同济版高等数学第一章函数与极限习题及解析

2（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容3函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数4左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf5左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类6二、典型例题二、典型例题例例1 1.)16(log2)1(的定义域的定义域求函数求函数xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即7例例2 2).(. 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其中其中设设 解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性,1xxt 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即8 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(解联立方程组解联立方程组. 1111)( xxxxf9例例3 3).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求设设0102112解解,)(时时当当110 x , 0 x或或,)(12 xx ;20 x, 0 x或或,)(112 xx ; 1x11)(),()(,)()(xxxexfx10,)(时时当当120 x , 0 x或或,)(12 xx ;2x, 0 x或或,)(112 xx ; 01x综上所述综上所述.,)(212001122122xxxxxexexfxx 11例例4 4).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), 则则xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式原式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn时时当当12例例5 5)sin1(sinlimxxx21sin21cos2limxxxxx)1(21sin21cos2limxxxxx0（无穷小与有界函数之积为无穷小） 例例6 62)11(lim22nnnn2)1111(lim22nnnn212222)11 (lim)11 (limeeennnnnn13例例7 7xxx2sin10)(coslimxxx2sin12120)(coslim)21(sin1202)sin1 (limxxx21 e例例8 8.)sin1tan1(lim310 xxxx310)1sin1tan1(1 limxxxx310sin1sintan1 limxxxxx )sin1sintan1ln(103limxxxxxe14xxxxxsin1sintan1lim30301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式则则设设,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge )()(1ln(xfxf .)()(limxfxge xxxxxesin1sintan103lim一般地：一般地：15例例9 9).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多项式是多项式设设 解解, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23为待定系数为待定系数其中其中可设可设babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab从从而而得得xxxxp 232)(故故1611112111,11, 1nnnxxxxxxx设设例例1010nnxlim求求解：解：111, 111, 1111121nnnxxxxxxx因为因为, 011112xxxx1nnxx设设nnnnnxxxxx111)11 (1111nnnnxxxx)1)(1 (11nnnnxxxx017由数学归纳法知， 单增，单增，nx, 211nnnxxx又又;lim存存在在nnx，设设axnnlim两边取极限，两边取极限，由由1111nnnxxxaaa112512, 1annxlim251a18例11 求函数 的间断点， 并判别其类型。 xxexf111)(.01)(、的的间间断断点点为为解解：xf)(lim1xfx1limx1111xxe)(lim1xfx1limx0111xxe1x是函数的第一类跳跃间断点;)(lim0 xfx0limxxxe1110 x是函数的第二类间断点 19例例1212.1,2cos1,1)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxf 解解改改写写成成将将)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(内内连连续续在在显显然然 xf20,1时时当当 x)(lim1xfx)1 (lim1xx. 2)(lim1xfx2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(间断间断在在故故 xxf21,1时时当当 x)(lim1xfx2coslim1xx. 0)(lim1xfx) 1(lim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(连续连续在在故故 xxf.), 1()1,()(连续连续在在 xf22例例13.13. 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = b= .提示提示: :20)cos1 (lim)0(xxafx2a)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e23例例1414).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:, 0)0( F若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( F若若,21 则则);21()2121(ff 24则则若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零点定理知由零点定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上综上,1 , 021, 0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 25一、一、 选择题：选择题：1 1函数函数21arccos1 xxy的定义域是的定义域是（ ）(A)(A)1 x；(B)(B)13 x；(C)(C)1,3( ；(D)(D) 131 xxxx. .2.2.函数函数 30 , 104, 3)(2xxxxxf的定义域是的定义域是（ ）(A)(A)04 x；(B)(B)30 x; ;(C)(C)3,4( ; ;(D)(D) 3004 xxxx. .测测 验验 题题BD263 3、函函数数xxxysincos 是是（ ）( (A A) )偶偶函函数数； ( (B B) )奇奇函函数数；( (C C) )非非奇奇非非偶偶函函数数；( (D D) )奇奇偶偶函函数数. . 4 4、函数、函数xxf2cos1)( 的最小正周期是的最小正周期是（ ） (A) (A)2 2 ； (B)(B) ； (C) (C) 4 4 ； (D)(D)21 . .5 5、函数、函数21)(xxxf 在定义域为（在定义域为（ ） (A)(A)有上界无下界有上界无下界； (B) (B)有下界无上界有下界无上界； (C)(C)有界有界，且且 - -2121)( xf ； ( (D D) )有界有界，且且 2122 xx . . BCC276 6、与、与2)(xxf 等价的函数是等价的函数是（ ） (A) (A) x； (B) (B) 2)(x； (C)(C) 33)(x； (D)(D) x . .7 7、当当0 x时时，下下列列函函数数哪哪一一个个是是其其它它三三个个的的高高阶阶无无穷穷小小（ ） （A A）2x； （B B）xcos1 ； （C C）xxtan ； （D D）)1ln(x . .8 8、设、设, 0,00 ba则当则当（ ）时有）时有 00110110.limbabxbxbaxaxannnmmmx . . (A) (A)nm ； (B)(B)nm ； (C) (C)nm ； (D)(D)nm ,任意取任意取 . .DCB28二二、求求下下列列函函数数的的定定义义域域：9 9、设设 10 ,01, 1)(xxxxxf则则 )(lim0 xfx( ( ) ) ( (A A) )- -1 1 ； ( (B B) )1 1 ； ( (C C) )0 0 ； ( (D D) )不不存存在在 . .1 10 0、 xxx0lim（ ）( (A A) )1 1； ( (B B) )- -1 1；( (C C) )0 0； ( (D D) )不不存存在在. .;arctan)12sin(1xxy 、DD),(292 2、12)9lg()(2 xxx . .三、三、 设设132)1(2 xxxg（1 1） 试确定试确定cba,的值使的值使 cxbxaxg )1()1()1(2 ；（2 2） 求求)1( xg的表达式的表达式 . .四、四、 求求xxxfsgn)1()(2 的反函数的反函数)(1xf . .五五、 求求极极限限： 1 1、22)1(12limnnnn ； 2 2、321lim3 xxx ；3 3、xxx20)1(lim ； 4 4、)1(lim1 xxex ；5 , 40, 1, 2cba352) 1(2xxxg1, ) 1(0, 01, 1)(1xxxxxxf2412e1305 5、当当0 x时时，nnxxx2cos.4cos2coslim ；6 6、121sinlim22 xxxx . .六六、 设设有有函函数数 1, 1)1(1,sin)(xxaxaxxf试试确确定定a的的值值使使)(xf在在1 x连连续续 . .七、七、 讨论函数讨论函数xxxxf2sin11arctan)( 的连续性，并判的连续性，并判断其间断点的类型断其间断点的类型 . .xxsin22 ka22七、七、 可去间断点可去间断点, 跳跃间断点跳跃间断点, 无穷间断点无穷间断点, 为其它实数时连续为其它实数时连续. 0 x1 x), 2, 1(2 nnx31八八、 证证明明奇奇次次多多项项式式： 1221120)( nnnaxaxaxP)0(0 a至至少少存存 在在一一个个实实根根 . .32一、一、1 1、B B； 2 2、D D； 3 3、B B； 4 4、C C； 5 5、C C； 6 6、D D； 7 7、C C； 8 8、B B； 9 9、D D； 10 10、D D；二、二、1 1、);,( 2 2、4,5.4,5.三、三、352)1(, 0, 1, 22 xxxgcba. .四、四、 1, )1(0, 01, 1)(1xxxxxxf. .五、五、1 1、2 2； 2 2、41； 3 3、2e； 4 4、1 1； 5 5、xxsin； 6 6、22. .测验题答案测验题答案33六、六、 ka22 ), 2 , 1 , 0( k 七、七、0 x可去间断点可去间断点, , 1 x跳跃间断点跳跃间断点, , ), 2, 1(2 nnx无穷间断点无穷间断点, , x为其它实数时为其它实数时)(xf连续连续. .