·BCcos 120°，即4925BC25BC，解得BC3.故SABCAB·BCsin 120°×5×3×.【答案】(见学生用书第63页)利用正、余弦定理解三角形(2013·大连模拟)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.【思路点拨】(1)在已知等式中，利用正弦定理消去sin B，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B，进而求出角B.【尝试解答】(1)由正弦定理，得asin Bbsin A，又asin Asin Bbcos2Aa，bsin2Abcos2Aa，即ba，因此.(2)由c2b2a2及余弦定理，得cos B，(*)又由(1)知，ba，b22a2，因此c2(2)a2，caa.代入(*)式，得cos B，又0B，所以B.,1运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理2在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用 (2012·浙江高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值【解】(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B.所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac.所以a，c2.判定三角形的形状(2013·合肥模拟)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(4，1)，n(cos2，cos 2A)，且m·n.(1)求角A的大小；(2)若bc2a2，试判断ABC的形状【审题视点】(1)利用数量积的坐标表示及二倍角公式建立关于cos A的方程求解；(2)利用余弦定理建立关于b、c的方程，结合bc2求解【尝试解答】(1)m(4，1)，n(cos2，cos 2A)，m·n4cos2cos 2A4·(2cos2A1)2cos2A2cos A3.又m·n，2cos2A2cos A3，解得cos A.0A，A.(2)在ABC中，a2b2c22bccos A，且a，()2b2c22bc·b2c2bc.又bc2，b2c，代入式整理得c22c30，解得c，b，于是abc，即ABC为等边三角形,判断三角形形状的方法：(1)利用正(余)弦定理实施边角转换；(2)通过三角变换找出角之间的关系；(3)通过代数变形找出边之间的关系，如因式分解提醒：等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos A，bc2bc cos A，cos A.又0A，A.(2)由(1)知sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，sin2A(sin Bsin C)2sin Bsin C.又sin Bsin C1，且sin A，sin Bsin C，因此sin Bsin C.又B、C(0，)，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形.与三角形面积有关的问题(2012·课标全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.【思路点拨】(1)根据正弦定理边化角，把B用A、C表示，借助三角变换求A的值；(2)根据三角形面积和余弦定理列关于b、c的方程组求解【尝试解答】(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin(A).又0<A<，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.,1本例(1)中，利用sin Bsin(AC)进行转化是解题的关键本例(2)中选择公式建立方程是解题的突破口2选择使用余弦定理和面积公式时，一般选择角确定的一组 (2012·浙江高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A，sin Bcos C.(1)求tan C的值；(2)若a，求ABC的面积【解】(1)因为0<A<，cos A，得sin A.又cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C，所以tan C.(2)由tan C，得sin C，cos C.于是sin BcosC，由a及正弦定理，得c.设ABC的面积为S，则Sacsin B.一条规律在ABC中，ABabsin Asin B.一点注意已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角可能有一解、两解、无解两种途径判定三角形的形状，主要有两种途径：1化边为角；2化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换