利用递推公式求通项公式

利用递推公式求通项公式一、基本类型已知数列的首项和递推公式，可直接写出数列中的各项，可用待定系数法、累加法、累乘法、迭代法等求通项，也能够通过构造转化法化成新的等差、等比数列再进一步求通项构造等比数列，已知首项，如果递推关系形如“，其中为常数”，求数列的通项公式的关键是将转化为的形式，其中的值可由待定系数法确定，即 .1已知首项且递推关系形如“”能够用“累加法” 即：，则有：.2已知首项且递推关系形如“”能够用“累乘法”或“迭代法”，即.3对于形如“，其中为常数”的递推关系式，可采用取倒数的方法，将递推公式变形为，从而构造等差数列，其首项为，公差为.4对于形如“，其中为常数”的递推关系式，一般利用待定系数法构造新数列.若为的一次式，则可令，即令，与已知递推公式比较，解出，从而转化为是公比为的等比数列. 若为的二次式，则可令，下同. 若为的指数式，即：（其中均为常数，） 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以得引入辅助数列（其中），得，再利用待定系数法求解.5对于形如“”的数列，往往要通过度析与的关系，整理变形成或的形式来求解.6递推公式为“（其中均为常数）”，的数列，先把原递推公式利用待定系数法转化为，再实行求解.7形如“”的数列，一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解.8形如（其中为常数）的递推关系式，求数列通项通常采用常数消去法，或者不动点法.不动点法：若，则称为函数的不动点.令函数，若数列满足递推关系，即，给定初始值 ，利用函数的不动点来求数列的通项公式. 若函数有两个相异的不动点，即方程有两个相异实根，则有数列是以为首项，为公比的等比数列. 若函数只有唯一的不动点，则方程只有唯一解，则有数列是以为首项，以为公差的等差数列.9形如“，其中为常数”的数列也能够利用函数的不动点来求解通项. 若函数有两个不动点，即方程有两个不同的根，则有，上式两侧取对数，构造等比数列求解. 若函数只有唯一一个不动点，即方程只有唯一一个根，则数列是以为首项，以为公比的等比数列.10递推公式为与的关系式。(或)这种类型一般利用与 消去或与消去实行求解.二、基本题型1. 根据下列条件，确定数列的通项公式. ； ； ； ； 设是首项为1的正项数列，且；已知数列中，数列中，当时，求.2. 在数列中，（为常数，），且成公比不为1的等比数列. 求的值； 求的通项公式. 3. 已知数列满足，求.4. 已知正数数列中，若关于的方程有相等的实根. 求的通项公式； 求证：.5. 在数列中，. 求证数列是等比数列； 求数列的前项和； 若不等式对任意的都成立，求的最小值.