高中数学 1.1.3 导数的几何意义1课件 新人教A版选修22

1.1.3导数的几何意义导数的几何意义 理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程 本节重点：导数的几何意义及曲线的切线方程 本节难点：求曲线在某点处的切线方程 1深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数，不是变量 (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f(x) (3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值，即f(x0)f(x)|xx0. 所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值 2函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)在x0处有切线，但它不可导 1导数的几何意义 割线斜率与切线斜率 2函数的导数 当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数)f(x)也记作y，即f(x)y . 例1求函数yf(x)2x24x在x3处的导数 分析求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在xx0处的导数表达式，再代入变量求导数值，上一节已经学过第一种方法现在我们用第二种方法求解 已知函数yf(x)ax2c，且f(1)2，求a. (1)点P处的切线的斜率； (2)点P处的切线方程 分析求函数f(x)图象上点P处的切线方程的步骤：先求出函数在点(x0，y0)处的导数f(x0)(即过点P的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程 点评一般地，设曲线C是函数yf(x)的图象，点P(x0，y0)是曲线C上的定点，点Q(x0 x，y0y)是C上与P邻近的点，有y0f(x0)，y0yf(x0 x)， yf(x0 x)f(x0)， 例3在曲线yx2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角为135. 分析解此类题的步骤为：先设切点坐标(x0，y0)；求导函数f(x)；求切线的斜率f(x0)；由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标 点评此类题的易错之处是将切点的横坐标代入导函数来求切点坐标 直线l：yxa(a0)和曲线C：yx3x21相切 (1)求a的值； (2)求切点的坐标 例4已知曲线C：y3x42x39x24， (1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； (2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点？ 分析(1)关键是求出切线斜率kf(1)及切点坐标；(2)将(1)中的切线方程与曲线C联立，根据方程组的解的情况判断 12x36x218x. 切线的斜率为k1261812. 切线方程为y412(x1)， 即y12x8. 点评此例说明：曲线与直线相切并不只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确 求曲线yx3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 一、选择题 1曲线y2x21在点(0,1)处的切线的斜率是() A4 B0 C4 D不存在 答案B 2曲线yx3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为 () A(2，8) B(1,1)，(1，1) 答案B 答案B 二、填空题 4抛物线y2x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有_是它的切线，而_不是它的切线 答案y轴x轴 解析如图所示，可知y轴是它的切线，而x轴不是它的切线 答案k 解析由导数的几何意义知，曲线yf(x)在x0处的切线斜率即为函数yf(x)在xx0时的导数三、解答题6求曲线yx2在x1处的切线方程 解析由yx2得y(xx)2x22xx(x)2，即f(x)2x，所以f(1)212.曲线yx2在x1处切线的斜率为2，又x1时，yx21，切线方程为y12(x1)，即2xy10.