2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末复习同步学案新人教A版选修.docx

第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标1.掌握复数的有关概念及复数相等的条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd0(a，b，c，dR)(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模：向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi| (r0，rR)2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)12i5的共轭复数为2i5.()2若m，nR，m(n1)i1i，则m1，n2.()3若z1，z2为复数，且z1z2>0，则z1>z2.()4复数zi(2i)对应的点在第二象限()5若|zz1|r，则在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以z1的对应点为圆心，半径为r的圆()6设复数z，其中i为虚数单位，则|z|.()类型一复数的概念例1已知复数za2a6i，分别求出满足下列条件的实数a的值：(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解由a2a60，解得a2或a3.由a22a150，解得a5或a3.由a240，解得a2.(1)要使z为实数，需a22a150且a240，解得a5或a3，当a5或a3时，z为实数(2)要使z为虚数，需a22a150且a240，解得a5且a3且a2，当a5且a3且a2时，z是虚数(3)要使z为0，需a2a60，且a22a150，且a240，解得a3，当a3时，z0.引申探究本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由解由a2a60，且a22a150，且a240，得a无解，不存在实数a，使z为纯虚数反思与感悟(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据跟踪训练1已知关于x的方程10ix13x2ix2ix2有实数根，求实数a的值考点复数相等题点复数相等的条件解设方程的实数根为m，则原方程可变为(2m2m10)i0，由复数相等的充要条件得解得或故实数a的值为11或.类型二复数的四则运算例2已知z是复数，z3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)(1)求复数z；(2)求的模考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算解(1)设zabi(a，bR)，z3ia(b3)i为实数，可得b3.又为纯虚数，a1，即z13i.(2)2i，|2i|.反思与感悟复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用跟踪训练2已知z1，z2为复数，(3i)z1为实数，z2，且|z2|5，求z2.考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算解z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R，因为|z2|5，所以|z2(55i)|50，所以z2(55i)50，所以z2(55i)类型三方程思想例3已知关于x的方程x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|abi|2|z|，求z为何值时，|z|有最小值并求出最小值考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的方程问题解(1)将b代入题中方程x2(6i)x9ai0，整理得(b26b9)(ab)i0.则b26b90，且ab0，解得ab3.(2)设zxyi(x，yR)，复数z在复平面内对应的点为Z，则(x3)2(y3)24(x2y2)，即(x1)2(y1)28.所以点Z在以(1,1)为圆心，2为半径的圆上画图可知，z1i时，|z|min.反思与感悟方程思想主要用来分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决在本章中方程思想主要体现在复数相等的充要条件及点的轨迹和复数方程等问题上跟踪训练3已知复数z满足(z)3zi13i，求复数z.考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的方程问题解方法一设zxyi(x，yR)，代入已知等式中得2x(3x23y2)i13i，解得zi.方法二zR，zR，z，是方程x2x10的两根，解方程得zi.1在复平面内，复数对应的点的坐标为()A(1,3) B(3,1)C(1,3) D(3，1)考点复数四则运算的综合运用题点与混合运算有关的几何意义答案A解析13i，所以它的实部为1，虚部为3，所以它在复平面内对应的点的坐标为(1,3)故选A.2复平面内表示复数i(12i)的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的几何意义答案A解析复数i(12i)2i，在复平面内对应的点的坐标是(2,1)，位于第一象限故选A.3设复数z满足i，则|z|等于()A1B.C.D2考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案A解析由i得zi，则|z|1.故选A.4计算：220.考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算解220(12i)(i)52(1i)2(1)12i.5已知集合Mz|z1|1，zC，Nz|z1i|z2|，zC，集合PMN.(1)指出集合P在复平面内所对应的点集表示的图形；(2)求集合P中复数z的模的最大值和最小值考点复数四则运算的综合运用题点与混合运算有关的方程问题解(1)由|z1|1可知集合M在复平面内对应的点集所表示的图形是以点E(1,0)为圆心，1为半径的圆的内部和边界，由|z1i|z2|可知集合N在复平面内对应的点集所表示的图形是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P表示的图形是圆E截直线l所得的一条线段AB，如图所示(2)设zxyi(x，yR)，则圆E的方程为x2y22x0，直线l的方程为yx1，解方程组得A，B，则|OA|，|OB|，又点O到直线l的距离为，且<，则在集合P中复数z的模的最大值为，最小值为.1复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现3利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题一、选择题1已知f(x)x31，设i是虚数单位，则复数的虚部是()A1B1CiD0考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案B解析f(i)i31i1，1i，虚部是1.2若复数(aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A2B4C6D6考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的综合应用答案D解析i.若复数是纯虚数，则0，且0，所以a6.故选D.3已知是复数z的共轭复数，zz0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线考点复数四则运算的综合运用题点与混合运算有关的方程问题答案A解析设zxyi(x，yR)，则z2x，zx2y2，所以由zz0，得x2y22x0，即(x1)2y21，故选A.4在复平面内，一个正方形OACB的三个顶点A，B，O对应的复数分别是12i，2i,0，那么这个正方形的顶点C对应的复数为()A3iB3iC13iD13i考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案D解析，C点对应的复数为12i2i13i.5已知复数zxyi满足|z1|x，那么z在复平面内对应的点(x，y)的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线考点复数的几何意义的综合运用题点利用几何意义解决轨迹、图形问题答案D解析zxyi满足|z1|x，(x1)2y2x2，y22x1.故选D.6当z时，z100z501的值等于()A1B1CiDi考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案D解析z22i，z100z501(i)50(i)251i50i251i.7已知复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位长度，向下平移一个单位长度，得到B点，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为()A1B1CiDi考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析设zabi(a，bR)，A点旋转后的点为A，B点对应的复数为z1，则由图可知，点A的坐标为(b，a)，z1(b1)(a1)i.点B与点A恰好关于坐标原点对称，z1.8如果复数z满足|zi|zi|2，那么|z1i|的最小值是()A1B.C2D.考点复数加减法的几何意义的应用题点与加减法几何意义有关的模的最值问题答案A解析设在复平面内，复数z对应的点为Z.|zi|zi|2，点Z在以(0,1)和(0，1)为端点的线段上，|z1i|表示点Z到点(1，1)的距离易知最小值为1.二、填空题9在复平面内，已知复数zxi所对应的点在单位圆内，则实数x的取值范围是_考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案解析z对应的点Z在单位圆内，<1，x2<1，x2<，<x<.10设x，y为实数，且，则xy_.考点复数四则运算的综合运用题点复数的混合运算答案4解析x(1i)y(12i)(13i)解得所以xy4.11已知复数z032i，复数z满足zz03zz0，则复数z_.考点复数四则运算的综合运用题点复数的混合运算答案1i解析z1i.12已知复数z1cosi，z2sini，则z1z2的实部的最大值为_，虚部的最大值为_考点复数问题中转化与化归思想题点转化与化归思想的应用答案解析z1z2(cos i)(sin i)(cos sin 1)i(cos sin )，实部为cos sin 11sin 2，故实部的最大值为；虚部为cos sin cos，故虚部的最大值为.三、解答题13已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积考点复数加减法的几何意义的应用题点与加减法几何意义有关的模的最值问题解(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，由题意得，a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或z1i.(2)当z1i时，z22i，zz21i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，所以SABC1.当z1i时，z22i，zz213i，所以A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)，所以SABC1.四、探究与拓展14已知f(x)则f_.考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案3解析f(1i)(1i)(1i)2，ff(2)123.15设z1是方程x26x250的一个根(1)求z1；(2)设z2ai(其中i为虚数单位，aR)，若z2的共轭复数2满足|z2|125，求z.考点共轭复数的定义与应用题点与共轭复数有关的综合问题解(1)因为6242564，所以z134i或z134i.(2)由|z(ai)|125，得125125，所以a2.当a2时，z(2i)234i；当a2时，z(2i)234i.