2007年安徽高考数学理科试卷及答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式P（A+B）=PA+PB S=4R2如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径P（A·B）=PA+PB 球的体积公式1+2+n V=12+22+n2= 其中R表示球的半径13+23+n3=第卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1下列函数中，反函数是其自身的函数为A BC D2设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“l”是lm且“ln”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3若对任意R,不等式ax恒成立，则实数a的取值范围是Aa-1 B1 C 1 Da14若a为实数，-i，则a等于ABC2D25若，则的元素个数为A0B1C2D36函数的图象为C，图象关于直线对称；函灶在区间内是增函数；由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.以上三个论断中，正确论断的个数是A0B1C2D37如果点在平面区域上，点在曲线上，那么 的最小值为ABCD8半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为ABCD9如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为A BCD10以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于A-BCD11定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为A0B1C3D5二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。12若（2x3+）n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于 。13在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则=（用a，b，c表示）。14如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，Pn-1，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形Q1OP1， Q2P1P2， Qn-1Pn-1Pn-1，当n时，这些三角形的面积之和的极限为。15在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）。矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体。三、解答题：本大题共6小题，共79分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）已知0a的最小正周期，b=（cos a，2），且a·b=m。求的值。17（本小题满分14分）如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12。（）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（）求证：平面A1ACC1平面B1BDD1；（）求二面角ABB1C的大小（用反三角函数值圾示）。18（本小题满分14分）设a0，f （x）=x1ln2 x2a ln x（x>0）。（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0，）内的单调性并求极值；（）求证：当x>1时，恒有x>ln2x2a ln x1。19（本小题满分12分）如图，曲线G的方程为y2=2x（y0）。以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B。直线AB与x轴相交于点C。（）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（）设曲线G上点D的横坐标为a2，求证：直线CD的斜率为定值。20（本小题满分13分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔。以表示笼内还剩下的果蝇的只数。（）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（）求数学期望E；（）求概率P（E）。21（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）n1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。（）写出Tn与Tn-1（n2）的递推关系式；（）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列。2007年安徽高考数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分55分。1D2A3B4B5C6C7A8C9D10B 11D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。127131415三、解答题16（本小题满分12分）本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力.本小题满分12分。解：因为为的最小正周期，故因a·b=m，又a·b，故由于，所以=17（本小题满分14分）解法1（向量法）：以D为原点，以DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（）证明：于是与AC共面，与BD共面.（）证明：内的两条相交直线，又平面（）解：设于是设于是解法2（综合法）：（）证明：平面ABCD.于是CD，DA.设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF，有于是由DE=DF=1,得EFAC，故与AC共面.过点于是所以点O在BD上，故（）证明：又BDAC（正方形的对角线互相垂直），内的两条相交直线，又平面（）解：直线DB是直线根据三垂线定理，有AC过点A在平面则于是所以，AMC是二面角根据勾股定理，有二面角18（本小题满分14分）本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力，本小题满分14分.（）解：根据求导法则得故于是列表如下：x（0,2）2（2,+）F（x）-0+F（x）极小值F（2）故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+）内是增函数，所以，在x2处取得极小值F（2）2-2In2+2a.（）证明：由于是由上表知，对一切从而当所以当故当19（本小题满分12分）本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.本小题满分12分.解：（）由题意知，A（）因为由于由点B（0，t）C（c,0）的坐标知，直线BC的方程为又因点A在直线BC上，故有将（1）代入上式，得解得（）因为所以直线CD的斜率为定值.20（本小题满分13分）本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.解：（1）的分布列为（）数学期望为E（）所求的概率21（本小题满分14分）本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.解：（）我们有（）在式两端同乘1+r，得-，得即如果记则其中。内容总结（1）2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式P（A+B）=PA+PB S=4R2如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径P（A·B）=PA+PB 球的体积公式1+2+